10 例3设A=-101,试写出以A为矩阵的二次型 01 分析:A是一个3阶对称阵,对应的三元二次型,把a与 an合并后写出二次型 解:设X=(x,x2,x3 1-10 ∫=XAX=(x,x2,x3 01 x+2xx 哈工大数学系代数与几何教研室
例３ 设 ，试写出以 为矩阵的二次型. 分析： 是一个3阶对称阵，对应的三元二次型，把 与 合并后写出二次型. 1 1 0 1 0 1 0 1 1 − = − − A A A aij aji 解：设 T 1 2 3 X = ( , , ) x x x 1 T 2 2 1 2 3 2 1 1 2 2 3 3 3 1 1 0 ( , , ) 1 0 1 2 2 0 1 1 x f x x x x x x x x x x x − = = − = − + − − X AX
8.1.2合同矩阵 1.定义82(合同)二个n阶方阵A和B,彐可逆阵C 使CAC=B,则称A与B合同( Congruent)记成A=B 矩阵合同的定义与矩阵相似的定乂很相似,也是n阶方 阵之间的一种等价关系.即 2.合同→等价,合同→>等秩,反之都不成立.但不等 秩,则一定不合同. 3.合同关系具有以下性质: (1)自反性:A=A.(2)对称性:A=B则B=A (3)传递性:A=B,B=C,则A=C (4)A与B合同,则r(4)=(B):丑C可逆,CAC=B. 哈工大数学系代数与几何教研室
8.1.2 合同矩阵 1．定义8.2（合同）二个 阶方阵 和 ， 可逆阵 ，使 ，则称 与 合同（Congruent）记成 . 矩阵合同的定义与矩阵相似的定义很相似，也是 阶方 阵之间的一种等价关系. 即 2．合同 等价，合同 等秩，反之都不成立．但不等 秩，则一定不合同. n A B C T C AC B= A B A B n → → 3．合同关系具有以下性质： （1）自反性： . （2）对称性： 则 . （3）传递性： ，则 . （4） 与 合同，则 . 可逆， . A A A B B A A B B C , A C A B r r ( ) ( ) A B = C T C AC B=
4.(二次型的变换)合同二次型 设二次型f=XAX,经可逆线性变换X=CY(C可逆) f=(Cr'Acr=YC acr=r By 其中B=CTAC,即A与B合同,B仍是对称阵 所以经可逆线性变换后,二次型的对应矩阵是合同的 也可以说:合同的矩阵是同一二次型关于不同变量的矩阵 「我们教材是将变量看成R"-个基下的坐标,C是一个基到 另一个基的过渡矩阵,合同阵是不同基下的矩阵] 5.实对称阵A(不但和对角阵相似,也与对角阵合 同).由于实对称可正交相似对角化.所以存在正交阵P 使PP=PP=A,所以实对称阵都与对角阵合同.换句 话说,就是任意实二次型都可通过一个适当的可逆线性变 换化成只有平方项(x2)而没有混合项xx.这就引出了二次 型的标准形的概念 哈工大数学系代数与几何教研室
4．（二次型的变换）合同二次型 设二次型 ，经可逆线性变换 （ 可逆） 其中 ，即 与 合同， 仍是对称阵. 所以经可逆线性变换后，二次型的对应矩阵是合同的. 也可以说：合同的矩阵是同一二次型关于不同变量的矩阵 [我们教材是将变量看成 个基下的坐标， 是一个基到 另一个基的过渡矩阵，合同阵是不同基下的矩阵]. T f = X AX X CY = C T T T T f = = = ( ) CY ACY Y C ACY Y BY T B C AC = A B B n R − C 5．实对称阵 （不但和对角阵相似，也与对角阵合 同）. 由于实对称可正交相似对角化. 所以存在正交阵 ， 使 所以实对称阵 都与对角阵合同. 换句 话说，就是任意实二次型都可通过一个适当的可逆线性变 换化成只有平方项 而没有混合项 . 这就引出了二次 型的标准形的概念. Λ P 1 T , − P AP P AP = = Λ A 2 ( )i x i j x x
202 例4与矩阵A=0-30既相似又合同的矩阵是() 2 (A)-1 (B) 0 C (D) 分析:A是实对称矩阵,所以彐正交阵,使它和一个对 角阵既相似又合同,对角阵的对角元恰是A的特征值 哈工大数学系代数与几何教研室
2 3 0 − 例4. 与矩阵 既相似又合同的矩阵是（ ） （A） . （B） . （C） . （D） . 2 0 2 0 3 0 2 0 2 = − A 1 1 0 − 3 4 0 − 2 3 0 − 分析： 是实对称矩阵，所以 正交阵，使它和一个对 角阵既相似又合同，对角阵的对角元恰是 A 的特征值. A
A-20-2 解:|E-A=02+30=2(+3)2-4) 0 A的特征值是0,-34,与A既相似又合同的矩阵是3 ,所以应选(D) 哈工大数学系代数与几何教研室
解： 的特征值是 ，与 既相似又合同的矩阵是 ，所以应选（D）. 2 0 2 | | 0 3 0 ( 3)( 4) 2 0 2 − − − = + = + − − − E A A 0, 3,4 − A 4 3 0 −