多变量自寻优极点配置自校正控制器

D0I:10.13374/i.issn1001-053x.1992.02.010 第14卷第2蝴 北京科技大学学报 Vol.14No.2 1992年3月 Journal of University of Science and Technology Beijing March 1992 多变量自寻优极点配置自校正控制器 陶守林·舒迪前· 摘要：本文提出的一种多变量自寻优闭环移动极点自校正控制算法的基本策略是：在 控制过程中，以多变量广义最小方差为目标，自动移动闭环极点，且使其在控制量允许的范 围内，闭环极点处在理想位置的系统。这样不仅能实现最优控制，且具有极点配置的鲁棒性。 关键词：多变量系统，自寻优，阳环移动极点，极点配置 Multivariable Self-optimization Pole Assignment* Self-tuning Controller+ Tao Shoulin Shu Digian ABSTRACT:This paper presents a multivariable self-optimization pole assign- mnent,self-tuning control algorithm,It can self scarch closed-loop poles and be located oa approprate positions in the allowing scale of control measure.This algorithm not only implements optimization control,but also has still robustness of pole assignment. KEY WORDS:multivariable system,self-optimization close loop move pole, pole assignment 在极点配置方法中，闭环极点常常被配置在预定的位置上，所需控制量在某种程制上和 设置的闭环极点与原开环极点的距离成反比例。如果闭环极点的位置选择不当，可导致控制 量过大，甚至使系统失稳，特别是在系统传函先验知识不足时，更易发生上述情况。Ghosh〔1) +国家自然科学基金资助项目 1991-09-25收稿 自动化系(Dept.of Automatic Control) 176

第 卷第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 。 。 闷 多变量 自寻优极点 配置 自校 正控制 器 ‘ 陶守林 ’ 舒迪 前 乓 摘 要 本文提出 的一 种 多变量 自寻 优闭环 移动极点 白校正 控 制算法 的基本 策略 是 在 控制 过程 中 ， 以 多变量广义最 小方差 为 目标 ， 自动 移动 闭坏 极 点 ， 且使 其在控 制量 允许 的 范 围 内 ， 闭环极 点处在理想位置 的系统 。 这样不 仅 能实现最优控制 ，且具有极点配 置的鲁 棒性 。 关键词 多 变量 系 统 ， 自寻 优 ， 闭 环 移动 极 点 ， 极 点 配置 一 小 一 ‘ “ ， 一 一 ， 一 一 往 盯 。 ， ， 一 ， 在极点 配置 方法 中 ， 闭 环极点 常常被配置 在预定 的位置上 ， 所需控 制量在某种程制上 和 设置的闭 环 极点 与原开环极点的距离成反比 例 。 如果 闭 环极点的位置选 择不当 ， 可导致 控制 量过大 ， 甚至使系统失稳 ，特别是在系统 传函先验知 识不足时 ， 更易发生上述情况 。 〔 ‘ ’ 一 一 一 一 国一家 自然科学一基金资助 项 目 一 一 收稿 自动化 系 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1992．02．010

等人提出了一种极点移动自校正控制算法，其基本思想是选择一个合适的极点移动因子“， 使汀环极点沿径向朝乙平面原点移动，从而获得一个稳定的控制器。但要选择一个合适的极 点移动因子“，并非易事，这往往依赖于系统运行条件。 Chengshi-一Jier2)和A·Chandrac8)等人相继提出了自寻极点的控制思想。本文在此基 础上，并根据实际对象的要求，将这种思想推广到多变量系统。这种算法不仅避免了预先确 定闭环极点位置，而且仍然保持了极点配置的鲁棒性。 1多变量广义最小方差控制策略 Clark和Gow thop4)在1975年就提出了广义最小方差控制策略。其基本思想是构造一 个输出系统，并以输出误差和控制分别加权的性能指标为最小来设计控制器。这样不仅可克 服自校正调节器的主要缺点，且又保留了它的简易性。 1.1被控对象 设被控过程可用CARMA模型来描述 A(Z-1)Y(K)=B(Z-1)U(k-d)+C(Z-1)e(s) (1) 式中YK)∈|R。、U(x)∈R、ex)∈R'分别为过程输出、控制输入和均值为零、方差为 R的白噪声向量序列：d为系统的最小延时；A(Z-1)∈1R2、B(21)∈R2)、C2-1)∈ A。 R{3)。且有A24)=1+∑A,2-,Bz-)-∑B:Z-,Cz)-1+∑C,2。 i1 i=1 i=1 1.2性能指标 J=EP(Z-1)Y (+d)-R(z-1)W(K)2+Q(2-1U(K (2) 其中，WK∈RP是已知参考信号向量，可为时变，P(Z1)∈1R,R(Z1)∈R2, Qz-∈1R2)是加权多项式阵，且有P2-)=∑P,Z,Q2)=∑Q2,R(z) i=1 i=1 =∑RZ-'。要求P。、P(亿)均为非奇异。最优控制率UK)可通过使性能指标J为极小 i=1 求得。 1.3辅助系统输出及d步向前最优预报器5) 定义辅助输出中(K)=P(Z-1)Y(K) (3) 引入矩阵变换P(2-1)A(Z)=A(z-)P(Z-1),且定义C2)=PZ1)CZ-),B(Z1)=PZ1) B(Z1),并要求P(Z1)、A(Z-1)右互质，且满足：detA(Z1)=detA(Z-1),A(o)=Ip;PZ-1)、 1R法1)左互质，存在不唯一，且有a2)=1+∑A,2,B2-=》 i=1 177

等人 提出了一种极点移动 自校正控制算法 ， 其基本思想是选择一个合适 的极点 移动 因子 内 使 闷环 极点 沿径向朝 平面原点移 动 ， 从而 获得 一个稳定 的控制器 。 但要选择一个合适 的极 点 移动 因子 ， 并非易事 ， 这往往依赖于 系统 运行条件 。 一 〔 “ ’ 和 · 〔 “ 〕 等人相 继提 出 了 自寻 极点的控制思想 。 本文 在此基 础 上 ， 并根据 实际 对象的 要求 ， 将 这种思想推广到 多变量系统 。 这种算法不仅 避 免 了预先确 定闭环极点位置 ， 而且仍 然保持 了极点配置 的鲁棒性 。 多变量广义最小方差控制 策略 和 〔 ， 在 年就 提 出了广义 最小 方差控制策略 。 其基本思 想 是 构造一 个输 出系统 ， 并 以输 出误差和控制分别加权的性能 指标为最小 来设 计控 制器 。 这样 不仅可克 服 自校正调 节器的 主要 缺点 ， 且又保 留 了它的简易性 。 被控对 象 设被控过程可 用 模型 来描述 一 尤 一 九一 一 。 、 式 中 二 任 ，、 任 ’ 、 。 任 户 分 别为 过程输 出 、 控制输人 和 匀值 为零 、 方 差为 ， 的 白噪声 向量序 列 为 系统的 最小延时 一 ， 任 乡泣仁 哆 一 ， 任 瑟几 、 一 ， 任 云 护 几 。 且有 一 ‘ 习 ‘ 一 ‘ ， 一 一 弓 ‘ 二 ‘ ‘ 一 ‘ ， 一 ， 二 习 ‘ 一 ‘ 性能指标 麦 一 ， ‘ 一 尸 一 班 尤 其 中 ， 班 〔 ” 是 已知 参考信 号向量 ， 日 一 可 为时变 ， 一 ， 任 ‘ 抢 一 ，，任 吮笋 是加权多项式阵 ， 且有 一 ， 习 尸 ‘ 一 ‘ ， 一 ， 一 ‘ 任 指少 〕 ， 朴 习 毛 一 ‘ ， 一 ， 二 习 ‘ 一 ’ 求 得 。 要求 口 、 一 ， 均 为非奇 异 。 最优控制率 〕可通 过使性能 指标 为极 小 。 辅助 系统输出及 步向前最优预 报器 〔 ” ’ 定义辅助输 出咖 一 弓人矩阵变换 一 一 一 〕尸 一 ， ， 且定义 一 ， 二 尸 一 ‘ 》 〔 一 ‘ ， 一 ‘ 一 ‘ ， 、 一 ， ， 并要求 一 、 一 右互质 ，且满 足 一 二 一 、 ， 。 户 一 ， 、 一 引卿笋 ， 左 互质 ， 存 在不唯 一 ， 且有万 一 二 十 名亘 ‘ 一 ’ ， 云 一 ， · 二 一 ‘ 一 ‘ 、 习心 ’

he.p ℃(2)=∑C,Z。再1入多项式矩阵恒等式： i=0 C(z-1)=A(Z1)F(Z-1)=Z-4G(Z1) (4) 由于A(o)=I非奇异，所以由(4)式确定的F(21)和G(Z1)是唯一的。定义：F(Z-1)= F(Z-1)P。',G(Z-)=G(z-1)P。', 则有：F(z)GZ1)=G(z-)Fz-1) (5) 用P。'乘(4)式，结合(5)式可推得辅助输出的最优d步向前预报器为 K+dK)=F(B(+G( 预报误差为中(k+d)=(+d)-中（点+dh)=F(Z)ek+d) (6) 1.4多变量广义最小方差控制器 令aJ/aU(K)=0,可推得 B.C(k+d)-R(21)W(K〕+Q(Z-1)U(K)=0 (7) 因B。∈IR2),p≤q,所以p<q时，B。为非方阵。对B。求逆可用广义逆来求解。控制 律U(K)的显式形式为（推导从略） U(K)=-H2-1)〔M(Z1)0(K)+HZ-1)U(K-1)+V(Z1)W(K门 (8) 式中M(Z-2)∈1R2),N(Z)∈1R21),H(Z1)∈1R2) M(Z-1)=BG(-1) H(Z)=B5F(z-1)E(z1)+C(z)Qz-1) (9) Nz-)=-元(z-)BRZ1) 1.5闭环系统方程 闭环系统方程用系统阵来表示： /A(Z-1)Z-B(z-1):-C(Z-1)0 CY(Z) -M(Z-1)P(z-1)H(Z1): 0-N(Z1) -U(Z) 0 (10) e(2) Ip 0:00 W(Z) Y( 其特征阵 178

力。 材 户 瓦 一 ， 二 名 万 ‘ 一 。 再引人多项式矩阵恒 等式 一 二 刁 一 一 二 一 一 劝 由于 月卜奇 异 ， 所 以 由 式 确定的 一 ， 和 一 工 是 唯 一 的 。 定 义 一 ， 一 尸石 ， 一 一 尸万 ， 产、 矛 八、 ‘ 子 则 有 一 ， 一 ， 八 ‘ 、 “ 一 一 用 尸万’ 乘 式 ， 结合 式可推得辅助输 出的最优 步向前预报器为 产、 ， 月、 ‘ 价七尤 尤 才 一 〔 艺 一 ， 一 ， 一 劝兀 〕 预 报误差为 价 ‘ 吵 、 一 吵 、 二 一 ， 。 、、 ， ， 。 多变 广义最 小 方差控制 器 令 伏 ， 可推得 。 〔砂 ‘ 己 ‘ 一 一 牙 尤 〕 一 尤 因百 。 〔 奋多 ， ， 所 以 时 ， 万 。 为非方阵 。 又扭 。 求逆可 用广义逆 来求解 。 控 制 律 幻 的显式 形式为 推导从略 尺 一 万万玄 一 〔汀 一 吵 尺 万 二 一 “ 尤 一 ， 万 一 平 尺 〕 式 中 一 任 “ ， 万 一 ， 任 含一 ， 一 任 挂， 。 一 石 一 之 吧 门、 口 二二 一 石 一 一 一 一 一 一 一 ， 石 一 ， 、、 闭环 系统方程 闭环 系统方程 用 系统阵来表示 厂 … 卫 … 一 一 ‘ 一 三 一 一 一 一 ， 三 一 一 一 一 夕 户 其特征阵

了A(21) Z-dB(7-1) 4= -M(Z1)P(Z-1)H(Z-1) (p+q)(p+g) 特征方程为 detd=detA(z-1).det (1)+Z-IM(Z-1)P(Z-1)A(Z-1)B(Z-1) 变换后可简化成： detA=det C(z-1)del[BPP(Z-1)B(Z-1)+Q(Z-1)A(z-1)] (11) 式中A(Z-1)B(Z1)=B(21)A21)且A(2-1)∈1R2),B(z-1)∈1R。从上式可看出， P(71),Q(21)对闭环系统的稳定性起着一定的作用。 2自寻优极点配置自校正控制策略 自寻优极点配置控制思想，就是在控制过程中，以广义最小方差为目标，在控制量允许 的范围内，使闭环极点沿径向朝Z平面原点移动，且能使闭环极点始终处于最佳位置上。所 谓使闭环极点沿径向朝Z平面原点移动，即闭环特征多项式阵T(z~)具有下列形式： T(eZ-1)=Ig+8T1Z-1+82T2Z-2+...+8T.Z- (12) 式中B∈lR系对角阵，为极点移动因子阵，即diag3=〔a1,a2…ag门，0<a,<1,(i= 1,2…9)。在极点移动过程中，还要保证使损失函数J=E1|中(k+)|2}为极小。因 (k+d)=B(+d)-R(Z-1)W (k)]+Q(Z-1)u(k) (13) 460=3b/3a4a+骆d加 其中a=〔a1a2…agJ为极点移动因子矢量，而4c=〔4a1,4a2,…Aag)为极点移动修正因 子矢量，所以au/aa=-〔ap/aa〕〔ap/au)i 由广义输出方程可知 中()=〔f1(a1ak)…fqa1,-a:k)]r 所以 aa1 aag aφ … 8中 aa 中=f。 ，8u afa 0a1 Bag g×9 f。∈|R的常数阵，令控制量为umin≤u≤umax极点移动修正因子矢量△a可由下式来 出： 179

一 一 万 一 一 万 一 一 一 ‘ 户 户 一 特 征方程 为 」 一 · 〔 一 ， 一 了 一 一 万 一 ， 一 〕 变换 后可 简 化成 」 一 ， 〔 百 。 一 一 一 一 〕 式 中 一 ，。 一 ， 武 一 ， 挂 一 ，且 分 一 。 毖几 ，， 云 一 ， 。 户 一 。 从上式可 看 出 ， 尸 一 ， 一 ， 对闭环 系 统 的稳定性起 着 一定 的 作 用 。 自寻优极点配置 自校正控 制 策略 自寻优极点 配置控制思想 ， 就 是 在控制过程 中 ， 以广 义最小方差 为 目标 ， 在控制量允许 的 范 围内 ， 使闭环极点 沿径 向朝 平面原点移动 ， 且能 使闭 环极点 始终处于 最佳位置上 。 所 谓使闭 环极点沿径 向朝 平面原点 移 动 ， 即闭环特 征多项式阵 一 具有下 列形式 刀 一 。 日 一 ‘ 日 “ 一 “ … 尽 ” ’ ， ， 一 ’ ‘ 式 中 日任 ’ 义 ’ 系对角阵 ， 为极点 移 动 因子阵 ， 即 日 〔 ， … 。 〕 ， ， 二 ， · 。 在极点 移 动过程 中 ， 还 要 保证 使损失 函数 日功 、 ’ 为 极小 因 功 百〔劝 秃 一 一 才 儿 〕 一 ， 无 」功。 、 。 蒯。 。 」。 通也 」“ 封 其 中 二 〔 一 。 〕为极点 移 动 因子矢 量 ， 而」 二 〔」。 ， 」 ， …」 。 〕 为极 点移 动修 正 因 子矢 量 ， 所 以 “ 一 〔种 的 · 〔种 “ 〕 一 ‘ 由广义输 出方程可知 毋 ， 〔 ， 。 · … 。 。 … 。 ， · … 。 、 〕 所 以 、、， 一 一八 一 ︸ ︸ 一︸于门 ︸︸ 卫 旦 … 旦丛 』些“ 一 ﹃一 讯一 了 。 任 “ “ “ 的常数 阵 ， 令控制量 为 。 簇 “ 镇 。 二 极点移 动修 正 因子 矢 量 可 由 下 式 宋 出

△a=-k〔au/aa〕-14w (14) 其中，k为一个正常数，其目的避免a()变化过大，因此，变极点因子a(t)为 a(k)=a(k-1)+4a （15) 求出每个采样时刻的a(),即可确定该时刻闭环极点位置，从而实现了在4()允许范 围内的广义最小方差控制。 3自寻优极点配置自校正控制算法 3,1加权多项式P(Z-1)Q(Z~1)R(Z-1)的确定 由极点配置方程及伪交换方程A(z1)B(Z1)=B(Z1)A(Z1)及B6P8P(Z)B(Z1)+ Qz-1)Az-1)=T(Bz-1)可求得P(z-1)Q(Z-1)及np=degP(z-1)=m,-ns,n,=degQ(Z-1 =n,一n。由稳态跟踪偏差为零可求得R(Z-1)。很显然，它们均是极点移动因子a(k)= 〔a1(k)…a,(k)〕的函数。 3.2闭环极点的确定 闭环极点应避免配置在左半圆内，其最佳位置在单位圆内正实轴上，并靠近原点，此时系 统响应迅速，过程单调。考虑到波动的影响，极点应距原点有一定距离。一般按系统设计指 标要求确定T(Z-1)∈IR2) 3.3估计参数方程 结合(8)式、(9)式、(10)式可得 C(Z-1)中k+d)=M(Z-1)p(k)+H(Z1)u(k)+N(Z1)W()e(+d) (16) 为了得到实用的估计参数方程，对C(Z1)讨论。 (1)C(z-1)=1g(即C(z-)=1g,P(z-1)=P。时)，(16)式可写为 中(+d)=⊙Tpr+e(k+d) (17) 其中：日=〔Q1Q2…Q)=〔M,M:;H。H5N。N1T pF=Cx)7x-1);u7x)u7x-1)…,W)Wk-1)…) 根据(17)式可估计出H。户，，户。户1…N,心，…，从而可求出控制律，显然 因()与a()有关，所以u(k)边与&()有关 (2)C(Z-1)≠Ig(即C(Z1)≠Ip或P(z-1)≠P。)时(16)式可写成 p(k+d)=M(Z-1)中(k)+H(Z-1)u(k)+N(Z-1)W()+e(k+d) -C*〔中k+d-1)-e(+d-p〕 (18) 180

』 一 〔 〕 一 ‘ 。 其 中 ， 掩为一个正常数 ， 其 目的避免 尚 变化过大 ， 因此 ， 变极点 因子 ， 为 吞 吞 一 求 出每个采样时刻 的 ， 即可 确定该时刻 闭 环极点位置 ， 从而 实现了 在 傲 允许 范 围内的广义最小方差控制 。 自寻优极点配置 自校正控制算法 。 加 权多项式尸 一 ， 一 ‘ 一 ‘ 的确定 由极点配置方程及伪 交换方程 一 一 ， 一 ‘ 一 ， 及 石尸石尸 一 ‘ 一 一 一 ， 叨 一 可 求得 一 一 及 ， 一 ， 一 ‘ ， ， 一 ， ， 一 。 。 。 由稳态跟踪偏 差为零可求得 〔 一 ‘ 很显 然 ， 它们均是极点 移 动 因 子 “ 。 〔 … 。 〕 的 函数 。 。 闭环极点的确定 闭 环极点 应避免配置 在左半圆 内 ， 其最佳位置 在单位圆内正 实轴上 ， 并靠近原点 ， 此时系 统响应迅速 ， 过程单调 。 考虑到波 动的影响 ， 极点应距原点有一定距离 。 一般按 系统设计指 标 要 求 确 定 一 〔 肠几 。 估计今教方程 结合 式 、 式 、 式可得 氏 一 价 十 一 吵 。 一 “ 一 平 、 。 ， 为了得到实用的估计参数方程 ， 对 一 讨论 。 尸 。 时 ， 式 可 写 为 毛 、 ，不犷 毛 二 一 … 牙︸ 一 即 一 ， 一 必儿 日 尹二 ， ‘ 十 其 中 日 〔 … 。 〕 〔 。 ” · 。 ， ，弄 〔势认 叻毛 一 ， ” · “ 认 ，“ 互 一 ‘ 二 ， 。 ， …〕 根据 式可 估计 出万 。 。 一 。 ， … ， 从而可 求 出控制 律 “ ， 显 然 因 沪 鑫 与 盖 有关 ， 所 以 吞，边与 任 有 关 刀 一 笋 。 即 一 笋 夕或 一 尹 。 时 式可 写成 功。 二 一 ‘ 劝 、 一 ‘ 。 。 一 牙 一 〔价 一 一 ” 一 不〕 羊