计算机在“准晶”研究中的应用

D0I:10.13374/i.issn1001-053x.1992.02.028 第14卷第2期 北京科技大学学报 Vol,14 No.2 1992年3月 Journal of University of Science atd Technology Beijing March 1992 计算机在“准晶”研究中的应用 吴玉珍· 闵乐泉· 摘要：高分辨电子显微图(HREM)和电子衍射图(EDP)是研究物质结构的强有力 工其，只有利用计算机才能对HREM和EDP进行有效的分析、处理。本文介绍计算机在研 究新的物质形态一准晶态方面的应用，给出了有关的计算低图和根据准品的HRBM和 EDP来研究其结构的实例。 关键词：谁品，计算机模拟，衍射图。 Application of Computer to Research of Quasicrystals Wu Yuzhen Min Lequan' ABSTRACT:High-Resolution Electron-Microscopic Images (HREM)and Ele- ctron-Diffraction Patterns (EDP)are strong tools for researching matter stru- ctures.By using computer only,it can effectively analyze and deal with HREM and EDP,The application of computer in researching new matter state-- "quasicrystal phase".The diagram flow-chart of the computer is given. Some practical example for researching quasicrystal structures are presented by observing HREMs and EDPs of quasicrytals, KEY WORDS:qusicrystal,computer,EDP 1984年11月，Shechtman等c1)首先报导在急冷Al一Mn合金中发现了一利具有5次旋转 对称衍射图(EDP)的合金相，这个发现标志着晶体学准则一经典晶体群理论的瓦解，因 1991-07-29收稿 -数力系(Department of Mathematics and Mechanics) 292

第 卷第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 ，二 。 。 算机在 “ 准晶 ” 研究 中的应用 场 吴 玉 珍 习乐泉 必 犷 摘 要 高分辨 电子显微图 和 电子衍射 图 是 研究物质结 构的强有力 工具 ， 只 有利 用计算机 才能 对 和 进行有效 的 分析 、 处理 。 本 文介绍 计算机在研 究新的 物质形态 — 准 晶 态方面 的应 用 ， 给出 了有关的计算框 图 和 根 据 准 晶 的 和 来研究其结构的实例 。 关键词 准 晶 ， 计算机模拟 ， 衍射图 。 牙“ “ 人 ’ 叮 九 ， 一 一 一 红 。 ， 。 旧 甲 一 ‘ 。 一 了 。 ， ， ‘ 年 月 ， 等 〔 ‘ ，首 先报导 在急冷 一 合金 中发现 了一朴具有 次 旋转 对称衍射图 的合金相 ， 这个 发现标志着 晶体 学 准 则— 经典晶体群理论的瓦 解 ， 因 一 一 收稿 一 数力系 五 又 笋 DOI ：10．13374／j ．issn1001—053x．1992．02．028

为根据该理论晶体只能有1、2、3、4、6次旋转对称.随后有关科学家又发现了具有10次(23、 8次〔3)和12次(4,5)旋转对称衍射图的合金相。当前流行的观点是：这些合金相是不可能利 用周期结构解释的〔8)，因此目前把这些合金相统称为准晶。从此，准晶成为凝聚态物理的 热门研究课题，但是对谁晶结构的认识还是不很全面的，至今仍设有提出被人们普遍接受的 准晶模型。 作者首先通过观测清晰的A1一Mn和AI一Mn一Si5次准晶的高分辨电子显微图 (HREMS)c-1),发现该图中的亮点分布具有周期性结构特征，而不是所谓的Penrose tiling11,从而提出了描述该HREMS的周期性模型r12-18)和广义晶体群c13)。最近通过 分析12次准晶的EDP(5,提出了几个具有三维周期性的原子模型14)151，圆满地解释了i 实验观测结果5)，而在准品研究中计算机是强有力的工具，在建立、完善准晶的数学模型 中起若重要作用。 1问题的提出 对于准晶的观测主要是通过HREM和EDP来实现的。HREM在准确的情况下可以看成 是准晶空间结构在平面的投影，而EDP相当于谁晶结构的Fourier变换图。目前的困难是准 晶的HREM都不很清晰（从而导致了是非周期结构的假说），因此，无法精确判断真实 结构。另一方面由于Fourier逆变换的不稳定性，也不能直接由实验谁晶的EDP来反推出真 实结构，因此，我们的作法是尽量利用准晶的HREM和EDP所提供的信息，提出准晶的 原始模型，然后对该模型进行Fourier变换与真实晶的EDP相对照，有不符合之处，就对 原始模型进行调整，再对调整后的模型进行Fourier?变换，如此反复直至符合EDP为止。从后 文将得知，原始模型的初基晶胞中一般要含数百个原子。同时，模型的Fourier?变换图一般 要分布在上万个网格点上，因此对数百个原子进行上万次Fourier变换，这么大的工作量只 能由计算机才能完成。再者只有利用计算机才能有效地精确地绘制出含有数百个原子的初晶 胞的原子模型。因此，本研究中为了满足上述要求，在计算机上做了大量的工作，提供研究 准晶的软件。 2在准晶研究中计算机的工作框图 在准晶的研究中需要进行大量的数值计算、数据处理和绘制原子结构图。计算机是实现 算法的有力工具，以下是程序设计的框图。 每一个框图中要做很多细致的工作，例如，修改模型： (1)要修改初基晶胞中原子数量、种类、分布情况、几何位置等等。 (2)调整多面体的几可参数，画出立体投影图。 对于研究复杂的准晶问题，不可能立即解决问题的每一个细节，因此，往往采用“自上 而下，逐步细化”的研究方法，从粗到细逐步具体化。在开始阶段，可以用“抽象的描述” 来概括一些准品的重要特征，忽略一些次要的细节，如建立初始数学模型。这种“先抽象， 后逐步细化”分析问题和解决问题的方法，可最后达到健全数字模型的目的。 应用计算机对准晶逐步细化的研究，在12次准晶中提出了几个数学模型，圆满地解释了 293

为根据该理论晶体只能有 、 、 、 、 次旋转对称 。 随后有关料学家又 发现了其有 次 亡“ ’ 、 次 〔 “ ’ 和 次 ‘ ’ 〕 旋转 对称衍射图的合金相 。 当前流行的观点 是 这些合金相 是不 可 能利 用 周 期结构解释的 〔 ’ ， 因 此 目前把 这些合金相 统 称 为准晶 。 从 此 ， 谁晶 成 为凝聚态 物 理的 热 门研究 课 题 ， 但 是对准晶结 构的认识还 是不很全 面的 ， 至今仍 没有提 出被 人 们普遍接 受 的 准 晶模型 。 作 者首 先通过观测 清 晰 的 一 和 一 一 次准 晶的高 分 辨 电 子 显 微 图 〔 一 ‘ 。 ’ ， 发现该 图中的亮点分布具有周 期性结构特 征 ， 而 不 是 所 谓 的 〔 ‘ ” ， 从而提 出 了描述该 的 周期性模型 亡 ’ “ 一 ’ “ 〕 和广义 晶体群 厂 ‘ “ ’ 。 最 近 通过 分析 次准 晶的 〔 “ ， 提 出了几 个具有三维周 期性的 原子 模型 〔 ’ 〕 〔 ‘ “ ， 圆 满 地解释 了 实验观测结果 〔 〕 ， 而 在准 晶研究 中计算 机 是强 有 力的工具 ， 在建立 、 完善准 晶 的数 学模型 中起着重 要作用 。 问题的提出 对于准晶的观测主要是通过 和 来 实现的 。 · 在准确 的情况下 可 以看成 是准 晶空 间结 构在平面 的投影 ， 而 相 当于准 晶结 构的 变换 图 。 目前 的 困难是准 晶 的 都不很清晰 从而导 致 了是非周期结 构的 假说 〔 ’ ， 因此 ， 无法精确 判 断真实 结构 。 另 一方面 由于 逆 变换 的不稳 定性 ， 也不能直接 由实验准 晶的 来反推 出 真 实结 构 。 因此 ， 我 们的作法 是尽 量利用 准 晶的 和 所提 供 的 信 息 ， 提 出 准 晶的 原始摸型 ， 然后 对 该模型进行 变 换与真实谁 晶的 相对 照 ， 有不符合 之处 ， 就 对 原始模型进行调整 ， 再对 调整后 的模型 进行 。 。 变换 ， 如此 反复直 至符合 为止 。 从后 文将得知 ， 原始模型的 初基 晶胞 中一般要含数百个原 子 。 同时 ， 模型 的 变 换 图一般 要分 布在上万个网格点上 ， 因此 对数 百个原子进行上 万次 。 盯 变换 ， 这 么 大 的工作 量只 能 由计算机才能 完成 。 再 者只有利用 计算机才能有效地精确地绘 制出含有数百个原 子的初晶 胞 的原 子模型 。 因此 ， 本研究 中为了满 足上述要求 ， 在计算机上 做了大 量的工作 ， 提 供研究 准 晶的软件 。 在准晶研究中计算机的工作框图 在准 晶的研究 中需 要进行大 量的数值 计算 、 数据处 理和绘 制原子结构图 。 计算机是实现 算法的 有力工具 ， 以下是程序设计的框图 。 每一个框图 中要 做很多细致的工作 ， 例如 ， 修 改模型 要修改初基 晶胞 中原 子数 量 、 种类 、 分布情况 、 几何位置等等 。 调整多面体的 几何参数 ， 画 出立体投影图 。 对于研究复杂 的准 晶问题 ， 不 可 能 立即解决问题的每 一个细 节 ， 因此 ， 往往采用 “ 自上 而下 ， 逐 步细化 ” 的研究 方法 ， 从粗到 细逐步具 体化 。 在开始阶段 ， 可 以用 “ 抽 象的描述 ” 来概括 一些 准 晶的重要特 征 ， 忽略 一些 次要的细 节 ， 如建 立初始数学模型 。 这种 “ 先抽 象 ， 后逐步细 化 ” 分析 向题和解决问题的 方法 ， 可 最后达到健全数 字模型的 目的 。 应用 计算机对准 晶逐步细 化的研究 ， 在 次准 晶 中提 出了几个数学 模型 ， 圆满地解释 了

Data-collect from HREM and EDr Set up urinary model Draw fundasental block:polyhedrons and t primjtive cells,and show then on computer Print data table of Fourier transforn of oose cratical value of ar2teoeC Are'not agreement with Hend prinary model nserystal Are agrrenent with uco all Figs.by plotter 图1程序设计框图 Fig.1 Scheme of programming 实验观测结果。 在准晶研究中需要对数百个原子的初基晶胞建立原子模型，这就需要使用的计算语言必 须具有计算、数据处理及丰富的作图功能。为此，在对多种高级语言研究分析的基础上进行 优化，最后选用简便易行的两种以上语言进行程序设计，既方便又灵话，有利于对准晶深人 的研究。利用计算机绘图仪绘出多面体图、初基晶胞图、晶格图、模拟电子衍射图等70余 张。 了应用实例 现着重介绍利用计算机研究5次和12次准晶的2个实例。 3,1模拟5次准晶的EDP 有关A1-一Mn一Si5次准晶的HREM,可以用周期性结构来描述1218)。但由于该 准晶的HREM分辨率有限，具体结构仍不能确定，利用计算机对初步提出的周期结构模 型ci2'13),进行Fourier变换（即模拟准晶的EDP),发现该Fourier变换图与实际准晶的 EDP:")有不符之处。按照前面计算机框图程序中所列的步骤，反复对结构模型进行调整、 分析，从而得知当去掉文献〔13)图2中以结点C58,C19,K=2,5,9影C。},C1A,=2,5, 8,C,C1,k=2,6,9为起点的诸向量后，其余矢量平移后产生的格点阵的Fourier变换 图（见图1）更符合于真实准晶的EDP:·)。 3.2构造12次准晶的三锥原子模型 我们曾经构造了3个12次准晶5)的三维原子模型14’15)，这里简要地给出一个新模 294

日 〔 州 日 门 仁 一 一 一 曰 口走 侧 阳们 门 匕 、 ， 日 卜 柑 “ 自 一 州 ， 宁自 一 一 ， ‘ 目 甲闷 尸 上 七 日 日 。 。 「。 昌「。 巾 们 月 一 ‘卜 七二 工 工 刁 ‘ 。 。 、 四 。 元。 厂 ， 二。 臼盈七 已 子 几甘」 图 程序设计框图 。 实验观测 结果 。 在准 晶研究 中需 要对数百个原子的初 基晶胞建 立原子模型 ， 这就需要使用 的 计算语言必 须具有计算 、 数 据处理及丰富 的 作图功能 。 为此 ， 在对 多种高 级语言研究分析 的 基础上进行 优化 ， 最后选用简便易行 的两种 以上语言进行程序设 计 ， 既方便又灵活 ， 有利于 对准 晶深人 的研究 。 利用 计算机绘图仪 绘 出 多 面 体 图 、 初基晶胞 图 、 晶格图 、 模拟电子衍射图等 余 张 。 应用 实例 现着重 介绍利用 计算机研究 次和 次准 晶的 个实例 。 卜 模拟 次 准 晶 的 有关 一 一 次 准晶的 〔 ” ， 可 以用 周期性结 构 来描述 〔 ‘ ” ‘ ’ 。 但 由于该 ‘ 准 晶的 分辨率有限 ， 具体结构仍 不能 确定 ， 利用 计 算 机 对 初 步 提 出的周期 结构模 型 〔 ‘ ” ‘ “ ’ ， 进 行 变 换 即 漠双准 晶的 ， 发现 该 变 换图与实际准 晶的 ‘ “ ， 有不 符之 处 。 按 照前面 计算机框 图程序 中所列的步骤 ， 反复对结 构模 型进行调整 、 分析 ， 从而得知 当去掉文献〔 〕 图 中以结点 了君 ， ， ， ， ， 吉二 、 ， 李 、 ， 龙二 ， ， 公 ， 扰 ， 二 ， ， 为起点 的诸向量后 ， 其余矢 量平移后产生的格点 阵的 变换 图 见 图 更符合于真实准 晶的 〔 ” 。 构造 次准晶 的三维原子模型 我 们 曾经构造 了 个 次准 晶 〔 ’ 的三维原子模型 〔 ‘ 弓 ” ’ ， 这 里简要 地 给 出一个新模

型，详文将另行阐述。本文模型的基本构筑单位是所谓的T多面体，V原子和N原子在T多 面体中有两种分配方式，这些多面体的立体图用计算机绘制出，见图2。由8个图2所示的T 多面体，形成一个初基品胞。图3是初基晶胞在X~Y平面的投影。由此晶胞生成一个三维 晶体模型，其原子成分是V42,7,Nis7,3,该晶体模型的Fourier?变换图由计算机绘H,见 图4。不难看出它们与真实准晶的EDP()极为相符。 Ho和Lc1)也曾提出二维周期结构来描述12次准晶4)〔5)。我们用计算机对该同期结 构进行Fourier变换后，所得到的Fourier?变换图，见图5，可清楚看出该图与真实准晶的EDP 有明显的不同。 注记：由上述例子可以看出相应周期性结构的Fourier变换图1和图2ccs),可以分别 显示出：与真实性准晶很摊区分的5次和12次对称。 9品53。 og8o88°o°88°0880 800080.°o808° 000°o828009000° 8800880980880。°83 00o00000000 0000.0 g80o3088°o880°o89 o89 088o88。o89o°880 0000.00.0000 eo° ●Ni 89o800 o V 图11种周期结构的Pourier变换图 图2V,Ni原子在T多边形巾分布方式 Fig,1 Fourier transform pattern of a Fig.2 Two different distributions of V kind of Periodic structure and Ni atoms in 7'polghedrons 888888888 l d- 000000000t 099000000 0 09 06000c600 s83328888 0 0oou 0 888888889三 Q99999999, ⊙ 00O000000 , 666668660 R88888888 图3初基品胞在x-y平面上投彩 图1 Fourier变换作平面(a)垂直于12次劬： Fig.3 Progection of a unit promitive (b)垂直于2次轴，(c)转角30 cell on the x-y Plane Fig.4 Fourier transform in a Planc 295

型 ， 详 文将 另行 阐述 。 木 文模 型 的基本 构筑单位是 所 谓的 多面体 ， 原 子 和 原子 在 多 面体 中有 两 种分 配 方式 ， 这 些 多面 体 的 立 体 图用 计算机 绘 制 出 ， 见 图 。 由 个 图 所示 的 多面体 ， 形 成 一个 初 基 晶胞 。 图 是初 基 晶胞 在 一 平面的投 影 。 由此 晶胞 生 成 一个 三维 晶体模 型 ， 其 原 子 成分是 了 ， ， 该 晶体模 型 的 变换 图 由 计算机绘 出 ， 见 图 。 不 难 看出它 们 与真 实准 晶的 〔 。 ’ 极 为相 符 。 。 和 〔 ‘ 〕 也 曾提 出二维周期结 构 来描述 次准 晶 〔 ‘ ’ 〔 ” ’ 。 我 们用 计算机 对 该 同期结 构进行 。 盯 变换 后 ， 所 得 到的 变换 图 ， 见 图 ， 可 清楚 看出该 图与真实堆 晶的 有 明显 的不 同 。 注记 由上 述例 子可 以看 出相 应周期性结构的 。 盯 变换 图 和 图 〔 扣 〕 〔 〕 ， 可 以分 别 显示 出与 真实性准 晶很 难 区分 的 次和 次对 称 。 。 豁豁巍 。 。 马含。 。 占色。 。 。 君乙。 。 。 伙一 镌 试。 占急 粼岁马豁孚 蒸误 笔夕翻磊 君黔色 …拼于琦方 份 一 汇砚二殊 一沐‘ 耀然锣 。 叉 图 一 种 周期结构的 变换图 图 。 ， 原子 在 多 边形 巾 分 布方 式 丁 几 又 了 ’ “ 李吵 丫 、价只 气、诊‘‘ 叫 。 与 个七产 月 又 的 卜 乙 二 己乙 己 日 日日仑 ‘ 图 初 基 晶胞 在、 一 平面上 投影 图 。 、， 变换 在 平而 垂 直 千 次 豹 厂 呈 一 少 垂 直于 昌 次 轴 ， 转 角 。

图5Ho-Li棋型【15I在垂直于12次轴的Fourier变换 Fig.5 Fourier transform of Ho and Li model in a Plane 参考文献 1 Shechtmen D,et al.Phys Rev Lett,1984,53:1951 2 Bendersky L,Phys Rev Lett,1985,55:1461 3 Wang N,et al,Phys Rev Lett,1987,59:1010 4 Ishimasa T,et al,Phys Rev Lett,1985,55:511 5 Chen H,et al,Phys Rev Lett,1988,60:1645 6 Steinhardt P J,et al.The physics of Quasicrystals,Wored scientific,1987 7 Pauling L.Proc Natl Acad Sci (U.S.A),1989,86:8595 8 Hirga K,et al.The Science Reports of the Research Institutes Tohoku University,1985,104:59 9 Hiraga K,et al.Proc Int Symp Science on Form,University of Tsukuba, 1986,621 10 Levine D,et al,Phys Rev Lett,1984,53:2477 11闵乐泉。北京钢铁学院学报，1988,10：391 12闵乐泉，刘钦圣，吴玉珍。北京科技大学学报，1989,11：388 13 Min Leguan and Wu Yuzhen.Phys Rev Lett,1990,65:3409 14闵乐泉，吴玉珍。北京科技大学学报，1991,13：291 15 Ho T L and Li Y,Phys Rev Lett,1986,62:917 296

图 一 模型 〔 在垂 直于 次轴 的 变换 立 参 考 文 做 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 。 。 。 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 阂乐泉 。 北京钢铁 学院学报 ， ， 阂乐泉 ， 刘钦 圣 ， 吴玉珍 北京科 技 大 学 学 报 ， ， ， ， 阂乐泉 ， 吴玉珍 北京科 技大学 学报 ， ， ，