《智能机器人技术》研究生课程教学课件（讲稿）第五章 机器人动力学模型

第五章机器人动力学前面我们所研究的机器人运动学都是在稳态下进行的，没有考虑机器人运动的动态过程。实际上，机器人的动态性能不仅与运动学相对位置有关，还与机器人的结构形式、质量分布、执行机构的位置、传动装置等因案有关。机器人动态性能由动力学方程描述，研究机器人运动与关节力（力矩）间的动态关系。>分析机器人动态数学模型，主要采用两种理论生顿一欧拉方程，拉格朗日方程>对于动力学，有两个相反的问题（1）已知各关节作用力或力矩，求各关节的位移、速度和加速度，求得运动轨迹。（2）已知机械手的运动轨迹，即各关节的位移、速度和加速度，求各关节所需要的驱动力或力矩

前面我们所研究的机器人运动学都是在稳态下进行的，没 有考虑机器人运动的动态过程。实际上，机器人的动态性能不 仅与运动学相对位置有关，还与机器人的结构形式、质量分布 、执行机构的位置、传动装置等因案有关。 机器人动态性能由动力学方程描述，研究机器人运动与关 节力(力矩)间的动态关系。 第五章 机器人动力学  分析机器人动态数学模型，主要采用两种理论 牛顿—欧拉方程，拉格朗日方程  对于动力学，有两个相反的问题 (1) 已知各关节作用力或力矩，求各关节的位移、速度和加速度，求得 运动轨迹。 (2) 已知机械手的运动轨迹，即各关节的位移、速度和加速度，求各关 节所需要的驱动力或力矩

5.1刚体的动能与势能拉格朗日函数L被定义为系统动能K和势能P之差，即：(5-1)L=K-P系统动力学方程式，即拉格朗日方程如下：aLd aL(5-2)F.i=12,.n.dt oq;aqi式中，q为表示动能和势能的坐标，9为相应的速度，而F为作用在第个坐标上的力或是力矩。>一般物体的动能与势能1动能K=my2-ma22M势能kd2P2小车-弹簧系统的拉格朗日函数11L=K-P图1一般物体的动能与势能222

2 拉格朗日函数 L 被定义为系统动能K 和势能P 之差，即: 系统动力学方程式，即拉格朗日方程如下： 式中， 为表示动能和势能的坐标， 为相应的速度，而 为 作用在第i个坐标上的力或是力矩。 L  K  P i n q L q L dt d i i i   ,  1,2,      F  (5 1)  (5 2)  qi qi  Fi 5.1 刚体的动能与势能 1 1 2 2 2 2 K mv md   1 2 2 P kd  图1 一般物体的动能与势能  一般物体的动能与势能 动能 势能 1 1 2 2 2 2 L K P md kd     小车-弹簧系统的拉格朗日函数

y拉格朗日函数导数xaLd[aL]T=md=-kddtladaddi0imiT2拉格朗日-欧拉方程(x, y)d2F= md +kdg02m2(x2, y2)二连杆机械手的动能和势能图2二连杆机器手（1）二连杆机械手系统的总动能和总势能分别为K = K, +K,1(m, + m, )d0? +=m,d (@ +0,) + m2d,d, cos 0,(0? +0,0,)(5-3)2P = P + P2(5- 4)= -(m, +m, )gd, cos0, - m2gd, cos(0, +0,)3

3 拉格朗日函数导数 d L L md kd dt d d              拉格朗日-欧拉方程 F md kd    二连杆机械手的动能和势能 二连杆机械手系统的总动能和总势能分别为： (5 3)  K  K1  K2 ( ) cos ( ) 2 1 ( ) 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1               m  m d  m d   m d d  P  P1  P2 ( ) cos cos( )   1  2 1  1  2 2  1  2 m m gd m gd (5 4)  x y θ1 θ2 T2 T1 d1 d2 m2 m1 (x1, y1) g (x2, y2) 图2 二连杆机器手（1）

5.2拉格朗日方法（1）二连杆机械手系统的拉格朗日函数L=K-P1.-m +m)4+md(+ +200+0)+m2d,d2 cos0,(0? +0,02)+(m + m2)gd cos0) +m2gd, cos(0 +02) (5-4)求得力矩的动力学方程式：D2 [0?]+[Du2 Di21 [0,0, +[D,[- Ba] [a a] Baa](5- 5)其中，D.为关节有效惯量，D.为关节和关节之间的耦合惯量。D向心加速度系数，Dii、Di哥氏加速度系数，D代表关节i处的重力

4 5. 2 拉格朗日方法 (1) 二连杆机械手系统的拉格朗日函数 Dijj向心加速度系数，Diij 、Diji哥氏加速度系数, Di代表关节i处的重力。 L  K  P ( 2 ) 2 1 ( ) 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1            m  m d  m d   cos ( ) ( ) cos cos( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2  m2 d1 d2  2 1    m  m gd   m gd      (5 4)                                                     2 1 2 1 1 2 212 221 112 121 2 2 2 1 211 222 111 122 2 1 21 22 11 12 2 1 D D D D D D D D D D D D D D T T                 (5 5)  求得力矩的动力学方程式： 其中，Dii为关节i有效惯量，Dij 为关节i和关节j之间的耦合惯量

比较可得本系统各系数如下：有效惯量Du =(m + m2)d? +m,d2 +2m,d,d, cos0,D22 = m,d?耦合惯量D2 = m,d2 + m2d,d, cos02 = m2(d2 +d,d, cos0,)向心加速度系数Di = 0D122 = -m2d,d2 sin0,D211 = m2d,dz sin02D222 = 0哥氏加速度系数Du12 = Di21 = -mzd,d, sin0,D212 = D221 = 0重力项D, =(m, +m2)gd, sin4, +m2gd, sin(, +0,)D2 = m2gd, sin(0, +0,)5

5 比较可得本系统各系数如下： 有效惯量 耦合惯量 向心加速度系数 2 1 2 2 2 2 2 2 11 1 2 1 D  (m  m )d  m d  2m d d cos 2 D22  m2 d2 cos ( cos ) 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 D12  m2 d2  m d d   m d  d d  0 sin sin 0 222 211 2 1 2 2 122 2 1 2 2 111      D D m d d D m d d D   哥氏加速度系数 重力项 0 sin 212 221 112 121 2 1 2 2      D D D D m d d  sin( ) ( ) sin sin( ) 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2            D m gd D m m gd m gd