西安电子科技大学：《数字通信理论与系统》课程教学课件（研究生）第10章 信道均衡

第10章信道均均衡 q.=2chn=0,l,2 (10-2-4) 再通过强迫使{q,n=1,2}都置0，使其单位冲激响应通近为6m)。 更一般地描述这个迫零法逼近准则，可称为峰值失真准则。设这个等效滤波 器{q}的输入矢量序列为(V,》,则输出矢量序列应为 =4oy,+∑v4n+∑cn (10-2-5) 将q。归一化为1后，式中第一项就是发送符号矢量，第二项为符号间干扰：定义该干扰的 模之和为峰值失真，即 DCe)-.l-eh (10-2-6 可见失真值D(c)是均衡器抽头系数{c,}的函数：适当选择抽头系数{c}使D(c)=O,即 .-2c4-0a0 1(n=0) (10-2-7) 便可完全消除符号间干扰，因为(q}变为6()。显然只要采用系统函数为1/H()的IR 滤波器作为均衡器，其单位冲激响应{c,}必定满足(10-2-7)式：因为(10-2-7)式的Z变换是： Q()=C(=)H() (10-2-8a) 因而有C(E)=1/H(e) (10-2-8b) ·包含匹配滤波器和噪声白化的等效信道的ⅡR迫零均衡器 采用第7章7.2.3中图7-2-1所示的等效有记忆离散AWGN信道模型：其信道滤波器单 位冲激响应{仁，n=0,1,L,}是一个最小相位序列，设其系统函数为H,(:那么可与上述 无匹配滤波器的情况类似地，用一个系统函数为1/H,(:)的Ⅱ滤波器作为线性均衡器，便 可以完全补偿信道使之成为理想特性，即单位神激中应变为()。 ，n=01,L}是原信道滤波器{h小匹配滤波器(hn}与噪声白化滤波器{w, 个单位冲激响应的卷积，其系统函数为三者相乘，即H,(:)=H()H(:)/F(:),其 中VF(:)是白化滤波器的系统函数，而(h,和(b的卷积就是(h(m)的自相关函数 {pn},其z变换为(=)=H()H(e)=F()F(:):因此，1H,(e)=F()/(=): 如果将它与白化滤波器VF()组合到一起，正好消去了F(), 西安电子科技大学

第 10 章    信道均均衡 西安电子科技大学 11 0 L n nk k k − = q ch = ∑ n = 0,1,2,. (10-2-4) 再通过强迫使{ , 1,2,.} n q n = 都置 0，使其单位冲激响应逼近为δ ( ) n 。 更一般地描述这个迫零法逼近准则，可称为峰值失真准则。设这个等效滤波 器{qn }的输入矢量序列为{ i v }，则输出矢量序列应为 0 ˆi i n in j i j ni j ∞ − − ≠ =−∞ v qv vq c =+ + ∑ ∑ η (10-2-5) 将q0 归一化为 1 后，式中第一项就是发送符号矢量，第二项为符号间干扰；定义该干扰的 模之和为峰值失真，即 D( ) c 0 0 0 L n nk k n nk n n ∞ ∞ − =−∞ =−∞ = ≠ ≠ = = ∑ ∑∑ q ch (10-2-6) 可见失真值 D( ) c 是均衡器抽头系数{ }n c 的函数；适当选择抽头系数{ }n c 使 D( ) c =0，即 0 1 ( 0) 0 ( 0) L n nk k k n n − = ⎧ = = = ⎨ ⎩ ≠ q ch ∑ (10-2-7) 便可完全消除符号间干扰，因为{qn }变为δ ( ) n 。显然只要采用系统函数为 1/ H z( ) 的 IIR 滤波器作为均衡器，其单位冲激响应{ }n c 必定满足(10-2-7)式；因为(10-2-7)式的 Z 变换是： Q z( ) =C z( ) H z( ) (10-2-8a) 因而有 C z( ) =1/ H( )z (10-2-8b) z 包含匹配滤波器和噪声白化的等效信道的 IIR 迫零均衡器 采用第 7 章 7.2.3 中图 7-2-1 所示的等效有记忆离散 AWGN 信道模型；其信道滤波器单 位冲激响应{ , 0,1,., } n e f n L = 是一个最小相位序列，设其系统函数为 H z( ) f ；那么可与上述 无匹配滤波器的情况类似地，用一个系统函数为 1/ H z( ) f 的 IIR 滤波器作为线性均衡器，便 可以完全补偿信道使之成为理想特性，即单位冲激响应变为δ ( ) n 。 { , 0,1,., } n e f n L = 是原信道滤波器{hn }、匹配滤波器{ * h−n }与噪声白化滤波器{ wn }三 个单位冲激响应的卷积，其系统函数为三者相乘，即 H z( ) f = H z( ) * 1 H z( ) − / * 1 F z( ) − ，其 中 1/ * 1 F z( ) − 是白化滤波器的系统函数，而{hn }和{ * h−n }的卷积就是{h( ) n }的自相关函数 {φn }，其 z 变换为Φ( )z = * 1 H z Hz ( ) () − = F z( ) * 1 F z( ) − ；因此，1/ H z( ) f = * 1 F z( ) − /Φ( )z ； 如果将它与白化滤波器 1/ * 1 F z( ) − 组合到一起，正好消去了 * 1 F z( ) −

第10章信道均均衡 便得到一个等效信道R迫零均衡器： 1 C-HGFHOHG) (10-2-9) 这意味着在匹配滤波之后不进行噪声白化滤波就进行逆滤波均衡。 (2)FIR迫零均衡器 前面的分析表明，信道{红，n=0,1,L}的迫零均衡器本来应该是一个R滤波器，如 果用一个2L+1阶的FR滤波器{c,k=-L,-L+l,-l,0,l,L}来近似实现，现根 据迫零准则来设计这个FIR均衡器： 设{}与{c}的卷积为{qn,n=-L,-Ln+1,-1,0,L,Ln+L,定义峰值失真： g-堂n-室24c- (10-2-10) -0 这里的D(c)是系数{C,}的凸函数，因而只有一个全局的最小值点，可以采用最陡下降法求 得能使峰值失真最小的均衡器系数， 当符号间干扰未严重到使眼图闭合，即均衡之前基带信号包络的眼图是睁开的时，迫 零解存在。Luck灯y已经证明：如果定义均衡器输入信号的失真量为 D可Σ (10-2-11) 当D<1时，背定可以通过优化均衡器系数{c,k长K使{q}在nK的范围内满足 (10-2-7)式：但这种FIR均衡器均衡的结果难免存在残余的ISL,因为在|nSK范围之外不 能保证q。-0。 (仔)迫零均衡器的性能特点 既然R均衡器消除了符号间干扰，因此其性能可用其输出信号的信噪比(SNR)来衡量： 设均衡器输入信号中的高斯白噪声的功率谱密度为中，(@)=N。,那么其输出信号中的噪声 功率谱密度变为 Φm(a)=NH(e)f (os) (10-2-12a） 相应的噪声功率为 )de (10-2-12b) 迫零均衡的主要缺点是存在稳定性问题和噪声放大现象。如果信道滤波器 西安电子科技大学

第 10 章    信道均均衡 西安电子科技大学 12 便得到一个等效信道 IIR 迫零均衡器： ' C z( ) = * 1 1 H zF z () ( ) − f = 1 Φ( )z = * 1 1 HzH z () ( ) − (10-2-9) 这意味着在匹配滤波之后不进行噪声白化滤波就进行逆滤波均衡。 (2) FIR 迫零均衡器 前面的分析表明，信道{ , 0,1,., } n e f n L = 的迫零均衡器本来应该是一个 IIR 滤波器，如 果用一个 2 +1 Lm 阶的 FIR 滤波器{ , , 1,., 1,0,1,., } k mm m c k LL L = − −+ − 来近似实现，现根 据迫零准则来设计这个 FIR 均衡器； 设{ }nf 与{ }k c 的卷积为{qn , , 1,., 1,0,1,., mm me n LL LL = − −+ − + }，定义峰值失真： D( ) c = 0 0 0 me me e m m LL LL L n k nk nL nLk n n + + − =− =− = ≠ ≠ ∑ ∑∑ q fc = (10-2-10) 这里的 D( ) c 是系数{ }k c 的凸函数，因而只有一个全局的最小值点，可以采用最陡下降法求 得能使峰值失真最小的均衡器系数。 当符号间干扰未严重到使眼图闭合，即均衡之前基带信号包络的眼图是睁开的时，迫 零解存在。Lucky 已经证明[10-1]：如果定义均衡器输入信号的失真量为 D0 0 1 1 Le n n= = ∑ f f (10-2-11) 当 D0 <1 时，肯定可以通过优化均衡器系数{ ,| | } k c k K≤ 使{ } qn 在| | n K≤ 的范围内满足 (10-2-7)式；但这种 FIR 均衡器均衡的结果难免存在残余的 ISI，因为在| | n K≤ 范围之外不 能保证qn =0。 (3) 迫零均衡器的性能特点 既然 IIR 均衡器消除了符号间干扰，因此其性能可用其输出信号的信噪比(SNR)来衡量； 设均衡器输入信号中的高斯白噪声的功率谱密度为Φηη ( ) ω = N0 ，那么其输出信号中的噪声 功率谱密度变为 Φηη ( ) ω ’ 2 0 /| ( )| ( ) j N He ω = ≤ ω π (10-2-12a) 相应的噪声功率为 Pη 0 2 | ( )| j N d H e π ω π ω − = ∫ (10-2-12b) 迫零均衡的主要缺点是存在稳定性问题和噪声放大现象。如果信道滤波器

第10章信道均均衡 的系统函数H()在单位圆上或离单位圆很近处有零点，那么IH(o)P的值在这 些频点处的值趋于无穷大，则噪声功率P也变成无穷大：以至于均衡器无法稳 定地工作。 当信道的幅度频率响应H(©)川很不平坦时，接收信号中有用信号的功率谱 1V(e)=V(em)P.IH(o)P+n(em)P也就很不平坦：采用迫零均衡器对接收 信号进行均衡进行均衡，所得结果的功率谱为1V()PIH(o)P:那么信噪比 越低的信号频率成分乘的权值越大，而信噪比越高的信号频率成分乘的权值越 小；这个规律正好与匹配滤波相反：因此迫零均衡的结果必然引起信噪比降低， 因此(10-2-9)式所示的迫零均衡器是不能直接采用差分方程递归方式实现 的，但是可以采用后面介绍的块传输方式在频域实现。 10.2.3最小均方误差(MSE)均衡器 所谓最小均方误差准则，是通过调整抽头系数，使得发送符号和均衡输出 端符号估计的均方误差最小。设 6=y- (10-2-13) 当符号是复值时，MSE准则的性能指标定义为 J=EP=Elv,-v (10-2-14) J是均衡器系数{c,}的二次函数：原理上令J/c-0构成线性方程组，即可求 得MSE均衡器的系数。 ●IIR-MSE均衡器 假定{ⅴ，}是发送符号矢量序列{v,}经前述有ISI等效离散AWGN信道 任n=0,1,L,}传输后所得到的接收信号，即 i,=-∑fnyn+n 当均衡器采用R滤波器形式时，设均衡器系数为{c,k=,-2,-1,0,12,} 对于输入矢量序列{立，}，该均衡器的输出矢量序列为 ,=∑c-g (10-2-15) 西安电子科技大学 13

第 10 章    信道均均衡 西安电子科技大学 13 的系统函数 H z( ) 在单位圆上或离单位圆很近处有零点，那么 2 1/ | ( ) | H ω 的值在这 些频点处的值趋于无穷大，则噪声功率 Pη 也变成无穷大；以至于均衡器无法稳 定地工作。 当信道的幅度-频率响应| ( )| H ω 很不平坦时，接收信号中有用信号的功率谱 2 | ( )| j e ω V = 2 2 | ( )| .| ( )| j e H ω V ω + 2 | )| ( j e ω η 也就很不平坦；采用迫零均衡器对接收 信号进行均衡进行均衡，所得结果的功率谱为 2 | ( )| j e ω V 2 /| ( )| H ω ；那么信噪比 越低的信号频率成分乘的权值越大，而信噪比越高的信号频率成分乘的权值越 小；这个规律正好与匹配滤波相反；因此迫零均衡的结果必然引起信噪比降低。 因此(10-2-9)式所示的迫零均衡器是不能直接采用差分方程递归方式实现 的，但是可以采用后面介绍的块传输方式在频域实现。 10.2.3 最小均方误差(MSE)均衡器 所谓最小均方误差准则，是通过调整抽头系数，使得发送符号和均衡输出 端符号估计的均方误差最小。设 ˆ i ii ε = − v v (10-2-13) 当符号是复值时，MSE 准则的性能指标定义为 2 2 ˆ i ii JE E = =− ε v v (10-2-14) J 是均衡器系数{ }n c 的二次函数；原理上令 / n ∂J ∂c =0 构成线性方程组，即可求 得 MSE 均衡器的系数。 z IIR-MSE 均衡器 假定{ i v }是发送符号矢量序列{ i v }经前述有 ISI 等效离散 AWGN 信道 { , 0,1,., } n e f n L = 传输后所得到的接收信号，即 0 Le i n in i = + ∑n= − v fv  η 当均衡器采用 IIR 滤波器形式时，设均衡器系数为{ , ., 2, 1,0,1,2,.} k c k = − − ， 对于输入矢量序列{ i v }，该均衡器的输出矢量序列为 ˆi v k ik k ∞ − =−∞ = ∑ c v (10-2-15)

第10章信道均均衡 注意这里将式(10-2-15)代入式(10-214)，可以得到一个以c}为系数的二次函 数，通过对该函数进行最小化运算，可得到一个以{C}为未知数的线性方程组。 此外，也可利用均方误差的正交性原理导出这个线性方程组，即选择{c}使误差 矢量6正交于输入矢量，即 E(6,)=0(-0<1<o) (10-2-16) 最终可解得{c},其z变换为 C(-)H,N H()+N (10-2-22) (/F()+NF(=)/() 若把白化滤波器合并到C(②中，得到的等效MSE均衡器为 ce=得)NF6 Feyox+d (10-2-23 (2)FIR-MSE均衡器 如果与R-MSE类似地在包含信道匹配滤波和噪声白化的等效信道模型假 定下进行FIR-MSE均衡器设计，并假定原始信道参数{hn,n=0,l2,L}己知： 那么可以直接利用(10-2-23)式所示的R-MSE系统函数1()+N],导出一个 有2K+1个抽头系数的FIR-MSE均衡器{Ck,ck,c,Co,C,Cx},其中 K>L:这就是将频率响应函数1(e2)+N。]变换到时域后，关于时间原 点对称地截取2K+1个系数，即得 片224代 n=-K,-K+1,-1,0,1,K(10-2-24) 这意味者这种FIR-MSE均衡器是R-MSE的近似实现形式。显然K应该足 够大，因为这里是采用矩形窗将一个R滤波器截短为FIR滤波器。 ●注意到1(：)+N]是一个单位圆内外都有极点的系统函数，因此所导 西安电子科技大学

第 10 章    信道均均衡 西安电子科技大学 14 注意这里将式(10-2-15)代入式(10-2-14)，可以得到一个以{ }k c 为系数的二次函 数，通过对该函数进行最小化运算，可得到一个以{ }k c 为未知数的线性方程组。 此外，也可利用均方误差的正交性原理导出这个线性方程组，即选择{ }k c 使误差 矢量 k ε 正交于输入矢量 k l − v ，即 * ( ) 0( ) E l i il ε v − = −∞ < < ∞ (10-2-16) 最终 可解得{ }k c ，其 z 变换为 * 1 * 1 0 ( ) ( ) () ( ) H z C z H zH z N − − = + f f f = * 1 0 1 H () / ( ) z N Hz− f f + = * 1 0 1 ( )/ ( ) ( )/ ( ) z F z NFz z − Φ +Φ (10-2-22) 若把白化滤波器合并到 C(z)中，得到的等效 MSE 均衡器为 * 1 ( ) '( ) ( ) C z C z F z− = = * 1 0 1 ( ) ( ) ( )/ ( ) z NFzF z z − Φ+ Φ = 0 1 Φ + ( )z N (10-2-23) (2) FIR-MSE 均衡器 如果与 IIR-MSE 类似地在包含信道匹配滤波和噪声白化的等效信道模型假 定下进行 FIR-MSE 均衡器设计，并假定原始信道参数{hn , n L = 0,1,2,., }已知； 那么可以直接利用(10-2-23)式所示的 IIR-MSE 系统函数 0 1/[ ( ) ] Φ z N+ ，导出一个 有 2 1 K + 个抽头系数的 FIR-MSE 均衡器 1 101 { , ,., , , ., } − −+ − K K K c c c cc c ，其中 K >> L ；这就是将频率响应函数 2 / 0 1/[ ( ) ] j kN e N − π Φ + 变换到时域后，关于时间原 点对称地截取2 1 K + 个系数，即得 n c = 1 N 1 2 / 0 0 exp( 2 / ) ( ) N j kN k j nk N e N π π − − = Φ + ∑ , 1,., 1,0,1,., n KK K = − −+ − (10-2-24) 这意味着这种 FIR-MSE 均衡器是 IIR-MSE 的近似实现形式。显然 K 应该足 够大，因为这里是采用矩形窗将一个 IIR 滤波器截短为 FIR 滤波器。 z 注意到 0 1/[ ( ) ] Φ + z N 是一个单位圆内外都有极点的系统函数，因此所导

第10章信道均均衡 出的FIR-MSEC,c.KCco:c,cx}是一种非因果滤波器；可以采 用块传输方式在频域进行均衡，效率更高。 (仔)MSE均衡器的性能特点 R-MSE均衡器的系统函数1/T()+N]在单位圆上或离单位圆很近处不会 有极点，因为自相关函数的付利叶变换()是功率谱函数，它是非负的，因 此其分母之值不可能等于O。可见R.MSE均衡器不存在迫零均衡器那样的稳 定性问题，噪声放大现象也没有那么严重。 ·R-MSE均衡器性能指标中最小失真值J的表达式为 J=60=-c (10-2-26) 通过频域变换得到的表达式为 J上+n N (10-2-27) 当不存在符号干扰时，(e)=-1,因此 Jan-1+No (10-2-28) 此时相应的输出信号的SNR为 =(1-J）/J=1/No (10-2-29) 实际上，在均衡后存在残余S时上式依然成立。 IR-MSE均衡器的性能可以用均衡后信号的信噪比和误码概率来度量。 【例】设一个两分量h,和h,的有记忆AwGN信道，且h广+h=1,则有 H(=)=ho+h= (10-2-30a) ()=H()H(=)=hoh=+1+hih= (10-2-30b) 西安电子科技大学

第 10 章    信道均均衡 西安电子科技大学 15 出的 FIR-MSE 1 101 { , ,., , , ., } − −+ − K K K c c c cc c 是一种非因果滤波器；可以采 用块传输方式在频域进行均衡，效率更高。 (3) MSE 均衡器的性能特点 IIR-MSE 均衡器的系统函数 0 1/[ ( ) ] Φ z N+ 在单位圆上或离单位圆很近处不会 有极点，因为自相关函数的付利叶变换 ( ) j e− ω Φ 是功率谱函数，它是非负的，因 此其分母之值不可能等于 0。可见 IIR- MSE 均衡器不存在迫零均衡器那样的稳 定性问题，噪声放大现象也没有那么严重。 z IIR-MSE 均衡器性能指标中最小失真值 min J 的表达式为 * min ( )1 ii k k k J E ε ∞ − =−∞ = =− v cf  ∑ (10-2-26) 通过频域变换得到的表达式为 0 min 0 1 2 () j N J d e N π ω π ω π − = Φ + ∫ (10-2-27) 当不存在符号干扰时， ( ) j e ω Φ =1， 因此 0 min 0 1 N J N = + (10-2-28) 此时相应的输出信号的 SNR 为 min min r JJ (1 ) / ∞ = − = 0 1/ N (10-2-29) 实际上，在均衡后存在残余 ISI 时上式依然成立。 IIR-MSE 均衡器的性能可以用均衡后信号的信噪比和误码概率来度量。 【例】设一个两分量h0 和h1的有记忆 AWGN 信道[1-1]，且 2 2 0 1 h h + =1，则有 1 0 1 Hz z ( ) − = + h h (10-2-30a) *1 * * 1 01 01 () () ( ) 1 z HzH z z z − − Φ = = ++ hh hh (10-2-30b)