因此,所求函数关系式是y=-0.2x2 请同学们根据这个函数关系式,画出模板的轮廓线。 、引申拓展 问题1:能不能以A点为原点,AB所在直线为x轴,过点A的x轴的垂线为y 轴,建立直角坐标系 让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的,以A点为原点,AB所在的直 线为ⅹ轴,过点A的ⅹ轴的垂线为y轴,建立直角坐标系也是可行的。 问题2,若以A点为原点,AB所在直线为x轴,过点A的x轴的垂直为y轴 建立直角坐标系,你能求出其函数关系式吗? 分析:按此方法建立直角坐标系,则A点坐标为(0,0),B点坐标为(4,0),OC 所在直线为抛物线的对称轴,所以有AC=CB,AC=2m,O点坐标为(2:0.8)。即 把问题转化为:已知抛物线过(0,0)、(4,O);(2,0.8)三点,求这个二次函数的关 二次函数的一般形式是y=ax2+bx+c,求这个二次函数的关系式,跟以前学过 求一次函数的关系式一样,关键是确定o、6、c,已知三点在抛物线上,所以它的坐 标必须适合所求的函数关系式;可列出三个方程,解此方程组,求出三个待定系数 解:设所求的二次函数关系式为y=ax2+bx+c 因为OC所在直线为抛物线的对称轴,所以有AC=CB,AC=2m,拱高OC= 所以O点坐标为(2,0.8),A点坐标为(0,0),B点坐标为(4,0) 由已知,函数的图象过(0,0),可得c=0,又由于其图象过(2,0.8)、(4,0), 可得到{1+2=08解这个方程组 b≈4所以,所求的二次函数的关系式 为y=-2x2+4 问题3:根据这个函数关系式,画出模板的轮廓线,其图象是否与前面所画图象 相同? 问题4:比较两种建立直角坐标系的方式,你认为哪种建立直角坐标系方式能使 解决问题来得更简便?为什么? (第一种建立直角坐标系能使解决问题来得更简便,这是因为所设函数关系式待 定系数少,所求出的函数关系式简单,相应地作图象也容易) 请同学们阅渎P18例7。 三、课堂练习 例1.如图所示,求二次函数的关系式。 分析:观察图象可知,A点坐标是(8,0),C点坐标 为(0,4)。从图中可知对称轴是直线x=3,由于抛物线是 关于对称轴的轴对称图形,所以此抛物线在x轴上的另 交点B的坐标是(-2,0),问题转化为已知三点求函数关 解:观察图象可知,A、C两点的坐标分别是(8,0)、(0,4),对称轴是直线 3。因为对称轴是直线x=3,所以B点坐标为(-2,0)
- 25 - 0.2 因此，所求函数关系式是 y＝－0.2x2。 请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线。 二、引申拓展 问题 1：能不能以 A 点为原点，AB 所在直线为 x 轴，过点 A 的 x 轴的垂线为 y 轴，建立直角坐标系? 让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以 A 点为原点，AB 所在的直 线为 x 轴，过点 A 的 x 轴的垂线为 y 轴，建立直角坐标系也是可行的。 问题 2，若以 A 点为原点，AB 所在直线为 x 轴，过点 A 的 x 轴的垂直为 y 轴， 建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗? 分析：按此方法建立直角坐标系，则 A 点坐标为(0，0)，B 点坐标为(4，0),OC 所在直线为抛物线的对称轴，所以有 AC＝CB，AC＝2m，O 点坐标为(2；0．8)。即 把问题转化为：已知抛物线过(0，0)、(4，0)；(2，0．8)三点，求这个二次函数的关 系式。 二次函数的一般形式是 y＝ax2＋bx＋c，求这个二次函数的关系式，跟以前学过 求一次函数的关系式一样，关键是确定 o、6、c，已知三点在抛物线上，所以它的坐 标必须适合所求的函数关系式；可列出三个方程，解此方程组，求出三个待定系数。 解：设所求的二次函数关系式为 y＝ax2＋bx＋c。 因为 OC 所在直线为抛物线的对称轴，所以有 AC＝CB，AC＝2m，拱高 OC＝ 0.8m， 所以 O 点坐标为(2，0.8)，A 点坐标为(0，0)，B 点坐标为(4，0)。 由已知，函数的图象过(0，0)，可得 c＝0，又由于其图象过(2，0.8)、(4，0)， 可得到 4a＋2b＝0.8 16＋4b＝0 解这个方程组，得 a＝－ 1 5 b＝ 4 5 所以，所求的二次函数的关系式 为 y＝－ 1 5 x 2＋ 4 5 x。 问题 3：根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线，其图象是否与前面所画图象 相同? 问题 4：比较两种建立直角坐标系的方式，你认为哪种建立直角坐标系方式能使 解决问题来得更简便?为什么? (第一种建立直角坐标系能使解决问题来得更简便，这是因为所设函数关系式待 定系数少，所求出的函数关系式简单，相应地作图象也容易) 请同学们阅渎 P18 例 7。 三、课堂练习 例 1．如图所示，求二次函数的关系式。 分析：观察图象可知，A 点坐标是(8，0)，C 点坐标 为(0，4)。从图中可知对称轴是直线 x＝3，由于抛物线是 关于对称轴的轴对称图形，所以此抛物线在 x 轴上的另一 交点 B 的坐标是(－2，0)，问题转化为已知三点求函数关 系式。 解：观察图象可知，A、C 两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线 x ＝3。因为对称轴是直线 x＝3，所以 B 点坐标为(－2，0)
设所求二次函数为y=ax2+bx+c,由已知,这个图象经过点(0,4),可以得到 64a+8b=-4 c=4,又由于其图象过(8.0(-2,0两点,可以得到{4-2b=-4解这个方程 所以,所求二次函数的关系式是y=-x2+x+4 练习: 条抛物线y=ax2+bx+c经过点(0,0)与(12,0),最高点的纵坐标 是3,求这条抛物线的解析式。 四、小结:二次函数的关系式有几种形式,函数的关系式y=ax2+bx+c就 是其中一种常见的形式。二次函数关系式的确定,关键在于求出三个待定系数 a、b、c,由于已知三点坐标必须适合所求的函数关系式,故可列出三个方程, 求出三个待定系数 作业必做|教科书P26:1、2、3 设计选做|教科书P6:7 教学反思 教学时间 课题26.3实际问题与二次函数(2)课型新授课 知识 1.复习巩固用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。 2.使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式。 和 教学目标 能力 过程 和 方法
- 26 - 设所求二次函数为 y＝ax2＋bx＋c，由已知，这个图象经过点(0，4)，可以得到 c＝4，又由于其图象过(8，0)、(－2，0)两点，可以得到 64a＋8b＝－4 4a－2b＝－4 解这个方程 组，得 a＝－ 1 4 b＝ 3 2 所以，所求二次函数的关系式是 y＝－ 1 4 x 2＋ 3 2 x＋4 练习： 一条抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点(0，0)与(12，0)，最高点的纵坐标 是 3，求这条抛物线的解析式。 四、小结： 二次函数的关系式有几种形式，函数的关系式 y＝ax2＋bx＋c 就 是其中一种常见的形式。二次函数关系式的确定，关键在于求出三个待定系数 a、b、c，由于已知三点坐标必须适合所求的函数关系式，故可列出三个方程， 求出三个待定系数。 作业 设计 必做 教科书 P26：1、2、3 选做 教科书 P26：7 教 学 反 思 教学时间 课题 26.3 实际问题与二次函数（2） 课型 新授课 教 学 目 标 知 识 和 能 力 1．复习巩固用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。 2．使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式。 过 程 和 方 法
情感 态度 价值观 教学重点根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式 教学难点根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式 教学准备教师多媒体课件 学生“五个一” 课堂教学程序设计 设计意图 、复习巩固 1.如何用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式? 2.已知二次函数的图象经过A(0,1),B(1,3),C(-1,1)。(1)求二次函 数的关系式, (2)画出二次函数的图象:(3)说出它的顶点坐标和对称轴。 答案:(1)y=x2+x+1,(2)图略,(对称轴x=-,顶点坐标为(-1, 3.二次函数y=ax2+bx+c的对称轴,顶点坐标各是什么? b 对称轴是直线x=-2,顶点坐标是(-2a4a 、范例 例1.已知一个二次函数的图象过点(0,1),它的顶点坐标是(8,9),求这个 次函数的关系式 分析:二次函数y=ax2+bx+c通过配方可得y=a(x+h)2+k的形式称为顶点式 (一h,k)为抛物线的顶点坐标,因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8,9),因此 可以设函数关系式为 a(x-8)2+9 由于二次函数的图象过点(0,1),将(0,1)代入所设函数关系式,即可求出a的值。 请同学们完成本例的解答 例2.已知抛物线对称轴是直线x=2,且经过(3,1)和(0,-5)两点,求二次函 数的关系式 解法1:设所求二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,因为二次函数的图象过点(0 5),可求得c=-5,又由于二次函数的图象过点(3,1),且对称轴是直线x=2 b 可以得2a 9a+3b=6 解这个方程组,得:b=8所以所求的二次函数的关系式为y=2×+8x-5 解法二;设所求二次函数的关系式为y=减x-2)2+k,由于二次函数的图象经过(3, 和O,-5两点,可以得到叫3-2)+k=1 a(0-2)2+k=-5 解这个方程组,得,a=-2
- 27 - 情 感 态 度 价值观 教学重点 根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式 教学难点 根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式 教学准备 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 设计意图 一、复习巩固 1．如何用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式? 2．已知二次函数的图象经过 A(0，1)，B(1，3)，C(－1，1）。 (1)求二次函 数的关系式， (2)画出二次函数的图象； (3)说出它的顶点坐标和对称轴。 答案：(1)y＝x 2＋x＋1，(2)图略，(3)对称轴 x＝－ 1 2 ，顶点坐标为(－ 1 2 ， 3 4 )。 3．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的对称轴，顶点坐标各是什么? [对称轴是直线 x＝－ b 2a，顶点坐标是(－ b 2a， 4ac－b 2 4a )] 二、范例 例 1．已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二 次函数的关系式。 分析：二次函数y＝ax2＋bx＋c通过配方可得y＝a(x＋h)2＋k的形式称为顶点式， (－h，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此， 可以设函数关系式为： y＝a(x－8)2＋9 由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出 a 的值。 请同学们完成本例的解答。 例 2．已知抛物线对称轴是直线 x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函 数的关系式。 解法 1：设所求二次函数的解析式是 y＝ax2＋bx＋c，因为二次函数的图象过点(0， －5)，可求得 c＝－5，又由于二次函数的图象过点(3，1)，且对称轴是直线 x＝2， 可以得 － b 2a＝2 9a＋3b＝6 解这个方程组，得： a＝－2 b＝8 所以所求的二次函数的关系式为 y＝－2x2＋8x－5。 解法二；设所求二次函数的关系式为 y＝a(x－2)2＋k，由于二次函数的图象经过(3， 1)和(0，－5)两点，可以得到 a(3－2) 2＋k＝1 a(0－2) 2＋k＝－5 解这个方程组，得： a＝－2 k＝3
所以,所求二次函数的关系式为y=-2(x-2)2+3,即y=-2x2+8x-5 例3。已知抛物线的顶点是(2,-4,它与y轴的一个交点的纵坐标为4,求函数 的关系式 解法1:设所求的函数关系式为y=ax+h)2+k,依题意,得y=a(x-2)2-4 之因为抛物线与y轴的一个交点的纵坐标为,所以抛物线过点,4于是 =4,解得a=2。所以,所求二次函数的关系式为 8x+4。 解法2:设所求二次函数的关系式为y=ax2+bx+c?依题意,得4ac-b2 4 解这个方程组,得:1b=-8所以,所求二次函数关系式为y=2x2-8x+4。 课堂练习 1.已知二次函数当x=-3时,有最大值-1,且当x=0时,y=-3,求二次函数 的关系式 解法1:设所求二次函数关系式为y=ax2+bx+c,因为图象过点(0,3,所以c b 3,又由于二次函数当x=-3时,有最大值一1,可以得到:12a=b=-1 解 这个方程组,得: 所以,所求二次函数的关系式为y 3 因为二次函数图象过点(0,3),所以有3=a(0+3)2-1解得ay 解法2:所求二次函数关系式为y=ax+h)2+k,依题意,得y=a(x+3 所以,所求二次函数的关系为y=419(X+3)2-1,即y=ax2+x+3. 小结:让学生讨论、交流、归纳得到:已知二次函数的最大值或最小值,就是 已知该函数顶点坐标,应用顶点式求解方便,用一般式求解计算量较大 2.已知二次函数y=x2+px+q的图象的顶点坐标是(5,-2),求二次函数关系 简解:依题意,得 解得:p=-10,q=23 所以,所求二次函数的关系式是y=x2-10x+23。 四、小结
- 28 - 所以，所求二次函数的关系式为 y＝－2(x－2)2＋3，即 y＝－2x2＋8x－5。 例 3。已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与 y 轴的一个交点的纵坐标为 4，求函数 的关系式。 解法 1：设所求的函数关系式为 y＝a(x＋h)2＋k，依题意，得 y＝a(x－2)2－4 因为抛物线与 y 轴的一个交点的纵坐标为 4，所以抛物线过点(0，4)，于是 a(0 －2)2－4＝4，解得 a＝2。所以，所求二次函数的关系式为 y＝2(x－2)2－4，即 y＝ 2x2－8x＋4。 解法 2：设所求二次函数的关系式为 y＝ax2＋bx＋c?依题意，得 － b 2a＝2 4ac－b 2 4a ＝－4 c＝4 解这个方程组，得： a＝2 b＝－8 c＝4 所以，所求二次函数关系式为 y＝2x2－8x＋4。 三、课堂练习 1. 已知二次函数当 x＝－3 时，有最大值－1，且当 x＝0 时，y＝－3，求二次函数 的关系式。 解法 1：设所求二次函数关系式为 y＝ax2＋bx＋c，因为图象过点(0，3)，所以 c ＝3，又由于二次函数当 x＝－3 时，有最大值－1，可以得到： － b 2a＝－3 12a－b 2 4a ＝－1 解 这个方程组，得： a＝ 4 9 b＝ 8 3 所以，所求二次函数的关系式为 y＝ 4 9 x 2＋ 8 3 x＋3。 解法 2：所求二次函数关系式为 y＝a(x＋h)2＋k，依题意，得 y＝a(x＋3)2－1 因为二次函数图象过点(0，3)，所以有 3＝a(0＋3)2－1 解得 a＝ 4 9 所以，所求二次函数的关系为 y＝44/9(x＋3)2－1，即 y＝ 4 9 x 2＋ 8 3 x＋3． 小结：让学生讨论、交流、归纳得到：已知二次函数的最大值或最小值，就是 已知该函数顶点坐标，应用顶点式求解方便，用一般式求解计算量较大。 2．已知二次函数 y＝x 2＋px＋q 的图象的顶点坐标是(5，－2)，求二次函数关系 式。 简解：依题意，得 － p 2 ＝5 4q－p 2 4 ＝－2 解得：p＝－10,q＝23 所以，所求二次函数的关系式是 y＝x 2－10x＋23。 四、小结
1,求二次函数的关系式,常见的有几种类型? [两种类型:(1)一般式:y=ax2+bx+c (2)顶点式:y=ax+h)2+k,其顶点是(-h,k) 2.如何确定二次函数的关系式? 让学生回顾、思考、交流,得出:关键是确定上述两个式子中的待定系数,通常 需要三个已知条件。在具体解题时,应根据具体的已知条件,灵活选用合适的形式, 运用待定系数法求解 作业必做教科书P26:4、5、6 设计选做|教科书P6:8、9 教学反思 教学时间 课题《二次函数》小结与复习(1)课型新授课 理解二次函数的概念,掌握二次函数y=ax2的图象与性质;会用描点法画抛物线,能 知识 确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向,能较熟练地由抛物线y=ax2经过适当平移得 和 到y=a(x-h)2+k的图象 能力 教学目标 过程 和 方法 情感 态度 价值观
- 29 - 1，求二次函数的关系式，常见的有几种类型? [两种类型：(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c (2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k，其顶点是(－h，k)] 2．如何确定二次函数的关系式? 让学生回顾、思考、交流，得出：关键是确定上述两个式子中的待定系数，通常 需要三个已知条件。在具体解题时，应根据具体的已知条件，灵活选用合适的形式， 运用待定系数法求解。 作业 设计 必做 教科书 P26：4、5、6 选做 教科书 P26：8、9 教 学 反 思 教学时间 课题 《二次函数》小结与复习（1） 课型 新授课 教 学 目 标 知 识 和 能 力 理解二次函数的概念，掌握二次函数 y＝ax2 的图象与性质；会用描点法画抛物线，能 确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向，能较熟练地由抛物线 y＝ax2 经过适当平移得 到 y＝a(x－h)2＋k 的图象。 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观