v.A=4+4+4 (3分) =-2x+1 (2分) (2)xy平面上面元矢量为d尽=e.dk(2分) 穿过此正方形的通量为 12-11 (3分) 17.已知某二维标量场(x,)=x2+y2,求 (1)标量函数的梯度： (2)求出通过点(1,0)处梯度的大小。 解： (1)对于二维标量场 u-0,+, (3分) =2xe,+2e, (2分》 (2)任意点处的梯度大小为 Vu=2vx2+y (2分) 则在点1,0)处梯度的大小为： 叫=2 (3分) 四、应用题（每小题10分，共30分） 18.在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为E=e,3Eoek (3)试写出其时间表达式： (4)判断其属于什么极化。 解： (1)该电场的时间表达式为：(e,)=Re(Eem) (2分) E(,t)=e,3Ecos(at-k=) (3分)
11 z A y A x A A x y z + + = （3 分） = −2x +1 （2 分） （2） xy 平面上面元矢量为 dS e ˆ dxdy = z （2 分） 穿过此正方形的通量为 + =− + =− = = 1 1 1 1 0 S x y A dS xdxdy （3 分） 17．已知某二维标量场 2 2 u(x, y) = x + y ，求 （1）标量函数的梯度； （2）求出通过点 (1,0) 处梯度的大小。 解： （1）对于二维标量场 x y eˆ y u eˆ x u u + = （3 分） x y = 2xe ˆ + 2ye ˆ （2 分） （2）任意点处的梯度大小为 2 2 u = 2 x + y （2 分） 则在点 (1,0) 处梯度的大小为： u = 2 （3 分） 四、应用题 （每小题 10 分，共 30 分） 18．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为 jkz x E e E e − = 3 0 ˆ （3） 试写出其时间表达式； （4） 判断其属于什么极化。 解： （1）该电场的时间表达式为： ( ) ( ) j t E z t Ee , = Re (2 分) E(z t) e E ( t kz) , = ˆ x 3 0 cos − （3 分）
(②)该波为线极化 (5分) 19.两点电荷g,=-4C,位于x轴上x=4处，92=4C位于轴上y-4处，求空间点(00,4) 处的 (1)电位： (2)求出该点处的电场强度矢量。 解： (1)空间任意一点(x,y,)处的电位为： (x八，）= s-+r+F50-4+原G分 g 将x=0,y=0,:=4,91=4C,92=4C代入上式得空间点(0,0,4)处的电位为： 0.0.4)=0 (2分) (2)空间任意一点(x,y,)处的电场强度为 g (2分) 其中，元=(c-4点，+e,+e.,万=xe,+0y-4e,+e 将x=0,y=0,2=4,9=4C,42=4C代入上式 万=5=4V2 万=-4e,+4e.万--4e,+4e (2分) 空间点(0,0,4)处的电场强度 后=品*高462-) g2 (1分) 20.如图1所示的二维区域，上部保持电位为U。,其余三面电位为零， (1)写出电位满足的方程和电位函数的边界条件 (2)求槽内的电位分布 解：
12 (2) 该波为线极化 （5 分） 19．两点电荷 q1 = −4C ，位于 x 轴上 x = 4 处， q2 = 4C 位于轴上 y = 4 处，求空间点 (0,0,4) 处的 （1） 电位； （2） 求出该点处的电场强度矢量。 解： （1）空间任意一点 (x, y,z) 处的电位为： ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 2 2 2 2 0 1 4 4 4 x y 4 z q x y z q x, y,z + − + + − + + = （3 分） 将 x = 0, y = 0,z = 4， q1 = −4C ， q2 = 4C 代入上式得空间点 (0,0,4) 处的电位为： (0,0,4) = 0 （2 分） （2）空间任意一点 (x, y,z) 处的电场强度为 3 2 0 2 2 3 1 0 1 1 4 4 r r q r r q E = + （2 分） 其中， ( ) x y z r = x − 4 e ˆ + ye ˆ + ze ˆ 1 ， ( ) x y z r = xe ˆ + y − 4 e ˆ + ze ˆ 2 将 x = 0, y = 0,z = 4， q1 = −4C ， q2 = 4C 代入上式 r1 = r2 = 4 2 x z r 4e ˆ 4e ˆ 1 = − + y z r 4e ˆ 4e ˆ 2 = − + （2 分） 空间点 (0,0,4) 处的电场强度 ( ) x y r e e r q r r q E ˆ ˆ 64 2 4 4 0 3 2 0 2 2 3 1 0 1 1 = + = − （1 分） 20．如图 1 所示的二维区域，上部保持电位为 U0 ，其余三面电 位为零， （1） 写出电位满足的方程和电位函数的边界条件 （2） 求槽内的电位分布 解： 图 1 b a
（1)设：电位函数为x,) 则其满足的方程为： 小-器器0 (3分) 列=可。=叫，0=0 46=U。 (2分) (2)利用分离变量法 x,)=fxgy） d兰+kf=0 d 乐+g=0 (2分) k+k号=0 根据边界条件。=列。=可，=0，x,的通解可写为： 小豆4（习 再由边界条件： 4-2 .sinzsmhzb-U。 求得A A=- 2U。 、(1-cosnt) (2分) 槽内的电位分布为： (红，)=∑ 2U。 -eamn后m(g (1分) a 五、综合题(10分) 21,设沿+：方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想导体，如图2所示，该电磁波为沿
13 （1）设：电位函数为 (x, y)， 则其满足的方程为： ( ) 0 2 2 2 2 2 = + = x y x, y （3 分） 0 0 0 = = = x= x=a y= U0 y b = = （2 分） （2）利用分离变量法： (x, y) = f (x)g(y) 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 + = + = + = x y y x k k k g dy d g k f dx d f （2 分） 根据边界条件 0 0 0 = = = x= x=a y= ，(x, y) 的通解可写为： ( ) = = y a n x a n x y A n n , sin sinh 1 再由边界条件： 0 1 sin sinh b U a n x a n A n y b n = = = = 求得 An (1 cosnπ) sinh 2 0 − = b a n n U An （2 分） 槽内的电位分布为： ( ) ( ) − = = y a n x a n b a n n U x y n 1 cosnπ sin sinh sinh 2 , 1 0 （1 分） 五、综合题 （10 分） 21．设沿 + z 方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想导体，如图 2 所示，该电磁波为沿
X方向的线极化，设电场强度幅度为E。,传播常数为B。 (④试写出均匀平面电磁波入射波电场的表达式： (6)求出反射系数： 解 月。传袋为向 v d 1.由题意： 4, 理相导体 E=e Eoe (5分) 区域1 区域2 (2)设反射系数为R 图2 E,=REoe (2分) 由导体表面：=0处总电场切向分量为零可得： 1+R=0 故反射系数R=-1 (3分) 《电磁场与电磁波》试题(4)参考答案 二、简述题（每小题5分，共20分） 儿，答：恒定磁场是连续的场或无散场，即磁感应强度沿任一闭合曲面的积分等于零。产生 恒定破场的源是矢量源。 (3分) 两个基本方程： ∫B.5=0 (1分) fnd-1 (1分) (写出微分形式也对) 12。答：设理想导体内部电位为2，空气媒质中电位为4。 由于理想导体表面电场的切向分量等于零，或者说电场垂直于理想导体表面，因此有 4、=ls (3分) (2分) 3.答：静电平衡状态下，带电导体是等位体，导体表面为等位面：(2分) 导体内部电场强度等于零，在导体表面只有电场的法向分量。(3分）
14 x 方向的线极化，设电场强度幅度为 E0 ，传播常数为 。 (4) 试写出均匀平面电磁波入射波电场的表达式； (5) 求出反射系数。 解： 1. 由题意： j z x E e E e − = 0 ˆ （5 分） （2）设反射系数为 R ， j z r x E e RE e + = 0 ˆ （2 分） 由导体表面 z = 0 处总电场切向分量为零可得： 1+ R = 0 故反射系数 R = −1 （3 分） 《电磁场与电磁波》试题（4）参考答案 二、简述题 （每小题 5 分，共 20 分） 11．答：恒定磁场是连续的场或无散场，即磁感应强度沿任一闭合曲面的积分等于零。产生 恒定磁场的源是矢量源。 (3 分） 两个基本方程： = S B dS 0 （1 分） H dl I C = （1 分） (写出微分形式也对) 12．答：设理想导体内部电位为 2 ，空气媒质中电位为 1。 由于理想导体表面电场的切向分量等于零，或者说电场垂直于理想导体表面，因此有 1 S 2 S = （3 分） = − S n 1 0 （2 分） 13．答：静电平衡状态下，带电导体是等位体，导体表面为等位面；（2 分） 导体内部电场强度等于零，在导体表面只有电场的法向分量。（3 分） 区域 1 区域 2 图 2
14.答：在导电媒质中，电磁波的传播速度随频率变化的现象称为色散。(3分) 色散将使信号产生失真，从而影响通信质量。 (2分) 三、计算题（每小题10分，共30分） 15.标量场w(k,y,)=x2y3+e,在点P,-1,0)处 (1)求出其梯度的大小 (2)求梯度的方向 照Dv-.器+，+e器 (2分) Vw=e2xy+e.3x2y2+e.e Vw叫p=-e,2+e,3+e (2分 梯度的大小： 叫。=14 (1分) (2)梯度的方向 器 (3分】 i=-2+63+e (2分) 4 16.矢量A=e+2e,B=e-3论，求 (1)AxB (2)A+B e,e,e. 解：(1)根据A×B=A,A,A (3分) B,B,B. le,e,e 所以a×B=120=-e,6+e,3-e,2 (2分) 10-3 (2)A+B=e,+2e,+e,-3 (2分) 5
15 14．答：在导电媒质中，电磁波的传播速度随频率变化的现象称为色散。 （3 分） 色散将使信号产生失真，从而影响通信质量。 （2 分） 三、计算题 （每小题 10 分，共 30 分） 15．标量场 ( ) z x y z = x y + e 2 3 , , ，在点 P(1,−1,0) 处 （1）求出其梯度的大小 （2）求梯度的方向 解：（1） z e y e x ex y z + + = ˆ ˆ ˆ （2 分） P x y z = −e ˆ 2 + e ˆ 3+ e ˆ （2 分） 梯度的大小： = 14 P （1 分） （2）梯度的方向 nˆ = （3 分） 14 ˆ 2 ˆ 3 ˆ ˆ x y z e e e n − + + = （2 分） 16．矢量 x y A = e ˆ + 2e ˆ ， x z B = e ˆ − 3e ˆ ，求 （1） A B （2） A B + 解：（1）根据 x y z x y z x y z B B B A A A e e e A B ˆ ˆ ˆ = （3 分） 所以 ˆ 6 ˆ 3 ˆ 2 1 0 3 1 2 0 ˆ ˆ ˆ x y z x y z e e e e e e A B = − + − − = （2 分） （2） x y x z A+ B = e ˆ + 2e ˆ + e ˆ −3e ˆ （2 分） z x y z e ˆ 2xy e ˆ 3x y e ˆ e 3 2 2 = + +