第1节基本概念 o2.凸函数的性质 性质1设X为定义在凸集R上的凸函数,则对任意实数 B0,函数B八(X也是定义在R上的凸函数 性质2设f(1)和(定义在凸集R上的凸函数,则其和 f(X)≠()+(1仍为定义在R上的凸函数。 16 清华大学出版社
第1节 基本概念 2. 凸函数的性质 性质1 设f(X)为定义在凸集R上的凸函数，则对任意实数 β≥0，函数β f(X)也是定义在R上的凸函数。 性质2 设f1 (X)和f2 (X)定义在凸集R上的凸函数，则其和 f(X)=f1 (X)+f2 (X)仍为定义在R上的凸函数。 清华大学出版社 16
第1节基本概念 因为f(X和f2(X是定义在凸集R上的凸函数,故对任何实数a(0<∝<1) 以及R中的任意两点和)和X2),恒有 f(ax0+(1-a)X(2)≤af(X0)+(1-a)(x2) f2(ax0+(1-a)X()≤a2(X0)+(1-a)/2(X2) 将上式两端分别相加得 f(aX0+(1-a)X2)≤af(X0)+(1-a)f(X(2) 故八(X)是R上的凸函数。 由以上两个性质立刻推得:有限个凸函数的非负线性组合 B1千(X)+B2f2(X)+…+Bmfm(X) β1≥0,i=1,2 仍为凸函数。 清华大学出版社
第1节 基本概念 因为 f1 (X)和f2 (X)是定义在凸集R上的凸函数，故对任何实数α（0< α<1） 以及R中的任意两点X(1)和X(2)，恒有 (1) (2) (1) (2) 1 1 1 (1) (2) (1) (2) 2 2 2 ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) f X X f X f X f X X f X f X + − + − + − + − 将上式两端分别相加得 (1) (2) (1) (2) f X X f X f X ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) + − + − 故 f(X)是R上的凸函数。 由以上两个性质立刻推得：有限个凸函数的非负线性组合 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0, 1,2, , … … + + + = m m i f X f X f X i m 仍为凸函数。 清华大学出版社 17
第1节基本概念 性质3设八(X为定义在凸集R上的凸函数,则对任意实数β,集合 {Xx∈R,(X)≤B 是凸集(S称为水平集) 证明:任取 Y ESB X∈S则有 f()≤Bf(x)≤B 由于R为凸集,故对任意实数a(0<a<1) aX0+(1-a)XP∈R 又因八(X为凸函数,故 f(ax0+(1-a)x2)≤af(X0)+(1-a)f(X(2)≤B 这就表明点aX0+(-a)x∈Sn,于是,SB为凸集 清华大学出版社
第1节 基本概念 性质3 设f(X)为定义在凸集R上的凸函数，则对任意实数β，集合 S X X R f X , ( ) 是凸集（Sβ称为水平集）。 (1) X S (2) X S (1) f X( ) (2) f X( ) (0 1) (1) (2) X X R + − (1 ) (1) (2) (1) (2) f X X f X f X ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) + − + − (1) (2) X X S (1 ) + − 证明：任取 ，则有 由于R为凸集，故对任意实数 又因f(X)为凸函数，故 这就表明点 ，于是， Sβ为凸集。 清华大学出版社 18
第1节基本概念 o3.的数凸性的判定 可以直接依据定义去判别;对可微凸函数,也可利用下面两个判别 定理。 定理3(一阶条件) 设R为n维欧氏空间E上的开凸集,fX在R上具有一阶连续偏导数,则 f(X)为R上的凸函数的充要条件是,对任意两个不同点 X∈RX(2)∈R 恒有 f(X2)≥f(X0)+Vf(X)(X2)-X)(6-18) 清华大学出版社
第1节 基本概念 3. 函数凸性的判定 可以直接依据定义去判别；对可微凸函数，也可利用下面两个判别 定理。 (1) X R (2) X R 定理3 (一阶条件) 设R为n维欧氏空间En上的开凸集，f(X)在R上具有一阶连续偏导数，则 f(X)为R上的凸函数的充要条件是，对任意两个不同点 恒有 (2) (1) (1) T (2) (1) f X f X f X X X ( ) ( ) ( ) ( ) (6 18) + − − 清华大学出版社 19
第1节基本概念 证明:必要性:设f(X是定义在R上的凸函数,则对任何实数a(0<a1) 有 f(aX2)+(1-a)X)≤af(X2)+(1-a)f(X) 于是 f(r+a(r2)-Xo))-f(ro) f(X2)-f(X0) 令C→>+0,上式左端的极限为 Vf(X)(X2)-X10 即 f(X2)≥f(X0)+V(X)(X2)-X0) 清华大学出版社
第1节 基本概念 证明：必要性：设 f(X)是定义在R上的凸函数，则对任何实数α（0< α<1） 有 (2) (1) (2) (1) f X X f X f X ( (1 ) ) ( (1 ) ( ) + − + − 于是 (1) (2) (1) (1) (2) (1) ( ( )) ( ) ( ) ( ) f X X X f X f X f X + − − − → +0 (1) T (2) (1) − f X X X ( ) ( ) (2) (1) (1) T (2) (1) f X f X f X X X ( ) ( ) ( ) ( ) + − 令 ，上式左端的极限为 即 清华大学出版社 20