69直线的相交(2)
当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角时,我 们就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另二 条直线的垂线,它们的交点叫做垂足 2.一般地,在同一平面内,过一点有一条而且仅有一条直 线垂直于已知直线 3.一般地,连结直线外一点与直线上各点的所有线段中, 垂线段最短 4.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直 线的距离
课前预练 1． 当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角时，我 们就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一 条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 2． 一般地，在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直 线垂直于已知直线． 3． 一般地，连结直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短． 4． 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直 线的距离．
1.垂线 【典例1】如图69—9,直线AB,CD交于点 E F O,EO⊥AB,AO平分∠COF D (1)∠AOC与∠DOE是否互余?为什么? B (2)OE是否平分∠DOF?为什么? 图6.9 【点拨】(1)本题主要考查与垂直有关的角度计算 (2)若已知两条直线相交成直角,就说明这两条直线互相垂直 反之,若已知两直线互相垂直,就说明两条直线相交所成的四 个角都是直角.如“∠BOD+∠DOE=90”“∠AOF与∠FOE互 为余角”都是根据“EO⊥AB”推得的
课内讲练 1．垂线 【典例1】 如图6.9－9，直线AB，CD交于点 O，EO⊥AB，AO平分∠COF. (1)∠AOC与∠DOE是否互余？为什么？ (2)OE是否平分∠DOF？为什么？ 【点拨】 (1)本题主要考查与垂直有关的角度计算． (2)若已知两条直线相交成直角，就说明这两条直线互相垂直． 反之，若已知两直线互相垂直，就说明两条直线相交所成的四 个角都是直角．如“∠BOD＋∠DOE＝90°”“∠AOF与∠FOE互 为余角”都是根据“EO⊥AB”推得的．
【解析】(1)∠AOC与∠DOE互余,理由如下: OE⊥AB(已知),∴∠BOD+∠DOE=90垂直的意义) 又∠AOC=∠BOD(对顶角相等),∴∠AOC+∠DOE=90°, 即∠AOC与∠DOE互余(互余的意义) (2)OE平分∠DOF,理由如下 AO平分∠COF,∴∠AOF=∠AOC角平分线的意义) 由(1)得∠AOC与∠DOE互为余角 又:∠AOF与∠FOE互为余角, ∠FOE=∠DOE(等角的余角相等) 即OE平分∠DOF(角平分线的意义 【答案】(1)∠AOC与∠DOE互余,理由见“解析” (2)OE平分∠DOF,理由见“解析
【解析】 (1)∠AOC与∠DOE互余，理由如下： ∵OE⊥AB(已知)，∴∠BOD＋∠DOE＝90°(垂直的意义)． 又∵∠AOC＝∠BOD(对顶角相等)，∴∠AOC＋∠DOE＝90°， 即∠AOC与∠DOE互余(互余的意义)． (2)OE平分∠DOF，理由如下： ∵AO平分∠COF，∴∠AOF＝∠AOC(角平分线的意义)． 由(1)得∠AOC与∠DOE互为余角． 又∵∠AOF与∠FOE互为余角， ∴∠FOE＝∠DOE(等角的余角相等)． 即OE平分∠DOF(角平分线的意义)． 【答案】 (1)∠AOC 与∠DOE 互余，理由见“解析” (2)OE 平分∠DOF，理由见“解析
E 【跟踪练习1】如图69-10,已知直线AB和 CD交于点O,射线OE⊥AB于点O,射线 F OF⊥CD于点O,且∠BOF=25°,求∠AOC 和∠EOD的度数 图6.9-10 【解析】∵OF⊥CD(已知),∴∠FOD=90(垂直的意义) 又∵∠BOF=25(已知),∴∠BOD=90°-25°=65°, ∴∠AOC=∠BOD=65°(对顶角相等). 又OE⊥AB(已知),∴∠EOB=90(垂直的意义), ∠EOF=90°-25°=65 ∠EOD=∠EOF+∠FOD=65°+90°=155° 【答案】∠AOC=65,∠EOD=155°
【跟踪练习1】 如图6.9－10，已知直线AB和 CD交于点O，射线OE⊥AB于点O，射线 OF⊥CD于点O，且∠BOF＝25°，求∠AOC 和∠EOD的度数． 【解析】 ∵OF⊥CD(已知)，∴∠FOD＝90°(垂直的意义)． 又∵∠BOF＝25°(已知)，∴∠BOD＝90°－25°＝65°， ∴∠AOC＝∠BOD＝65°(对顶角相等)． 又∵OE⊥AB(已知)，∴∠EOB＝90°(垂直的意义)， ∴∠EOF＝90°－25°＝65°. ∴∠EOD＝∠EOF＋∠FOD＝65°＋90°＝155°. 【答案】 ∠AOC＝65，∠EOD＝155°