如果，一个物体在某一正交变换下保持不变，我们就称这个 变换为物体的一个对称操作。一个物体可能的对称操作越多， 它的对称性就越高。立方体具有较高的对称性，它有48个对称 2π4π 操作：绕4条体对角线可以旋转 3,3共8个对称操作： 绕3个立方边可以旋转？，，3江 共9个对称操作；绕6条棱 2’2 对角线可以转动兀，共6个对称操作；加上恒等操作共24个。 立方体体心为中心反演，所以以上每一个操作加上中心反演 后，仍为对称操作，因此立方体共有48个对称操作
如果，一个物体在某一正交变换下保持不变，我们就称这个 变换为物体的一个对称操作。一个物体可能的对称操作越多， 它的对称性就越高。立方体具有较高的对称性，它有48个对称 操作：绕 4 条体对角线可以旋转 共 8个对称操作； 绕 3 个立方边可以旋 转 共 9个对称操作；绕 6 条 棱 对角线可以转动π，共 6 个对称操作；加上恒等操作共24个。 立方体体心为中心反演，所以以上每一个操作加上中心反演 后，仍为对称操作，因此立方体共有48个对称操作。 2 4, 3 3 π π 3 , , 2 2 π π π
通过仔细分析可知正四面体允许的对称操作只有 24个；正六角拄的对称操作也只有24个，它们都没有 立方体的对称性高。 B 请思考它们的对称操作？参见黄昆p22-24
通过仔细分析可知正四面体允许的对称操作只有 24个；正六角拄的对称操作也只有24个，它们都没有 立方体的对称性高。 请思考它们的对称操作？参见 黄昆 p22-24
对称操作群：一个物体的全部对称操作的集合，构成 对称操作群。描述物体的对称性需要找出物体的全部 对称操作，也就是找出它所具有的对称操作群。 数学上看，群代表一组元素的集合 G={E,A,B,C,D,..} 这些元素被赋予一定的乘法法则，满足下列性质： 1. 若A,B∈G则AB=C∈G,这是群的闭合性。 2.存在单位元素E,使所有元素满足： AE=A 3.任意元素A,存在逆元素：AA-1=E 4. 元素间满足结合律：A(BC)=(AB)C 一个物体全部对称操作的集合，也满足上述群的 定义，运算法则是连续操作，不动操作是单位元素
数学上看，群代表一组元素的集合 G= ｛E,A,B,C,D, …… ｝ 这些元素被赋予一定的乘法法则，满足下列性质： 1. 若A,B ∈G 则 AB ＝C ∈ G, 这是群的闭合性。 2. 存在单位元素E,使所有元素满足： AE=A 3. 任意元素 A，存在逆元素：AA-1=E 4. 元素间满足结合律：A(BC)=(AB)C 对称操作群： 一个物体的全部对称操作的集合，构成 对称操作群。描述物体的对称性需要找出物体的全部 对称操作，也就是找出它所具有的对称操作群。 一个物体全部对称操作的集合，也满足上述群的 定义，运算法则是连续操作，不动操作是单位元素
注意：在说明一个物体的对称性时，为了简便，有 时不去一一列举所有的对称操作，而是指出它的对称 元素，若一个物体绕某一个转轴转 2严以及它的倍数 物体保持不变时，便称作n重旋转轴，记做n;若一 个物体绕某一转轴转 2严再作反演以及转动它的倍数 n 再作反演物体保持不变时，该轴称作门重旋转一反演 轴，记做n。立方体的对称元素有：1,2,3,4，i,2,3,4 正四面体的对称元素只有：4,2,3却没有2,4,3 显然，列举出一个物体的对称元素和说出它的对称操 作一样，都可以表明出物体的对称特点
注意： 在说明一个物体的对称性时，为了简便，有 时不去一一列举所有的对称操作，而是指出它的对称 元素，若一个物体绕某一个转轴转 以及它的倍数 物体保持不变时，便称作 n 重旋转轴，记做 n ；若一 个物体绕某一转轴转 再作反演以及转动它的倍数 再作反演物体保持不变时，该轴称作 n 重旋转－反演 轴,记做 。立方体的对称元素有： 正四面体的对称元素只有： 却没有 显然，列举出一个物体的对称元素和说出它的对称操 作一样，都可以表明出物体的对称特点。 2 n π 2 n π n 1,2,3,4, ,2,3,4 i 4,2,3 2,4,3
二.晶体中允许的对称操作： 人们早就指出，晶体的外形（宏观）对称性是其原 子做周期性排列的结果。原子排列的周期性用晶体点阵 表示，晶体本身对称操作后不变，其晶体点阵在对称操 作后也应该保持不变，这就限制了晶体所可能有的点对 称操作数目，可以证明不论任何晶体，它的宏观对称元 素最多只可能有10种（一说8种）对称 元素：1,2,3,4,6,1,2,3,4,6 说明：2是反映面m,而3=3+i,6=3+m 不是独立的。 8种说法指1,2,3,4,6，i,m,4, 对称操作符号，除去以上使用的国际符号外，还通常 使用熊夫利符号
二. 晶体中允许的对称操作： 人们早就指出，晶体的外形（宏观）对称性是其原 子做周期性排列的结果。原子排列的周期性用晶体点阵 表示，晶体本身对称操作后不变，其晶体点阵在对称操 作后也应该保持不变，这就限制了晶体所可能有的点对 称操作数目，可以证明不论任何晶体，它的宏观对称元 素最多只可能有10种（一说8种）对称 元素： 1,2,3,4,6,1,2,3,4,6 说明： 是反映面 m，而 不是独立的。 8种说法指： 对称操作符号，除去以上使用的国际符号外，还通常 使用熊夫利符号。 2 3 3 ,6 3 = + =+ i m 1,2,3,4,6, , ,4, i m