(3)三角表示法 X=rcos 利用直角坐标与极坐标的关系 5, ly=rsin e, 复数可以表示成z=r(c0s0+iinb) (4)指数表示法 利用欧拉公式e0=c0s日+isinθ, 复数可以表示成z=neO 称为复数x的指数表示式
（3）三角表示法 利用欧拉公式 cos sin , e i i = + 复数可以表示成 i z = re 称为复数 z 的指数表示式. （4）指数表示法 利用直角坐标与极坐标的关系 = = sin , cos , y r x r 复数可以表示成 z = r(cos + isin )
例3求下列复数的模: (1)z1=-5i(2)z2=-3+4i(3)z3=5-5i (4)z=1+mi(m∈R)(5)z5=4a-3ai(a<0) 思考 (1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个? (2)满足z|=5(z∈O的z值有几个?这豐复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形?
例3 求下列复数的模： (1)z1 =-5i (2)z2 =-3+4i (3)z3 =5-5i (2)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？ 思考： (1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？ (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0) 这些复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形？
例4(1)已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内 所对应的点位于第二象限,求实数m允许的取值范围。 m2+m-6<0 3<m<2 解:由 得 m2+m-2>0m<-2或m>1 m∈(-3,-2)(1,2) 表示复数的点所转化复数的实部与虚部所满 在象限的问题 足的不等式组的问题 (几何问题) (代数问题) 种重要的数学思想:数形结合思想
例4(1) 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内 所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。 表示复数的点所 在象限的问题 复数的实部与虚部所满 足的不等式组的问题 转化 (几何问题) (代数问题) 一种重要的数学思想：数形结合思想 + − + − 2 0 6 0 2 2 m m m m 解：由 − − 2 1 3 2 m m m 或 得 m(−3,−2)(1,2)
例4(2)已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i,证明对一 切m,此复数所对应的点不可能位于第四象限。 证明:若复数所对应的点位于第四象限, m2+m-6>0 m<-3或m>2 m2+m-2<0 2<m<1 不等式解集为空集 所以复数所对应的点不可能位于第四象限
例4(2) 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i，证明对一 切m，此复数所对应的点不可能位于第四象限。 证明：若复数所对应的点位于第四象限， + − + − 2 0 6 0 2 2 m m m m 则 3 2 2 1 m m m − − 或 即 不等式解集为空集 所以复数所对应的点不可能位于第四象限
例5试用复数表示圆的方程 a(x+y)+bx+cy+d=o 其中,a,b,C;d是实常数。 解: 另解: 利用z2=x2+y2, (x-x0)2+(y-y)2 z+z=2x 2 Z-0|=r z-2=l·2y 得:az+Bx+所+d=0 其中,β=(b+ic)
例5 试用复数表示圆的方程: 其中，a,b,c,d是实常数。 解： 利用 ( ) 0 2 2 a x + y + bx + cy + d = z z i y z z x zz x y 2 2 , , 2 2 − = + = = + 得：azz + z + z + d = 0 ( ). 2 1 其中， = b + ic | Z − Z |= r 0 2 2 0 2 0 (x − x ) + (y − y ) = r 另解：