D0I:10.13374/j.issnl00I53.2006.06.019 第28卷第6期 北京科技大学学报 Vol.28 No.6 2006年6月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jun.2006 网络控制系统保性能控制 崔桂梅)穆志纯李晓理)郝智红2) 1)北京科技大学信息工程学院，北京1000832)内蒙古科技大学信息工程学院，包头014010 摘要针对网络控制系统中时延不确定因素，将时延的不确定性转换为系统状态方程系数矩阵 的不确定性，网络控制系统对象模型为具有时滞的不确定离散模型.在此模型的基础上，将网络控 制系统的保性能控制问题转化为研究时滞的不确定离散系统的鲁棒保性能控制问题.利用Ly~ puov理论及线性矩阵不等式(LM)方法，证明了通过状态反馈控制，使网络控制系统保性能控制 的充分条件等价于求解LM,仿真示例验证了该控制方法的有效性 关键词网络控制系统：保性能控制：时延：线性矩阵不等式：离散系统 分类号TP273 通过网络形成闭环的反馈控制系统称为网络 分别表示传感器到控制器的传输时延和控制器到 控制系统(networked control system,简称NCS), 执行器的传输时延，实际控制系统中，还需要考 由于控制环是通过一个实时网络来闭合的，因此 虑计算时延，一般可将其归并到上述两个时延中， 在环路中就不可避免地存在着由于通信延迟而带 “和“可以相加当作一个x来对待，x=十 来的时间延迟，当时间延迟相对于采样周期而言 “,对整个系统的分析是等价的，系统结构如图2 不能忽略时，延时将使系统的性能大打折扣，有时 所示· 引起系统的不稳定甚至失控，控制系统的分析和 设计就必须考虑时间延迟的影响，目前，对NCS τ传感器 的研究受到重视，已经成为一个研究热点并取得 一定的成果.但现大多数研究是针对NCS的稳 图1网络控制系统结构 定控制问题1]，而对NCS的保性能控制器的设 Fig.1 Structure of a networked control system 计未见报道，本文在文献[4]的模型基础上，研究 ±冈一控器一被控对象牛 了NCS保性能控制问题，采用Lyapunov理论和 x☐小传感滁 线性矩阵不等式(LMI)方法，提出了NCS存在保 性能控制律的充分条件和基于LM1的无记忆状 图2网络控制系统的等价结构 态反馈控制器参数的设计方法，所得结论均以 Fig-2 Equivalent structure of the networked control system LMI的形式给出，应用MATLAB中的LMI工具 设被控对象的状态方程为： 箱，可以方便地设计出保性能控制器，由状态反 X=AX十BU,Y=CX. 馈实现的保性能控制，使得网络闭环系统对一定 其中，X∈R,U∈RP,Y∈R为被控对象的被 范围内的传输时延是渐近稳定的，并且闭环性能 控状态、输入及输出，A,B,C为适当维数的常 二次函数值不超过某个确定的上界，因此具有重 系数阵，R”和RmX分别表示n维实向量和mX 要意义 n维实矩阵. 1 网络控制系统描述 首先对系统作如下假设： (1)传感器节点采用时间驱动方式，对被控对 典型的网络控制系统结构如图1所示.由于 象进行等周期采样，采样周期为T: 网络的引入，信号的传输存在时延，图中， (2)执行器节点和控制器节点采用事件驱动 收稿日期.2005-05-20修回日期：2006-03-23 方式，即信息到达时间即为执行器的动作时间： 基金项目：北京科技大学“422高层次创新人才工程”人才基金资 (3)网络传输存在不确定时延，不考虑数据包 助项目和内蒙古自然科学基金项目(No·z200608020804) 丢失，控制回路第k步采样周期总的时间延迟 作者简介：崔桂梅(1963一)，女，教授，博士研究生
网络控制系统保性能控制 崔桂梅12） 穆志纯1） 李晓理1） 郝智红2） 1） 北京科技大学信息工程学院北京100083 2） 内蒙古科技大学信息工程学院包头014010 摘 要 针对网络控制系统中时延不确定因素将时延的不确定性转换为系统状态方程系数矩阵 的不确定性网络控制系统对象模型为具有时滞的不确定离散模型．在此模型的基础上将网络控 制系统的保性能控制问题转化为研究时滞的不确定离散系统的鲁棒保性能控制问题．利用 Lyapunov 理论及线性矩阵不等式（LMI）方法证明了通过状态反馈控制使网络控制系统保性能控制 的充分条件等价于求解 LMI．仿真示例验证了该控制方法的有效性． 关键词 网络控制系统；保性能控制；时延；线性矩阵不等式；离散系统 分类号 TP273 收稿日期：20050520 修回日期：20060323 基金项目：北京科技大学“422高层次创新人才工程”人才基金资 助项目和内蒙古自然科学基金项目（No．z200608020804） 作者简介：崔桂梅（1963—）女教授博士研究生 通过网络形成闭环的反馈控制系统称为网络 控制系统（networked control system简称 NCS）． 由于控制环是通过一个实时网络来闭合的因此 在环路中就不可避免地存在着由于通信延迟而带 来的时间延迟．当时间延迟相对于采样周期而言 不能忽略时延时将使系统的性能大打折扣有时 引起系统的不稳定甚至失控．控制系统的分析和 设计就必须考虑时间延迟的影响．目前对 NCS 的研究受到重视已经成为一个研究热点并取得 一定的成果．但现大多数研究是针对 NCS 的稳 定控制问题［13］而对 NCS 的保性能控制器的设 计未见报道．本文在文献［4］的模型基础上研究 了 NCS 保性能控制问题．采用 Lyapunov 理论和 线性矩阵不等式（LMI）方法提出了 NCS 存在保 性能控制律的充分条件和基于 LMI 的无记忆状 态反馈控制器参数的设计方法所得结论均以 LMI 的形式给出应用 MATLAB 中的 LMI 工具 箱可以方便地设计出保性能控制器．由状态反 馈实现的保性能控制使得网络闭环系统对一定 范围内的传输时延是渐近稳定的并且闭环性能 二次函数值不超过某个确定的上界因此具有重 要意义． 1 网络控制系统描述 典型的网络控制系统结构如图1所示．由于 网络的引入信号的传输存在时延图中 τscτca 分别表示传感器到控制器的传输时延和控制器到 执行器的传输时延．实际控制系统中还需要考 虑计算时延一般可将其归并到上述两个时延中 τcs和 τca可以相加当作一个 τ来对待τ＝τsc＋ τca对整个系统的分析是等价的系统结构如图2 所示． 图1 网络控制系统结构 Fig．1 Structure of a networked control system 图2 网络控制系统的等价结构 Fig．2 Equivalent structure of the networked control system 设被控对象的状态方程为： X · ＝ AX＋BUY＝CX． 其中X∈R nU∈R pY∈R q 为被控对象的被 控状态、输入及输出．ABC 为适当维数的常 系数阵R n 和 R m× n分别表示 n 维实向量和 m× n 维实矩阵． 首先对系统作如下假设： （1）传感器节点采用时间驱动方式对被控对 象进行等周期采样采样周期为 T； （2）执行器节点和控制器节点采用事件驱动 方式即信息到达时间即为执行器的动作时间； （3）网络传输存在不确定时延不考虑数据包 丢失控制回路第 k 步采样周期总的时间延迟τk 第28卷 第6期 2006年 6月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．28No．6 Jun．2006 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2006．06．019
.596 北京科技大学学报 2006年第6期 =十呢<T 若A有零特征根或重根时，其离散化模型可 考虑随机延迟的影响，对上式离散化，可 见文献[4] 得网络控制系统的离散时间模型]： NCS的对象离散模型可以转化为具有时滞 X(k+1)=Aax(k)+Ba()U(k)+ 不确定性的线性离散对象模型（式(2）)· Ba1()U(k-1) (1) 针对NCS线性对象离散对象模型（式(2）)， Y(k+1)=CX(k+1) 设计状态反馈控制器，使网络闭环系统对于一定 其中， 范围内的不确定传输时延鲁棒稳定，并使所选取 Au(4)=e"=A 的性能函数均小于某一上界，即把NCS的保性能 〔T广iA 控制问题转化为研究时滞的不确定离散系统的鲁 Jo e de·B Ba()= 棒保性能控制问题， Ba()=dt.B 2 NCS保性能稳定控制 式(1)系数矩阵Ba(),Ba()为随机时延 对离散时滞系统设计研究的常规方法，是把 离散时滞系统一个有限维系统通过状态增维的方 的时变矩阵，需要依据网络时延实时在线计算方 法将其转化为一个不含滞后的离散系统，从而可 可求出.由于不能确切获得，通常取=， 应用有关离散系统镇定的方法来设计控制器，但 =2,具有随机性，文献[4]考虑对象参数 是，这样的处理方法得到的控制器不仅依赖当前 不确定的影响，将式(1)进行适当的变换，由矩阵 的信息，而且还依赖过去的信息，因此是一个有记 理论可知，若A含有n个均不为0互异的特征根 忆的控制器；无记忆的控制器由于只需要当前时 ,…,入，则可转化成对角阵，A=△diag(入，…， 刻的状态或输出信息，而更便于在应用中实施， 入n)A-1,其中A=[△，…，An]为矩阵A的特征 因而，对NCS设计无记忆状态反馈控制律有： 向量组成的矩阵，因此可推导出广义被控对象离 U(k)=KX(k) (3) 散时间模型为[： X(k十1)=[A:十BoK十DF()EK]X(k)+ X(k+1)=AaX(k)(Bo+ABa())U(k)+ [B1-DF()E]KX(k-1), (B1十△Ba()U(k-1) (2) 其中K∈RPxm为反馈增益常数矩阵.将式(3)代 Y(k+1)=Cx(k+1) 入式(2)，并定义 Ba()=Bo十△Ba() G=Aa十BoK+DF(t)EK, Ba1()=B1十△Ba() H=B1一DF()E, △Ba()=DF()E 可得闭环系统方程： △BaI()=-DF(k)E X(+1)=GX(k)+HKX(k-1) (4) 其中， 定义系统性能指标为： 1 Bo=Adiag ’…, A-1B, J=启[x()Qx(+r(Ru 1(5) 11T B1=Adiag ie A-1B, 其中Q,R∈RX"为给定的正定对称加权矩阵. 定义1]若NCS的状态是可测的，设计控 △B:()和△Ba1(t)为未知不确定矩阵，令 制律（式(3）)，其中K∈RP×n为反馈增益待定常 [ABa△Ba]=DF()[E-E], 数矩阵，使得对所有允许的不确定性，系统 其中， (式(4))渐近稳定，且系统的性能指标值（式(5）) D=Adiag xie 1λa 不超过某个确定常数，则称控制律U(k)= KX(k)是系统（式(4）)的一个保性能控制律. F()=diag e e4(T-9),…,eT- 分析NCS的保性能控制，需用如下结论 引理1同对适当维数的矩阵Q,A,E, E=AB, F(t),其中Q是对称的，则对所有满足F(t) D∈RXn,E∈RXP,F()∈RnXn, F(t)≤I的F(t),若Q+HF(t)E+EFr(t) 1,…,an的选取要使得F()F()≤I, <0,一定存在ε>0，使得：
＝τsc k ＋τca k ＜ T． 考虑随机延迟 τk 的影响对上式离散化可 得网络控制系统的离散时间模型［2］： X（ k＋1）＝ Ad X（ k）＋Bd（τk） U（ k）＋ Bd1（τk） U（ k—1） Y（ k＋1）＝CX（ k＋1） （1） 其中 Ad（τk） ＝ e AT ＝ Ad Bd（τk） ＝∫ T－τk 0 e At d t ·B Bd1（τk） ＝∫ T T－τk e At d t ·B 式（1）系数矩阵 Bd（τk）Bd1（τk）为随机时延 的时变矩阵需要依据网络时延实时在线计算方 可求出．由于不能确切获得 τca k 通常取 τsc k ＝τca k τk＝2τsc k τk 具有随机性．文献［4］考虑对象参数 不确定的影响将式（1）进行适当的变换由矩阵 理论可知若 A 含有 n 个均不为0互异的特征根 λ1…λn则可转化成对角阵A＝Λdiag（λ1… λn）Λ—1其中 Λ＝［Λ1…Λn ］为矩阵 A 的特征 向量组成的矩阵．因此可推导出广义被控对象离 散时间模型为［4］： X（k＋1）＝Ad X（k）＋（B0＋ΔBd（τk））U（k）＋ （B1＋ΔBd1（τk）） U（ k—1） Y（ k＋1）＝CX（ k＋1） （2） Bd（τk）＝B0＋ΔBd（τk） Bd1（τk）＝B1＋ΔBd1（τk） ΔBd（τk）＝ DF（τk） E ΔBd1（τk）＝— DF（τk） E 其中 B0＝Λdiag — 1 λ1 …— 1 λn Λ—1B B1＝Λdiag 1 λ1 e λ1 T… 1 λn e λn T Λ—1B ΔBd（τk）和ΔBd1（τk）为未知不确定矩阵令 ［ΔBdΔBd1］＝ DF（τk）［ E — E］ 其中 D＝Λdiag 1 λ1 e λ1α1… 1 λn e λnαn F（τk）＝diag e λ1 （ T—τk—α1 ）…e λn （ T—τk—αn ） E＝Λ—1B D∈R n× nE∈R n×PF（τk）∈R n× n α1…αn 的选取要使得 F T （τk）F（τk）≤ I． 若 A 有零特征根或重根时其离散化模型可 见文献［4］． NCS 的对象离散模型可以转化为具有时滞 不确定性的线性离散对象模型（式（2））． 针对 NCS 线性对象离散对象模型（式（2）） 设计状态反馈控制器使网络闭环系统对于一定 范围内的不确定传输时延鲁棒稳定并使所选取 的性能函数均小于某一上界即把 NCS 的保性能 控制问题转化为研究时滞的不确定离散系统的鲁 棒保性能控制问题． 2 NCS 保性能稳定控制 对离散时滞系统设计研究的常规方法是把 离散时滞系统一个有限维系统通过状态增维的方 法将其转化为一个不含滞后的离散系统从而可 应用有关离散系统镇定的方法来设计控制器．但 是这样的处理方法得到的控制器不仅依赖当前 的信息而且还依赖过去的信息因此是一个有记 忆的控制器；无记忆的控制器由于只需要当前时 刻的状态或输出信息而更便于在应用中实施． 因而对 NCS 设计无记忆状态反馈控制律有： U（ k）＝ KX（ k） （3） X（ k＋1）＝［ Ad＋B0K＋ DF（τk） EK］ X（ k）＋ ［ B1— DF（τk） E］ KX（ k—1） 其中 K∈R p× n为反馈增益常数矩阵．将式（3）代 入式（2）并定义 G＝ Ad＋B0K＋ DF（τk） EK H＝B1— DF（τk） E 可得闭环系统方程： X（ k＋1）＝ GX（ k）＋ HKX（ k—1） （4） 定义系统性能指标为： J＝ ∑ ∞ K＝0 ［ X T （ k） QX（ k）＋U T （ k） RU（ k）］ （5） 其中 QR∈R n× n为给定的正定对称加权矩阵． 定义1［5］ 若 NCS 的状态是可测的设计控 制律（式（3））其中 K∈R p× n为反馈增益待定常 数矩 阵使 得 对 所 有 允 许 的 不 确 定 性系 统 （式（4））渐近稳定且系统的性能指标值（式（5）） 不超过某个确定常数 J ∗则称控制律 U（ k）＝ KX（ k）是系统（式（4））的一个保性能控制律． 分析 NCS 的保性能控制需用如下结论． 引理1［5］ 对适当维数的矩阵 QHE F（ t）其中 Q 是对称的则对所有满足 F T （ t） F（ t）≤ I 的 F（ t）若 Q＋ HF（ t） E＋ E T F T （ t） H T＜0一定存在 ε＞0使得： ·596· 北 京 科 技 大 学 学 报 2006年第6期
Vol.28 No.6 崔桂梅等：网络控制系统保性能控制 597. Q+E2HH+E2ET E<0 Π-OKT RK GT PHK 「X(k)1 引理2]若已知矩阵Z1=z引，0<Z2= (HK)T PG (HK)T HK-SX(k-1) Z2,Z3则Z1十Z3Z2Z3<0,当且仅当 Π G'PHK 0 [X)Xk一(rPG(压一S -Z2 X(k)] Lx(k-1) -XT(k)(Q十KTRK)X(k) 或者 -Z2Z3 若式(6)成立，则对所有允许的不确定性有： <0 △V<-xX(k)(Q十KRK)X(k)<0(T) 以下定理给出了系统（式(4）)存在保性能控 由Lyapunov稳定理论可知系统渐近稳定， 制律（式(3）)的一个充分条件. 式(7)两边对k从0到∞求和，并利用系统 定理1对系统（式(4）)和性能指标 的稳定可得： (式(5)，若存在矩阵K∈RPx"和正定对称矩阵 ≤-XT(o)PX(∞)-XT(∞)SX(∞)+ P,S∈Rx,使得对所有非零的X(k)∈R”和所 x(0)PX(0)+x(-1)Sx(-1), 有允许的不确定性，存在矩阵不等式(6)成立，则 Kx(0)PX(0)+x(-1)Sx(-1)=(8) 控制律U(k)=KX(k)是系统（式(4）)保性能控 这说明U(k)=KX(k)是系统（式(4）)的一个保 制律 性能控制率，定理得证， GT PHK 从式(8)可以看出性能指标J的上界J依赖 0 (6) L(HK)T PG (HK)T HK-S 于系统的初始值，为了避免对初始值的依赖，假 其中Ⅱ=GPG-P+S+Q十KRK 定系统的初始值是未知的，但均在集合 S={X(-i)∈R:X(一i)=UV(i), 证明：定义Lyapunov函数为：V(X(k)= v(i)V(i)<1,=0,1{, X(k)Px(t)十x(k-1)SX(k-1),P,S为对 其中U是一个已知的常数阵，在此假设条件下， 称正定矩阵，V(X(k)>0,且X(k)≠0，则沿系 由式(8)可得 统（式(4）)任意轨线V(X(k)的向前差分为： ≤入max(UPPU)十入ma(UPSU) (9) Av(X(k))=V(X(k+1)-v(X(k))= 式(6)为矩阵不等式，经矩阵变换可得以下定 XT(k+1)PX(k+1)-XT(k)PX(k)+ 理 XT(k)SX(k)-xT(k-1)SX(k-1)= 定理2对于引理1所描述的系统，若存在 x(k)TGPG-P+S G PHK 对称正定矩阵X,Y∈RX"及矩阵M∈RPx"和 X(k-1)(HK)T PG (HK)T HK-S 正常数e使得线性矩阵不等式(10)成立，则控制 X(k) 律U(k)=Mx(k)是系统（式(4）)的保性能控 x(k-1) =[X(k)x(k一1)]· 制律，且系统性能的上界为： ≤入a(UX-1U)+入m(UX-1YX-1U), -X+8 DDT Aa X+Bo M BIM 0 0 0 (AaX+Bo M)T -x+Y 0 (EM)T X M (BIM)T 0 Y (EM)T 0 0 (10) —0 0 EM -EM-I 0 0 0 X 0 0 -Q1 0 0 M 0 0 0 -R 其中X=P-1,M=KP1,Y=P-1SP-1,重=-P+S+Q十KRK. 证明：利用引理1，式(6)可进一步写为下式： G (K)P[GH]+ -P+s++KRK]<O. 0
Q＋ε2HH T＋ε—2E T E＜0． 引理2［5］ 若已知矩阵 Z1＝ Z T 10＜ Z2＝ Z T 2Z3 则 Z1＋Z T 3 Z —1 2 Z3＜0当且仅当 Z1 Z T 3 Z3 —Z2 ＜0 或者 —Z2 Z3 Z T 3 Z1 ＜0． 以下定理给出了系统（式（4））存在保性能控 制律（式（3））的一个充分条件． 定理 1 对 系 统 （式 （4）） 和 性 能 指 标 （式（5））若存在矩阵 K∈R p× n和正定对称矩阵 PS∈R n× n使得对所有非零的 X（ k）∈R n 和所 有允许的不确定性存在矩阵不等式（6）成立则 控制律 U（ k）＝ KX（ k）是系统（式（4））保性能控 制律． Π G T PHK （ HK） T PG （ HK） T HK—S ＜0 （6） 其中 Π＝ G T PG—P＋S＋ Q＋ K T RK． 证明：定义 Lyapunov 函数为：V （ X（ k））＝ X T （ k） PX（ t）＋X T （ k—1） SX（ k—1）PS 为对 称正定矩阵V（ X（ k））＞0且 X（ k）≠0则沿系 统（式（4））任意轨线 V （X（ k））的向前差分为： ΔV （X（ k））＝ V （X（ k＋1）— V （X（ k））＝ X T （ k＋1） PX（ k＋1）—X T （ k） PX（ k）＋ X T （ k） SX（ k）—X T （ k—1） SX（ k—1）＝ X（k） X（k—1） T G T PG—P＋S G T PHK （ HK） T PG （ HK） T HK—S · X（ k） X（ k—1） ＝［ X（ k） X（ k—1）］· Π—Q—K T RK G T PHK （ HK） T PG （ HK） T HK—S X（k） X（k—1） ＝ ［ X（k） X（k—1）］ Π G T PHK （ HK） T PG （ HK） T HK—S · X（ k） X（ k—1） —X T （ k）（ Q＋ K T RK）X（ k）． 若式（6）成立则对所有允许的不确定性有： ΔV ＜—X T （ k）（ Q＋ K T RK）X（ k）＜0 （7） 由 Lyapunov 稳定理论可知系统渐近稳定． 式（7）两边对 k 从0到∞求和并利用系统 的稳定可得： J≤—X T （∞） PX（∞）—X T （∞） SX（∞）＋ X T （0） PX（0）＋X T （—1） SX（—1） J＜X T （0） PX（0）＋X T （—1） SX（—1）＝J ∗ （8） 这说明 U（ k）＝ KX（ k）是系统（式（4））的一个保 性能控制率定理得证． 从式（8）可以看出性能指标 J 的上界 J ∗依赖 于系统的初始值．为了避免对初始值的依赖假 定系统的初始值是未知的但均在集合 S＝｛X（— i）∈R n∶X（— i）＝UV（ i） V T （ i）V（ i）＜1i＝01｝ 其中 U 是一个已知的常数阵．在此假设条件下 由式（8）可得 J≤λmax（ U T PU）＋λmax（ U T SU） （9） 式（6）为矩阵不等式经矩阵变换可得以下定 理． 定理2 对于引理1所描述的系统若存在 对称正定矩阵 XY∈R n× n及矩阵 M∈R p× n和 正常数ε使得线性矩阵不等式（10）成立则控制 律 U（ k）＝ MX —1（ k）是系统（式（4））的保性能控 制律且系统性能的上界为： J≤λmax（ U T X —1U）＋λmax（ U T X —1YX —1U） —X＋ε—1DD T Ad X＋B0 M B1 M 0 0 0 （ Ad X＋B0 M） T —X＋Y 0 （ EM） T X M T （B1 M） T 0 Y （ EM） T 0 0 0 EM — EM —ε—1I 0 0 0 X 0 0 — Q —1 0 0 M 0 0 0 — R —1 ＜—0 （10） 其中 X＝P —1M＝ KP —1Y＝P —1SP —1Φ＝—P＋S＋ Q＋ K T RK． 证明：利用引理1式（6）可进一步写为下式： G T （ HK） T P［ G HK］＋ —P＋S＋ Q＋ K T RK 0 0 —S ＜0． Vol．28No．6 崔桂梅等： 网络控制系统保性能控制 ·597·
.598 北京科技大学学报 2006年第6期 根据Shur补性质，上式等价于 P-1 G HK Ad+Bo K B1K G -P+S+0+KRK 0 G -P+S+0+KTRK 0 (HK)T 0 (HK)T 0 一S D DT「-p-1 Aa+Bo K B1K 0 F[O EK -EK]+[0 EK - EK]F 0 G -P+S+0+KRK 0 L(HK)T 0 -S D D T 0 07T 0 0 十 EK EK 0 L 0L0 EK EK 再由Shur补性质，上式等价于 1DDT-P-1 A:十BoKB1K 0 G Φ 0 (EK)T <0 (HK) 0 -S -(EK)T 0 EK 一EK -e-11」 上式左右乘diag(,P1,P1,I),X=P-1,M=KP-1,Y=P-1sP-1,重=-P+S十Q十KRK, 则上式写为： -P1+DDT (Aa+BoK)P1 B1KP 0 -P-1(A:十B0K)T p-1p1 0 P(EK)T (B1KP-1)T 0 -P-1SP-1-P-(EK)T 0 EKP-1 -EKP-1 -e-11J -X+DDT AaX+Bo M B1M 0 (Aa X+BoM)T -X+Y+XOX+M RM 0 (EM)T (BiM)T 0 (EM) 0 EM -EM -e-11J -X+E DDT Aax+BoM BIM 「0 (Aax+Bo M)T -x+Y 0 (EM)T X Q[0X00]+ (B10T 0 Y -(EM) 0 0 EM 一EM -e11 01 M R[O M00]<0 0 0 再由Shur补性质，上式等价于线性矩阵不等 式(10)，它是一个关于矩阵变量X,Y,M及常数 e的线性矩阵不等式，因此可以借助MATLAB (LMI)工具箱求解.这种方法不仅给出了一个 y=[10][x1x2] 保性能控制律，而且给出了保性能控制律的参数 取采样周期T=l5ms,随机时延最大值tmr= 化表示 13.5ms,得出其离散时间模型的系数矩阵为： 3仿真结果 0.99980.0147 7.1892×10-9 Ad Bo 对一系统进行了仿真研究，其状态方程为： -0.02930.9558 0.9578
根据 Shur 补性质上式等价于 —P —1 G HK G T —P＋S＋ Q＋ K T RK 0 （ HK） T 0 —S ＝ —P —1 Ad＋B0K B1K G T —P＋S＋ Q＋ K T RK 0 （ HK） T 0 —S ＋ D 0 0 F［0 EK — EK］＋［0 EK — EK］ T F D 0 0 T ＜ —P —1 Ad＋B0K B1K G T —P＋S＋ Q＋ K T RK 0 （ HK） T 0 —S ＋ ε D 0 0 D 0 0 T ＋ε 0 EK — EK 0 EK — EK T ＜0． 再由 Shur 补性质上式等价于 ε—1DD T—P —1 Ad＋B0K B1K 0 G T Φ 0 （ EK） T （ HK） T 0 —S —（ EK） T 0 EK — EK —ε—1I ＜0． 上式左右乘 diag（ IP —1P —1I）X＝ P —1M＝ KP —1Y＝ P —1SP —1Φ＝— P＋ S＋ Q＋ K T RK 则上式写为： —P —1＋ε—1DD T （ Ad＋B0K） P —1 B1KP —1 0 —P —1（ Ad＋B0K） T P —1ΦP —1 0 P —1（ EK） T （B1KP —1） T 0 —P —1SP —1 —P —1（ EK） T 0 EKP —1 — EKP —1 —ε—1I ＝ —X＋ε—1DD T Ad X＋B0 M B1 M 0 （ Ad X＋B0 M） T —X＋Y＋XQX＋ M T RM 0 （ EM） T （B1 M） T 0 Y —（ EM） T 0 EM — EM —ε—1I ＝ —X＋ε—1DD T Ad X＋B0 M B1 M 0 （ Ad X＋B0 M） T —X＋Y 0 （ EM） T （B1 M） T 0 Y —（ EM） T 0 EM — EM —ε—1I ＋ 0 X 0 0 Q［0 X 0 0］＋ 0 M T 0 0 R［0 M 0 0］＜0 再由 Shur 补性质上式等价于线性矩阵不等 式（10）它是一个关于矩阵变量 XYM 及常数 ε的线性矩阵不等式因此可以借助 MATLAB （LMI）工具箱［9］求解．这种方法不仅给出了一个 保性能控制律而且给出了保性能控制律的参数 化表示． 3 仿真结果 对一系统进行了仿真研究其状态方程为： x · 1 x · 2 ＝ 0 1 —2 —3 x1 x2 ＋ 0 640 u y＝［1 0］ ［ x1 x2］ T 取采样周期 T＝15ms随机时延最大值 tmax＝ 13∙5ms得出其离散时间模型的系数矩阵为： Ad＝ 0∙9998 0∙0147 —0∙0293 0∙9558 B0＝ 7∙1892×10 —4 0∙9578 ·598· 北 京 科 技 大 学 学 报 2006年第6期
Vol.28 No.6 崔桂梅等：网络控制系统保性能控制 .599. 0.0702 -0.9993 -0.4987 统性能指标定义成式(5)，其中Q=d击iag(1,2),R= B1= L8.42871 D- 0.9993 0.9974 0.5,对于大多数线性定常系统其解存在，K= 640 0.9992 0 E -640 ,F= 1.0×10-6×「0.0872-0.2673].仿真结果如 0 0.9996d 图3所示， 系统的初始条件集矩阵U=diag(2,2)·系 1.5 1.0m 1.5 05 1.0 0 05 0.5 -1.0 00 图3保性能鲁棒控制响应的曲线 Fig-3 Guaranteed cost robust control curves [3]俞立，不确定离散时滞系统的保性能控制。自动化学报， 4结语 2001,27(3):392 [4]樊卫华，蔡骅，陈庆伟，等.时延网络控制系统的稳定性，控 在NCS建立其具有时滯不确定的离散模型 制理论与应用，2004,21(6).880 的基础上，在网络系统时延小于一个采样周期的 [5]YuL.Gao F R.Optimal guaranteed cost control of discrete 情况下，研究了NCS的保性能鲁棒控制问题，给 time uncertain systems with both and input delays.JFranklin 出了使NCS保性能稳定的静态状态反馈控制器 Inst,338(1):101 的设计等价于求解LMI.通过仿真验证了系统具 [6]Walsh CC.Bushnell L G.Asymptotic behavior of nonlinear 有很好的鲁棒稳定性 networked control systems.IEEE Trans Autom Control. 2001,46(7):1093 参考文献 [7]陈幼平.网络化控制系统的科学问题与应用展望.控制与 决策，2004,19(9)：962 [1]Luck R.Ray A.An observer-based compensator for distributed [8]Zhang W,Branicky M S.Stability of networked control sys- delays.Automatica.1990.26(5):903 tems.IEEE Control Syst Mag.2001.2:84 [2]Woei LL.Asok R.A stochastic regulator for integrated com- [9]钟麟，王峰，MATLAB仿真技术与应用教程.北京：国防工 munication and control systems:Part I numerical analysis and 业出版社，2004 simulation.Dyn Syst Meas Control,1991.113,612 Guaranteed cost control of networked control systems CUI Guimei),MU Zhichun,LI Xicoli),HAO Zhihong? 1)Information Engineering School.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100082.China 2)Information Engineering School,Inner Mongolia University of Science and Technology,Baotou 014010.China ABSTRACI To solve the problem of uncertain time delay in networked control systems (NCS),the un- certain of time delay was converted to the uncertainty of parameter matrixes,and the model of NCS was simplified as an uncertain discrete model with time delay.The guaranteed cost control problem for NCS was translated to a robust guaranteed cost control problem for an uncertainty discrete system with time delay based on the above model.Lyapunov theory and linear matrix inequality (LMI)were applied to prove the sufficient condition of guaranteed cost control for NCS was equivalent to solving a LMI by a static state feedback.Simulation results show effectiveness of the proposed control method. KEY WORDS networked control system;guaranteed cost control;time-delay;LMI;discrete system
B1＝ 0∙0702 8∙4287 D＝ —0∙9993 —0∙4987 0∙9993 0∙9974 E＝ 640 —640 F＝ 0∙9992 0 0 0∙9996 ． 系统的初始条件集矩阵 U＝diag（22）．系 统性能指标定义成式（5）其中 Q＝diag（12）R＝ 0∙5对于大多数线性定常系统其解存在K ＝ 1∙0×10—6×［0∙0872 —0∙2673］．仿真结果如 图3所示． 图3 保性能鲁棒控制响应的曲线 Fig．3 Guaranteed cost robust control curves 4 结语 在 NCS 建立其具有时滞不确定的离散模型 的基础上在网络系统时延小于一个采样周期的 情况下研究了 NCS 的保性能鲁棒控制问题给 出了使 NCS 保性能稳定的静态状态反馈控制器 的设计等价于求解 LMI．通过仿真验证了系统具 有很好的鲁棒稳定性． 参 考 文 献 ［1］ Luck RRay A．An observer-based compensator for distributed delays．Automatica199026（5）：903 ［2］ Woei L LAsok R．A stochastic regulator for integrated communication and control systems：Part Ⅱ numerical analysis and simulation．Dyn Syst Meas Control1991113：612 ［3］ 俞立．不确定离散时滞系统的保性能控制．自动化学报 200127（3）：392 ［4］ 樊卫华蔡骅陈庆伟等．时延网络控制系统的稳定性．控 制理论与应用200421（6）：880 ［5］ Yu LGao F R．Optimal guaranteed cost control of discrete time uncertain systems with both and input delays．J Franklin Inst338（1）：101 ［6］ Walsh G CBushnell L G．Asymptotic behavior of nonlinear networked control systems．IEEE Trans Autom Control 200146（7）：1093 ［7］ 陈幼平．网络化控制系统的科学问题与应用展望．控制与 决策200419（9）：962 ［8］ Zhang WBranicky M S．Stability of networked control systems．IEEE Control Syst Mag20012：84 ［9］ 钟麟王峰．MATLAB 仿真技术与应用教程．北京：国防工 业出版社2004 Guaranteed cost control of networked control systems CUI Guimei 12）MU Zhichun 1）LI Xiaoli 1）HAO Zhihong 2） 1） Information Engineering SchoolUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100082China 2） Information Engineering SchoolInner Mongolia University of Science and TechnologyBaotou014010China ABSTRACT To solve the problem of uncertain time delay in networked control systems （NCS）the uncertain of time delay was converted to the uncertainty of parameter matrixesand the model of NCS was simplified as an uncertain discrete model with time delay．The guaranteed cost control problem for NCS was translated to a robust guaranteed cost control problem for an uncertainty discrete system with time delay based on the above model．Lyapunov theory and linear matrix inequality （LMI） were applied to prove the sufficient condition of guaranteed cost control for NCS was equivalent to solving a LMI by a static state feedback．Simulation results show effectiveness of the proposed control method． KEY WORDS networked control system；guaranteed cost control；time-delay；LMI；discrete system Vol．28No．6 崔桂梅等： 网络控制系统保性能控制 ·599·