宽带材拉伸弯曲变形的理论模型

D01:10.13374.isml00103x.2009.0L.0I2 第31卷第1期 北京科技大学学报 Vol.31 No.I 2009年1月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jan.2009 宽带材拉伸弯曲变形的理论模型 王文广张清东李忠富 北京科技大学机械工程学院北京100083 摘要应用板弯曲理论.引入平面变形假设和横截面始终保持为平面假设，采用米塞斯屈服准则，建立了各向同性理想弹 塑性金属带材的拉伸弯曲变形的一般解析分析方法和模型.它突破了基于初等梁弯曲理论建立的解析分析方法的局限性.得 到了在过去同类研究中无法计算的带材厚度方向的应力和应变实现了对带材拉伸弯曲变形过程更贴切的表征.通过以某冷 轧带钢厂拉伸弯曲矫直机为算例的比较计算表明本文所提出的带材拉伸弯曲变形的板弯曲”模型比“梁弯曲”模型有更符 合实际. 关键词拉伸弯曲矫直：带林：板弯曲：梁弯曲 分类号TG333.7 Modeling of strip deformation during tension leveling WANG Wen-guang,ZHANG Oing-dong,LI Zhong-fu School of Mechanical Engineering.University Science and Technology Beijing Beijing 100083 China ABSTRACT For the problem of strip deformation during tension leveling a mathematical modd w as proposed based on the plate bending theory.The Mises yielding criterion.elastic perfect-plastic material.plane strain assumption and the assumption of cross sec- tion keeping a plane were used during modeling.Limitations which appear in previous similar research based on the beam bending theory.did not exist in the proposed model.By the proposed model stress and strain in the thickness direction oould be calculated and strip deormation during tension leveling could be characterized more accuratdy.Calclation results of an example show thatthat the poposed model based on the plate bending theory agree with fact much better than the model based on the beam bending theory. KEY WORDS tension leveling:strips plate bending:beam bending 拉伸弯曲矫直机是带材生产中应用广泛的板形 于此问题的分析.因此，本文拟基于一般板弯曲分 矫正设备，有关其板形矫正原理及性能的研究对于 析方法建立一个可考虑带材厚度方向应力与变形 拉伸弯曲矫直工艺、技术与装备的发展完善具有重 的、更符合变形实际的“板弯曲”模型. 要意义. 1宽带材的拉伸弯曲变形 拉伸弯曲矫直机板形矫正理论研究的核心是如 何科学地揭示和描述带材拉伸弯曲变形行为.一直 拉伸弯曲矫直机通过使带材在张力拉伸作用下 以来有关研究都是基于材料力学的初等梁弯曲模 经过相互交错的弯曲辊发生多次反复弯曲习，从而 型及方法所建模型可称为“梁弯曲”模型.此模型 使带材产生局部或整体塑性延伸，如图1所示.带 忽略了带材厚度方向的变形故不能分析带材与弯 钢的变形是在张力和单侧压力的共同作用下产生 曲辊间的接触压力和带钢厚度变化等重要工艺参 的，如图2所示. 数. 拉伸弯曲变形中带材的厚度和曲率沿长度方向 事实上，宽带材拉伸弯曲变形过程中存在明显 存在变化.取夹角为微角度α的两横截面间带材， 的弹性和塑性变形，基于小变形的初等梁弯曲理 因《足够小，可以近似认为所取部分呈圆筒形，曲 论刂和忽略弹性变形的弯曲成形理论都不适用 率处处相等且曲率中心都在轴线上，采用圆柱坐标 收稿日期：200803-26 作者简介：王文广(1980-)，男.博士研究生：张清东(1965一)，男，教授博士生导师，E-mil,m818@me ust山.edu.en

宽带材拉伸弯曲变形的理论模型 王文广 张清东 李忠富 北京科技大学机械工程学院, 北京 100083 摘 要 应用板弯曲理论, 引入平面变形假设和横截面始终保持为平面假设, 采用米塞斯屈服准则, 建立了各向同性理想弹 塑性金属带材的拉伸弯曲变形的一般解析分析方法和模型.它突破了基于初等梁弯曲理论建立的解析分析方法的局限性, 得 到了在过去同类研究中无法计算的带材厚度方向的应力和应变, 实现了对带材拉伸弯曲变形过程更贴切的表征.通过以某冷 轧带钢厂拉伸弯曲矫直机为算例的比较计算表明, 本文所提出的带材拉伸弯曲变形的“ 板弯曲” 模型比“ 梁弯曲” 模型有更符 合实际. 关键词 拉伸弯曲矫直;带材;板弯曲;梁弯曲 分类号 TG333.7 Modeling of strip deformation during tension leveling WANG Wen-guang , ZHANG Qing-dong , LI Zhong-fu S chool of Mechanical Engineering , University Science and Technology Beijing , Beijing 100083 , China ABSTRACT For the problem of strip deformation during tension leveling , a mathematical model w as proposed based on the plate bending theory.The Mises yielding criterion , elastic perfect-plastic material , plane strain assumption and the assumption of crosssec￾tio n keeping a plane were used during modeling.Limitations, w hich appear in previous similar research based on the beam bending theory , did not exist in the proposed model.By the proposed model, stress and strain in the thickness direction could be calculated, and strip deformation during tension leveling could be characterized more accurately.Calculation results of an example show that that the pro posed model based on the plate bending theory agree with fact much better than the model based on the beam bending theory. KEY WORDS tension leveling ;strip;plate bending ;beam bending 收稿日期:2008-03-26 作者简介:王文广(1980—), 男, 博士研究生;张清东(1965—), 男, 教授, 博士生导师, E-mail:me818@me.ustb.edu.cn 拉伸弯曲矫直机是带材生产中应用广泛的板形 矫正设备, 有关其板形矫正原理及性能的研究对于 拉伸弯曲矫直工艺 、技术与装备的发展完善具有重 要意义. 拉伸弯曲矫直机板形矫正理论研究的核心是如 何科学地揭示和描述带材拉伸弯曲变形行为 .一直 以来, 有关研究都是基于材料力学的初等梁弯曲模 型及方法, 所建模型可称为“梁弯曲”模型.此模型 忽略了带材厚度方向的变形, 故不能分析带材与弯 曲辊间的接触压力和带钢厚度变化等重要工艺参 数. 事实上, 宽带材拉伸弯曲变形过程中存在明显 的弹性和塑性变形 , 基于小变形的初等梁弯曲理 论[ 1] 和忽略弹性变形的弯曲成形理论[ 1] 都不适用 于此问题的分析 .因此 , 本文拟基于一般板弯曲分 析方法, 建立一个可考虑带材厚度方向应力与变形 的 、更符合变形实际的“板弯曲”模型 . 1 宽带材的拉伸弯曲变形 拉伸弯曲矫直机通过使带材在张力拉伸作用下 经过相互交错的弯曲辊发生多次反复弯曲[ 2] ,从而 使带材产生局部或整体塑性延伸 ,如图 1 所示 .带 钢的变形是在张力和单侧压力的共同作用下产生 的 ,如图 2 所示. 拉伸弯曲变形中带材的厚度和曲率沿长度方向 存在变化 .取夹角为微角度 α的两横截面间带材, 因 α足够小 , 可以近似认为所取部分呈圆筒形, 曲 率处处相等且曲率中心都在轴线上 .采用圆柱坐标 第 31 卷 第 1 期 2009 年 1 月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol .31 No.1 Jan.2009 DOI :10.13374/j .issn1001 -053x.2009.01.012

第1期 王文广等：宽带材拉伸弯曲变形的理论模型 99。 弯曲银 Gs p∈R,p- 张紧程 支撑辊 E(P-Po) 09= p∈(p-P) (2) Po 弯曲辊组弯曲银组矫直辊组 0 p∈[R,p- 图1常见拉伸弯曲矫直机的工作原理 确定了中性层曲率半径即可根据式(2)确定切向应 Fig 1 Operational principle of a common tension leveler 力分布. 带材运行方向 图3切向应力沿径向分布 Fig.3 Distribution of tangential stress abng radal direction 图2局部带材拉伸弯曲变形的简化模型 Fig 2 Simplified model of strip deforming 考察材料横截面的受力，可得平衡方程9： 系，取圆筒轴线为z轴.带材长度、厚度和宽度方向 BJd=B G.dr (3) 分别对应坐标系的切向、径向和轴向.由于对称性， R-2e 三个坐标轴方向(，P,z)就是应力和应变的主方 式中，σ。为材料屈服应力，F为带材所受切向张力， 向. B为带材宽度，R、R1分别为弯曲带材内层和外层 2基于初等梁弯曲理论的解析分析方法及 曲率半径，t为带材厚度(t=R1一R),h为处于弹 性状态的材料厚度的1/2，o为中性层曲率半径，P 模型 和p-分别为拉伸、压缩屈服层的曲率半径，e为中 基于初等梁弯曲理论的宽带材拉伸弯曲变形解 性层偏移量， 析研究始于20世纪60年代其基本假设有10： 解方程可得中性层曲率半径计算式： ①变形前的材料横截面在变形过程中始终保持为 P=R十RF 2 -2B0 (4) 平面：②径向应力和应变忽略不计，材料处于简单 拉、压应力状态：③带材塑性变形区的宽度尺寸远 几何中心层的切向应变为 大于其他两个方向的尺寸，近似认为其属于平面应 R+Ri / F 2BG.(R+R1)-F (5) 变问题，轴向应变为0：④金属带材为各向同性材 料. 根据带材平断面假设，带材中心层的切向残余 2.1建模及分析 应变就是带材恢复平直状态后整体产生的延伸 以理想弹塑性材料为例进行分析.其中，变形 率2一).式(4)和式(5)是“梁弯曲”模型的最主要结 区的切向应力沿径向分布为图3所示形式？. 论，也是分析实际问题的主要理论模型 带材处于简单应力状态，在变形过程中应力为 2.2“梁弯曲”模型的局限性 0处的应变也为0.根据轴对称性，应变为0的域为 带材受弯曲辊压力和张力共同作用发生变形 以z轴为轴线的圆弧面，被称为中性层.带材厚度 带材塑性变形区的径向应力和应变不仅存在也不能 的几何中心面被称为中心层.中性层与中心层间的 忽略不计.所以，径向应力σ，的假设不成立. 距离称为中性层偏移量 从工程应用角度看，弯曲辊压力和带材厚度变 在曲率半径为P处，材料切向应变可表示为： 化都是拉伸弯曲矫直工艺的重要参数.求解他们具 P-Po 有重要意义， Ee-In PoPo (1) 因此，拉伸弯曲变形的“梁弯曲”模型并不能正 对于理想弹塑性材料，切向应力可表示为： 确表征带材的拉伸弯曲变形行为，故一直无法实现

图 1 常见拉伸弯曲矫直机的工作原理 Fig.1 Operational principle of a common t ension leveler 图 2 局部带材拉伸弯曲变形的简化模型 Fig.2 Simplified model of strip deforming 系 ,取圆筒轴线为 z 轴 .带材长度、厚度和宽度方向 分别对应坐标系的切向、径向和轴向 .由于对称性 , 三个坐标轴方向(r , φ, z )就是应力和应变的主方 向[ 1] . 2 基于初等梁弯曲理论的解析分析方法及 模型 基于初等梁弯曲理论的宽带材拉伸弯曲变形解 析研究始于 20 世纪 60 年代, 其基本假设有 [ 1, 3-10] : ①变形前的材料横截面在变形过程中始终保持为 平面;②径向应力和应变忽略不计, 材料处于简单 拉、压应力状态 ;③带材塑性变形区的宽度尺寸远 大于其他两个方向的尺寸, 近似认为其属于平面应 变问题, 轴向应变为 0 ;④ 金属带材为各向同性材 料. 2.1 建模及分析 以理想弹塑性材料为例进行分析 .其中 , 变形 区的切向应力沿径向分布为图 3 所示形式 [ 3] . 带材处于简单应力状态 , 在变形过程中应力为 0 处的应变也为 0 .根据轴对称性 ,应变为 0 的域为 以 z 轴为轴线的圆弧面, 被称为中性层.带材厚度 的几何中心面被称为中心层.中性层与中心层间的 距离称为中性层偏移量. 在曲率半径为 ρ处, 材料切向应变可表示为: εφ=ln ρ ρ0 ≈ ρ-ρ0 ρ0 (1) 对于理想弹塑性材料 ,切向应力可表示为: σφ= σs ρ∈[ R , ρ-s] E(ρ-ρ0) ρ0 ρ∈(ρ-s , ρs) -σs ρ∈[ R , ρ-s] (2) 确定了中性层曲率半径即可根据式(2)确定切向应 力分布 . 图3 切向应力沿径向分布 Fig.3 Distribution of tangential stress along radial direction 考察材料横截面的受力 ,可得平衡方程[ 4] : F =B∫ R 1 R σφd r =B∫ R 1 R1-2e σsdr (3) 式中 , σs 为材料屈服应力 , F 为带材所受切向张力, B 为带材宽度, R 、R 1 分别为弯曲带材内层和外层 曲率半径, t 为带材厚度(t =R 1 -R), h 为处于弹 性状态的材料厚度的 1/2 , ρ0 为中性层曲率半径 , ρs 和 ρ-s分别为拉伸 、压缩屈服层的曲率半径, e 为中 性层偏移量 . 解方程可得中性层曲率半径计算式: ρ0= R +R 1 2 - F 2Bσs (4) 几何中心层的切向应变为 εφ R +R 1 2 = F Bσs(R +R 1)-F (5) 根据带材平断面假设 ,带材中心层的切向残余 应变就是带材恢复平直状态后整体产生的延伸 率[ 2-3] .式(4)和式(5)是“梁弯曲”模型的最主要结 论 ,也是分析实际问题的主要理论模型. 2.2 “梁弯曲”模型的局限性 带材受弯曲辊压力和张力共同作用发生变形, 带材塑性变形区的径向应力和应变不仅存在也不能 忽略不计.所以 ,径向应力 σr ≡0 的假设不成立 . 从工程应用角度看 ,弯曲辊压力和带材厚度变 化都是拉伸弯曲矫直工艺的重要参数, 求解他们具 有重要意义 . 因此 ,拉伸弯曲变形的“ 梁弯曲” 模型并不能正 确表征带材的拉伸弯曲变形行为, 故一直无法实现 第 1 期 王文广等:宽带材拉伸弯曲变形的理论模型 · 99 ·

。100 北京科技大学学报 第31卷 工程应用25q 在内侧塑性变形区有o>o9,存在边界条件 o,(R)=F/(BR方在外侧塑性变形区则有o,<og, 3基于一般板弯曲理论的解析分析方法及 模型 存在边界条件G(R1)=0.将式(8)代入式(6，解 方程可得内侧塑性变形区径向应力计算式： 根据带材拉伸弯曲变形的特点，提出以下应用 =Mmg-最p∈R.P- (9) 板弯曲理论进行建模与分析的基本假设：①变形前 的带材横截面在变形过程中仍保持为平面刂：②将 式中，6，为径向应力，M为中间参量(M=2ō/3)， 带材的变形看作平面应变问题，轴向应变为0：③带 R为弯曲带材最内层曲率半径，P为变形区内任意 材为各向同性的理想弹塑性材料. 层的曲率半径，p-为带材内侧屈服临界层的曲率 3.1变形带材的受力分析及力学模型 半径. 对于取定的微角度α所对应的带材段，变形区 外侧塑性变形区径向应力计算式： 的应力和应变关于圆柱坐标系z轴呈轴对称分布， (10) 其大小只与径向坐标有关且变形区内任意点对应 G=MIn RPE[R 的曲率半径就等于其径向坐标值.结合图3所示的 式中，R1为弯曲带材最外层曲率半径，P,为带材外 切向应力分布，微角度α所对应的带材段上的塑性 侧屈服临界层的曲率半径. 和弹性变形区如图4所示. 在弹性变形区，根据广义虎克定律： da , (11) o+do. 式中，E为材料弹性模量，σ为应力偏量. 塑性 因e=0,可得以下关系式： 弹性 e=E9+(+2) 1-2 (12) 塑性 式中，σ为切向应力，为切向应变，μ为泊松比. 定义切向应变为0的纤维层为切向应变中性 层.由带材初始横截面在变形过程中始终保持为平 面的假设条件，可将带材内任意点切向应变表示为： es-In Po (13) 图4带材弹塑性变形状态 式中，P。为切向应变中性层的曲率半径 Fig.4 Elastic-plastic state of a strip 由径向应力沿径向应保持连续的特点，可列出 3.2带材拉伸弯曲变形的解析分析 条件(P)=Mn(P/R1),将式(12)代入式(6)，可 考察如图4所示的微角度增量dα对应的微单 得弹性变形区径向应力计算式： 元体，可列出其平衡方程并简化为： PE1P+E(1-) Godp+I o,-(o+do,)(P+dp)=0 (6) = MIn R NIn PoN(1-2) 在塑性变形区，根据列维一米塞斯塑性流动方程： 1-2 1-4 +Q,p∈(p-s,P) (14) e=入o时 (7) 采用米塞斯屈服条件，并因€：=0，对于理想弹塑性 其中N=1--2Q=h号卡别 材料，可得以下关系式： 分别将式(9)和式(10)代入式(8)，将式(14)代 |g,-gl=50 (8) 入式(12)，可得式(15)所示的切向应力表达式： Min R+M P∈[P,R] 会+9 +Q+是 p∈(p-,P) (15) MlnR、E P BR-M p∈[R,p-J

工程应用 [ 2, 5, 10] . 3 基于一般板弯曲理论的解析分析方法及 模型 根据带材拉伸弯曲变形的特点 ,提出以下应用 板弯曲理论进行建模与分析的基本假设 :①变形前 的带材横截面在变形过程中仍保持为平面[ 1] ;②将 带材的变形看作平面应变问题 ,轴向应变为 0 ;③带 材为各向同性的理想弹塑性材料. 3.1 变形带材的受力分析及力学模型 对于取定的微角度 α所对应的带材段, 变形区 的应力和应变关于圆柱坐标系 z 轴呈轴对称分布 , 其大小只与径向坐标有关, 且变形区内任意点对应 的曲率半径就等于其径向坐标值.结合图 3 所示的 切向应力分布, 微角度 α所对应的带材段上的塑性 和弹性变形区如图 4 所示 . 图 4 带材弹塑性变形状态 Fig.4 Elastic-plastic state of a strip 3.2 带材拉伸弯曲变形的解析分析 考察如图 4 所示的微角度增量 d α对应的微单 元体 ,可列出其平衡方程并简化为 : σφdρ+[ ρσr -(σr +dσr)(ρ+dρ)] =0 (6) 在塑性变形区, 根据列维-米塞斯塑性流动方程 : ε · i j =λ · σ′ij (7) 采用米塞斯屈服条件 ,并因 ε · z =0 ,对于理想弹塑性 材料 ,可得以下关系式: σr -σφ = 2 3 σs (8) 在内侧塑性变形区有 σr >σφ, 存在边界条件 σr(R)=F/(BR);在外侧塑性变形区则有 σr <σφ, 存在边界条件 σr(R 1)=0 .将式(8)代入式(6), 解 方程可得内侧塑性变形区径向应力计算式 : σr =Mln R ρ - F BR , ρ∈[ R , ρ-s] (9) 式中, σr 为径向应力 , M 为中间参量(M =2 σs/ 3), R 为弯曲带材最内层曲率半径 , ρ为变形区内任意 层的曲率半径 , ρ-s为带材内侧屈服临界层的曲率 半径. 外侧塑性变形区径向应力计算式 : σr =Mln ρ R 1 , ρ∈[ ρs , R 1] (10) 式中 , R 1 为弯曲带材最外层曲率半径 , ρs 为带材外 侧屈服临界层的曲率半径. 在弹性变形区 ,根据广义虎克定律: εij =1 +μ E σ′ij (11) 式中, E 为材料弹性模量 , σ′ij为应力偏量. 因 εz =0 , 可得以下关系式 : σφ= Eεφ+(μ+μ 2)σr 1 -μ2 (12) 式中, σφ为切向应力 , εφ为切向应变 , μ为泊松比. 定义切向应变为 0 的纤维层为切向应变中性 层 .由带材初始横截面在变形过程中始终保持为平 面的假设条件,可将带材内任意点切向应变表示为: εφ=ln ρ ρ0 (13) 式中, ρ0 为切向应变中性层的曲率半径. 由径向应力沿径向应保持连续的特点, 可列出 条件 σr(ρs)=Mln(ρs/ R 1),将式(12)代入式(6),可 得弹性变形区径向应力计算式: σr = Mln ρs R 1 - E N ln ρs ρ0 + E(1 -μ) N(1 -2 μ) · ρs ρ 1-2μ 1 -μ +Q , ρ∈(ρ-s , ρs) (14) 其中 N =1 -μ-2μ 2 , Q = E N ln ρ ρ0 - 1 -μ 1 -2 μ . 分别将式(9)和式(10)代入式(8),将式(14)代 入式(12),可得式(15)所示的切向应力表达式: σφ= Mln ρ R 1 +M ρ∈[ ρs , R 1] μ 1 -μ Mln ρs R 1 - E N ln ρs ρ0 + E(1 -μ) N(1 -2 μ) ρs ρ 1 -2μ 1 -μ +Q + E N ρ∈(ρ-s , ρs) Mln R ρ - F BR -M ρ∈[ R , ρ-s] (15) · 100 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 31 卷

第1期 王文广等：宽带材拉伸弯曲变形的理论模型 101。 由材料本构方程，可得径向应变计算式： E”是片h花+h号 MN P p∈[P,R] Er= p∈(0-，P) (16) Eh-产h+是+h 、P p∈[R,p- 3.3切向应变中性层的曲率半径的求解 层径向应力在内屈服临界层的极限值σ(p→十 带材切向应力在屈服临界层处不连续刂，但弹 p-.),由式(9计算得出o(p-). 性区切向应力在外侧屈服临界层有极限值存在，可 判断下式是否成立： 表示为： |o,(p→十p-)-o,(p-)≤ξ (20) i=-μnR1+1-a2no (17) 式中，ξ为迭代收敛精度 第二步，若式(20)成立，将当前P0值作为迭代 根据米塞斯屈服准则，在屈服临界层应有等效 最终结果；否则根据G(p→十p-)与G(p-)大小 应力=··因此可得带材外侧屈服临界层的曲率 关系，修正P0值，返回第一步. 半径计算式： b+b-4ac 4两种理论模型的对比计算 P,-exp (18) 2a 将“梁弯曲”模型和本文建立的“板弯曲”模型分 同理可得带材内侧屈服临界层的曲率半径计算 别编程进行对比计算.选择如下工况：材料弹性模 式 量E=210GPa,屈服应力为210MPa平均张应力 P-s-exp bbi-4aici (19) 为50MPa,带材变形后厚度为3mm.采用两种理论 2a1 模型分别计算切向应变中性层偏移量、径向应力和 式中，a、b、c、a1、b和a为中间变量.令d1= 应变. M2N2,d2=E2(1-μ+u2),d=MNE(1+μ)， 4.1切向应变中性层偏移量计算结果比较 d4=nR一T/(MBR),则a、b、c、a1、b1和c1计算 切向应变中性层偏移量是表征带材拉伸弯曲变 公式如下： 形程度的重要参数，两种模型的计算结果见图5所 a=d1+d2-d3, 示.显然“板弯曲”模型的计算结果更符合带材拉伸 a1=d1+d2-d3, 弯曲变形的实际情况一中性层偏移量随弯曲半径 b=(d3-2d2)nPo+(2d1-d3)nR, 的变化而变化. b=(d3-2d2)InPo+(2d1-d3)InR- 0.37 NT 合一“板弯曲”模型 [E(1+)-2MN]. 目0.36 一日一“梁弯曲”模型 G 日 日日日日日日日 c=2diln'R1-d3InRiInPo+ 035 d2ln2po-2o(1-u2)2, 出 ci=didi-d3lngod4+d2ln2 Po-22(1). 0.34 由函数单调性不难证明，对于式(18)和式(19)， 0.33 405060708090100110120 Po越大，P.和p-计算值越大：由式(14)可知，Po和 弯曲最内层曲率半径mm P,越大，弹性变形区任一点径向应力计算值越大： 图5中性层偏移量计算结果 由式(9)可知，P-越大，内层塑性屈服临界层径向 Fig.5 Offset of the neutral layer 应力计算值越小. 4.2弯曲区径向应力和应变计算结果 根据以上关系，可以构建出以下中性层曲率半 如图6所示：“板弯曲”模型求得的径向应力始 径Po数值迭代求解方法. 终表现为压应力，且最大压应力出现在中性层附近： 第一步，根据Po迭代值，分别由式(18)和 径向应变沿径向单调变化，且径向应变并不关于带 式(19)计算出P,和P-·再由式(14)计算得出弹性 材几何中心层对称.表明平直状态下带材中心层的

由材料本构方程 ,可得径向应变计算式 : εr = MN E(1 -μ) ln ρs R 1 - μ 1 -μ ln ρ ρ0 +ln ρ ρs ρ∈[ ρs , R 1] 1 1 -μ MN E ln ρs R 1 -ln ρs ρ0 + 1 -μ 1 -2 μ ρs ρ 1-2μ 1 -μ +ln ρ ρ0 - 1 +μ N ρ∈(ρ-s , ρs) MN E(1 -μ) ln R ρ-s - μ 1 -μ ln ρ-s ρ0 + FN BRE +ln ρ ρ-s ρ∈[ R , ρ-s] (16) 3.3 切向应变中性层的曲率半径的求解 带材切向应力在屈服临界层处不连续[ 1] , 但弹 性区切向应力在外侧屈服临界层有极限值存在 , 可 表示为: lim ρ※-ρs σφ= μM 1 -μln ρs R 1 + E 1 -μ 2ln ρs ρ0 (17) 根据米塞斯屈服准则, 在屈服临界层应有等效 应力 σ=σs .因此可得带材外侧屈服临界层的曲率 半径计算式: ρs =exp b + b 2 -4ac 2a (18) 同理可得带材内侧屈服临界层的曲率半径计算 式: ρ-s =exp b1 + b 2 1 -4a1 c1 2a1 (19) 式中 , a 、b 、c 、a1 、b1 和 c1 为中间变量.令 d1 = M 2N 2 , d2 =E 2(1 -μ+μ2), d3 =MNE(1 +μ), d4 =ln R -T/(MBR),则 a 、b 、c 、a1 、b1 和 c1 计算 公式如下 : a =d 1 +d 2 -d 3 , a1 =d 1 +d 2 -d 3 , b =(d3 -2d 2)lnρ0 +(2d 1 -d3)ln R 1 , b1 =(d 3 -2d 2)lnρ0 +(2d 1 -d 3)lnR - N T BR [ E(1 +μ)-2 MN] , c =2d 1ln 2 R 1 -d 3lnR 1lnρ0 + d2ln 2ρ0 -2σ 2 s(1 -μ 2) 2 , c1 =d 1 d 2 4 -d3lnρ0 d 4 +d 2ln 2ρ0 -2 σ 2 s(1 -μ 2) 2 . 由函数单调性不难证明, 对于式(18)和式(19), ρ0 越大, ρs 和 ρ-s计算值越大;由式(14)可知, ρ0 和 ρs 越大,弹性变形区任一点径向应力计算值越大 ; 由式(9)可知 , ρ-s越大 , 内层塑性屈服临界层径向 应力计算值越小 . 根据以上关系 ,可以构建出以下中性层曲率半 径 ρ0 数值迭代求解方法. 第一 步, 根据 ρ0 迭代值 , 分 别由 式(18)和 式(19)计算出 ρs 和 ρ-s .再由式(14)计算得出弹性 层径向应力在内屈服临界层的极限值 σr(ρ※+ ρ-s),由式(9)计算得出 σr(ρ-s). 判断下式是否成立 : σr(ρ※+ρ-s)-σr(ρ-s) ≤ξ (20) 式中, ξ为迭代收敛精度. 第二步 ,若式(20)成立 , 将当前 ρ0 值作为迭代 最终结果 ;否则根据 σr(ρ※+ρ-s)与 σr(ρ-s)大小 关系,修正 ρ0 值,返回第一步 . 4 两种理论模型的对比计算 将“梁弯曲”模型和本文建立的“板弯曲”模型分 别编程进行对比计算 .选择如下工况 :材料弹性模 量 E =210 GPa , 屈服应力为 210 MPa , 平均张应力 为 50 MPa ,带材变形后厚度为3 mm .采用两种理论 模型分别计算切向应变中性层偏移量、径向应力和 应变. 4.1 切向应变中性层偏移量计算结果比较 切向应变中性层偏移量是表征带材拉伸弯曲变 形程度的重要参数 , 两种模型的计算结果见图 5 所 示 .显然“板弯曲”模型的计算结果更符合带材拉伸 弯曲变形的实际情况———中性层偏移量随弯曲半径 的变化而变化. 图5 中性层偏移量计算结果 Fig.5 Offset of the neutral layer 4.2 弯曲区径向应力和应变计算结果 如图 6 所示:“板弯曲”模型求得的径向应力始 终表现为压应力, 且最大压应力出现在中性层附近; 径向应变沿径向单调变化 ,且径向应变并不关于带 材几何中心层对称 .表明平直状态下带材中心层的 第 1 期 王文广等:宽带材拉伸弯曲变形的理论模型 · 101 ·

。102 北京科技大学学报 第31卷 材料在拉伸变形状态下不再处于中心层.“梁弯曲” 模型忽略了径向应力和应变，不能获得有关结果. (a) 3 (b) -2 4 -2 61 -10 46.0 -12 40.5 41.041.542.042.543.0 0.0 40.5 41.041.542.042.543.0 径向/mm 径向/mm 图6径向应变(a)和应力(b)的计算结果 Fig.6 Results of radial strain (a)and stress (b) 43“板弯曲”模型的可能用途 1982) 此模型可能会在以下方面对有关带材通过拉伸 [2 Zhang Q D.Liu T H.Technical parameter relation models of ten- sion leveling of wide steel strip Iron Steel,2007,2(12):63 弯曲变形实现板形矫正的理论及工程应用研究提供 (张清东，刘天浩.宽带钢拉弯矫直工艺参数关系模型研究 帮助： 钢铁2007.2(12)：63) (1)能更准确地揭示拉伸弯曲变形的本质及特 [3 Xiao L.Yang C R.Zou J X.Theoretical imvestigation into contin- 点.带材的拉伸弯曲变形归根结底是由张力、弯曲 wus tersion bveling process of metal strip (part one):elongation 曲率和弯曲辊压力共同决定的弹塑性变形.只有考 calculation.J Univ Sci Technol Beijing,1999,12.21(6):563 (肖林杨成仁，邹家样金属带材拉伸弯曲矫直过程简化解析 虑带材厚度方向的应力，才能将弯曲辊压力纳入研 分析(I):带材延伸率计算方法的探讨.北京科技大学学报， 究分析，更接近问题的本质. 1999.12.21(6):563) (2)能对拉伸弯曲变形过程进行更精确的定量 [4 Xiao L.Yang C R.Zou J X.Theoretical imvestigation into contin- 研究计算.“板弯曲”解析模型用于研究带材拉伸弯 us tension leveling process of metal strip (part two):analysis on 曲变形过程，计算带材张力、弯曲曲率和弯曲辊压力 the tension leveling process of dlastieperfect plastic metal strip ower the first bending moll.J Univ Sci Technol Beijing,2000.2. 的相互关系及其变化规律，将具有比“梁弯曲”解析 22(1):75 模型更高的计算精度. (背林杨成仁，邹家样金属带材拉伸弯曲矫直过程简化解析 (3)为进行弯曲辊的受力、变形及磨损的理论研 分析之二：理想弹塑性带材第1个弯曲辊上的拉弯过程分析. 究创造了条件.带材和弯曲辊辊面间存在接触力和 北京科技大学学报，2000.2.22(1)：75) 相对滑动是弯曲辊磨损的根本原因，“板弯曲”模型 [5 Li T Q.Study on The Working Mechanism And Funct ional Op- 能够计算带材与弯曲辊间的接触压力，从而可以对 tim um of the Tension Leveer Dissert ation.Beijing:University of Science Technology Beijing.1997 弯曲辊磨损进行理论分析. (李同庆.宽带钢拉伸弯曲矫直机工作机理以及性能优化的研 5结论 列学位论丸.北京：北京科技大学，1997) [6 Sheppand T.Stress-strain relationships for strip shape correction 本文以拉伸弯曲带材厚度方向应力和应变的求 process.J Inst Met,1971.99:223 解为突破口，建立了新的力学简化模型和解析分析 [7 Sheppard T.Shape correction in steel strip by tension leveling. Sheet Met1md,1979.12:1149 方法，提出一种用于带材拉伸弯曲变形解析分析的 I8 Yu T X.Johnson W.Influence of axial foroe on the elastic-plastic “板弯曲”模型.理论分析和对比计算证明，此模型 bending and spring back of a beam.J Mec Work Technol 1982 能更好地表征带材拉伸弯曲变形行为，具有更合理 (4):31 的力学模型和计算结果，特别是突破了“梁弯曲”解 [9 Xu S G.W ang JZ.Tension leveling for wave shape of strip.Iron &Steel,19897(24):25 析模型不能分析带材厚度方向应力与应变的局限 (徐守国。王继中.带材浪形的拉伸弯曲矫直.钢铁1989,7 性 (24):25) [10 Deng K.Tension leveling for shape of strip.JUniv Sci Technol 参考文献 Beijing,2003.25(SuppD):4 [1]Wang R.Xiong Z H.Huang W B.Plastic Mechan ics.Beijing: (邓凯.带材板形缺陷的拉伸弯曲矫直北京科技大学学报。 Science Press 1982 2003.25(增刊)：4) (王仁，熊祝华黄文彬.塑性力学基础.北京：科学出版社

材料在拉伸变形状态下不再处于中心层.“梁弯曲” 模型忽略了径向应力和应变 ,不能获得有关结果 . 图 6 径向应变(a)和应力(b)的计算结果 Fig.6 Results of radial strain (a)and stress (b) 4.3 “板弯曲”模型的可能用途 此模型可能会在以下方面对有关带材通过拉伸 弯曲变形实现板形矫正的理论及工程应用研究提供 帮助 : (1)能更准确地揭示拉伸弯曲变形的本质及特 点.带材的拉伸弯曲变形归根结底是由张力 、弯曲 曲率和弯曲辊压力共同决定的弹塑性变形.只有考 虑带材厚度方向的应力, 才能将弯曲辊压力纳入研 究分析,更接近问题的本质. (2)能对拉伸弯曲变形过程进行更精确的定量 研究计算 .“板弯曲”解析模型用于研究带材拉伸弯 曲变形过程,计算带材张力、弯曲曲率和弯曲辊压力 的相互关系及其变化规律 ,将具有比“ 梁弯曲” 解析 模型更高的计算精度 . (3)为进行弯曲辊的受力 、变形及磨损的理论研 究创造了条件.带材和弯曲辊辊面间存在接触力和 相对滑动是弯曲辊磨损的根本原因, “ 板弯曲” 模型 能够计算带材与弯曲辊间的接触压力, 从而可以对 弯曲辊磨损进行理论分析 . 5 结论 本文以拉伸弯曲带材厚度方向应力和应变的求 解为突破口 ,建立了新的力学简化模型和解析分析 方法, 提出一种用于带材拉伸弯曲变形解析分析的 “板弯曲”模型 .理论分析和对比计算证明 , 此模型 能更好地表征带材拉伸弯曲变形行为, 具有更合理 的力学模型和计算结果 , 特别是突破了“梁弯曲” 解 析模型不能分析带材厚度方向应力与应变的局限 性. 参 考 文 献 [ 1] Wang R, Xi ong Z H , Huang W B .Plastic Mechan ics.Beijing : S cience Press, 1982 (王仁, 熊祝华, 黄文彬.塑性力学基础.北京:科学出版社, 1982) [ 2] Zhang Q D , Liu T H .Techni cal paramet er relation models of ten￾sion leveling of w ide st eel strip.Iron S teel , 2007 , 2(12):63 (张清东, 刘天浩.宽带钢拉弯矫直工艺参数关系模型研究. 钢铁, 2007 , 2(12):63) [ 3] Xiao L , Yang C R, Zou J X.Theoretical investigati on into contin￾uous tension leveling process of met al strip(part one):elongation calculation.J Uni v S ci Technol Beijing , 1999 , 12 , 21(6):563 (肖林, 杨成仁, 邹家祥.金属带材拉伸弯曲矫直过程简化解析 分析(Ⅰ):带材延伸率计算方法的探讨.北京科技大学学报, 1999 , 12 , 21(6):563) [ 4] Xiao L , Yang C R, Zou J X.Theoretical investigati on into contin￾uous tension leveling process of metal strip(part tw o):analysis on the t ension leveling process of elastic-perfect plastic metal strip over the first bending roll.J Uni v S ci Technol Beijing , 2000 , 2 , 22(1):75 (肖林, 杨成仁, 邹家祥.金属带材拉伸弯曲矫直过程简化解析 分析之二:理想弹塑性带材第 1 个弯曲辊上的拉弯过程分析. 北京科技大学学报, 2000 , 2 , 22(1):75) [ 5] Li T Q .S tudy on The Working Mechanism And F unctiona l Op￾tim um o f the Tension Leveler [ Dissert ation] .Beijing :Universit y of S cience Technology Beijing , 1997 (李同庆.宽带钢拉伸弯曲矫直机工作机理以及性能优化的研 究[ 学位论文] .北京:北京科技大学, 1997) [ 6] Sheppard T .S tress-strain relationships f or strip-shape correction process.J Inst Met , 1971 , 99:223 [ 7] Sheppard T .S hape correction in steel strip by tension leveling . S heet Met Ind , 1979 , 12:1149 [ 8] Yu T X , Joh nson W .Influence of axial f orce on the elastic-plastic bending and spring back of a beam .J Mech Work Technol, 1982 (4):31 [ 9] Xu S G, Wang J Z .Tension leveling f or wave shape of strip.Iron & Steel , 1989, 7(24):25 (徐守国, 王继中.带材浪形的拉伸弯曲矫直.钢铁, 1989 , 7 (24):25) [ 10] Deng K.Tension leveling for shape of strip.J Uni v Sci Technol Beijing , 2003 , 25(Suppl):4 (邓凯.带材板形缺陷的拉伸弯曲矫直.北京科技大学学报, 2003 , 25(增刊):4) · 102 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 31 卷