D0I:10.13374/i.issnl00It03.2009.11.036 第31卷第11期 北京科技大学学报 Vol.31 No.11 2009年11月 Journal of University of Science and Technology Beijing Nov.2009 大吸附雷诺数下胀缩壁面管道非稳态流动渐近求解 司新辉）郑连存) 张欣欣)晁莹) 1)北京科技大学应用科学学院，北京1000832)北京科技大学机械工程学院，北京100083 3)中国人民解放车防化研究院，北京102205 摘要研究了大吸附雷诺数下，可渗透、膨胀或收缩的半无限长管道中的层流流动，采用自相似理论，把描述该模型的 Navier-Stokes方程转化成一个四阶的非线性微分方程.应用奇异摄动方法，对该方程进行渐近求解.分析了不同的膨胀系 数、吸附雷诺数对管道流动的影响.壁面收缩时，边界层变薄：壁面膨胀时，边界层变厚：当膨胀率与雷诺数之比大于1时，管 道流动出现回流， 关键词非稳态流：管道流动：膨胀与收缩壁面：渐近解 分类号0351.2 Asymptotic solution for unsteady flow in expanding or contracting channels with large suction Reynolds SI Xin-hui),ZHENG Lian-cun).ZHANG Xin-xin2).CHAO Ying3) 1)School of Applied Seience.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China 2)School of Mechanical Engineering University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083.China 3)Chemical Defense Institute of PLA.Beijing 102205.China ABSTRACT An incompressible laminar flow in a semi-infinite porous channel with expanding or contracting walls is considered. Following the self-similarity transformation.the Navier-Stokes equations are reduced to a fourth-order non-linear differential equation. The resulting equation is then solved asymptotically for large suction Reynolds number.The influences of expansion rate and Reynolds number on the fluid are obtained.When the wall contracts,the boundary layer becomes thinner:and when the wall expands,the boundary layer becomes thicker.It appears that flow reversal begins when the ratio of expansion rate to suction Reynolds number ex- ceeds 1. KEY WORDS unsteady flow:pipe flow:expanding or contracting wall:asymptotic solution 壁面可渗透的管道流动在生物物理中有着广泛 管道内不可压缩流体的非稳态流动进行了研究 的应用，很多学者对稳态、不可压缩流体在可渗透壁 1980年，Ohki讨论了考虑壁面吸附喷注情况下， 面管道中的层流流动从不同的角度进行了研究，由 半无限长、轴向随时间变化而径向不变的圆形管道 于在脉动隔膜模型、蒸汽制冷或取暖、同位素分离、 中流体流动.后来，Goto等-摄动求解分析了壁 过滤、造纸、灌溉和固体推动器燃烧过程中的颗粒减 面随时间径向变化半无限长圆管的不可压缩流体的 面等各方面的应用)]，可变形壁面中的流动也逐 层流流动，Dauenhauer等门应用龙格一库塔方法和 渐引起了研究者的注意，对于可变形管道的研究， 打靶法相结合，数值计算了大的吸附、喷注雷诺数及 主要是壁面是否可随时间径向和轴向变化， 壁面膨胀对管道流动的影响，并且数值计算出当壁 1976年，Uchida等3]对壁面可径向收缩、不可渗透 面膨胀率与吸附雷诺数比值大于1时，发生回流现 收稿日期：2009-05一12 作者简介：司新辉(1978一)，男，博士研究生：郑连存(1956一)，男，教授，博士，Emal:liancunzheng@163.cmm
大吸附雷诺数下胀－缩壁面管道非稳态流动渐近求解 司新辉1） 郑连存1） 张欣欣2） 晁 莹3） 1） 北京科技大学应用科学学院北京100083 2） 北京科技大学机械工程学院北京100083 3） 中国人民解放军防化研究院北京102205 摘 要 研究了大吸附雷诺数下可渗透、膨胀或收缩的半无限长管道中的层流流动．采用自相似理论把描述该模型的 Navier－Stokes 方程转化成一个四阶的非线性微分方程．应用奇异摄动方法对该方程进行渐近求解．分析了不同的膨胀系 数、吸附雷诺数对管道流动的影响．壁面收缩时边界层变薄；壁面膨胀时边界层变厚；当膨胀率与雷诺数之比大于1时管 道流动出现回流． 关键词 非稳态流；管道流动；膨胀与收缩壁面；渐近解 分类号 O351∙2 Asymptotic solution for unsteady flow in expanding or contracting channels with large suction Reynolds SI Xin-hui 1）ZHENG Lian-cun 1）ZHA NG Xin-xin 2）CHA O Y ing 3） 1） School of Applied ScienceUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China 2） School of Mechanical EngineeringUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China 3） Chemical Defense Institute of PLABeijing102205China ABSTRACT An incompressible laminar flow in a sem-i infinite porous channel with expanding or contracting walls is considered． Following the self-similarity transformationthe Navier-Stokes equations are reduced to a fourth-order non-linear differential equation． T he resulting equation is then solved asymptotically for large suction Reynolds number．T he influences of expansion rate and Reynolds number on the fluid are obtained．When the wall contractsthe boundary layer becomes thinner；and when the wall expandsthe boundary layer becomes thicker．It appears that flow reversal begins when the ratio of expansion rate to suction Reynolds number exceeds1． KEY WORDS unsteady flow；pipe flow；expanding or contracting wall；asymptotic solution 收稿日期：2009－05－12 作者简介：司新辉（1978－）男博士研究生；郑连存（1956－）男教授博士E-mail：liancunzheng＠163．com 壁面可渗透的管道流动在生物物理中有着广泛 的应用很多学者对稳态、不可压缩流体在可渗透壁 面管道中的层流流动从不同的角度进行了研究．由 于在脉动隔膜模型、蒸汽制冷或取暖、同位素分离、 过滤、造纸、灌溉和固体推动器燃烧过程中的颗粒减 面等各方面的应用［1－2］可变形壁面中的流动也逐 渐引起了研究者的注意．对于可变形管道的研究 主要 是 壁 面 是 否 可 随 时 间 径 向 和 轴 向 变 化． 1976年Uchida 等［3］对壁面可径向收缩、不可渗透 管道内不可压缩流体的非稳态流动进行了研究． 1980年Ohki ［4］讨论了考虑壁面吸附喷注情况下 半无限长、轴向随时间变化而径向不变的圆形管道 中流体流动．后来Goto 等［5－6］ 摄动求解分析了壁 面随时间径向变化半无限长圆管的不可压缩流体的 层流流动．Dauenhauer 等［7］应用龙格－库塔方法和 打靶法相结合数值计算了大的吸附、喷注雷诺数及 壁面膨胀对管道流动的影响并且数值计算出当壁 面膨胀率与吸附雷诺数比值大于1时发生回流现 第31卷 第11期 2009年 11月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．31No．11 Nov．2009 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2009．11．036
.1464 北京科技大学学报 第31卷 象；但没有从解析解的角度对该问题进行讨论 引入流函数=a1xF(y,t),定义量纲1的 Majdalani等8应用奇异摄动方法，求出大的吸附、喷 变量y=y/a,方程(1)~(3)及其边界条件可变 注雷诺数下管道流动的相似解，其解是对Berman 换为： 等所作的工作的进一步推广，文献[9]分析了小壁 Fm十a(yFm+3Fw)+FFm- 面膨胀率和小雷诺数影响下，利用双参数摄动法，对 F,Fny-dv-Fo=0 (6) 该问题进行了分析.Boutros等1o应用李群变换，把 边界条件： 控制方程变成四阶常微分方程，应用摄动方法分析 了弱渗透雷诺数的管道流动.Asghar等山应用李 Fn(0)=0,F(0)=0,F,(1)=0,F(1)=R(7) 变换中的守恒定理主要从理论的角度对同样的问题 式中，R为渗透雷诺数，壁面渗透为喷注时R为正， 进行了分析 吸附时R为负 本文应用相似变换，把描述径向可伸缩的管道 把式(7)积分并对其余变量进行量纲1化处理： 中非稳态、不可压缩流体的Navier-Stokes方程变成 四阶非线性常微分方程，采用奇异摄动方法对化简 u一女=品=合F=骨 后的微分方程进行渐近匹配求解，并且分析了大吸 方程(6)及其边界条件(7)变成： 附雷诺数、壁面的膨胀、收缩对流体流动的影响 REm+Ra(yFxy+2F3)+ 1问题模型 FEx-(Fy)2-avEx=k (8) Fw(0)=0,F(0)=0,F,(1)=0,F(1)=1(9) 在半无限长的矩形管道内，y方向两平板间的 引入Uchida和Aoki)所描述的时间和空间上 距离为2α(t),远小于x轴方向长度.两壁面具有 的相似变换，即a为常数，F=F(y),Fn=0.方程 相同的渗透率vw,并且壁面随时间以速率a(t)移 (8)及边界条件(9)变成： 动.管道内沿x、y坐标轴方向方向的速度分量为 R-1F"+R-1a(yF"+2F')+FF”-(F')2=k u、v,如图1所示. (10) v=d F"(0)=0,F(0)=0,F'(1)=0,F(1)=1(11) 可知，当α=0时，即壁面没有扩张，这时方程 下=0 (l0)即为经典的Berman方程. 2渐近求解 =-艺=-Aà 在大吸附雷诺数情况下，R为负，方程(10)可 图1半无限长壁面可伸缩、渗透的管道示意图 以写为： Fig.I Two dimensional semiinfinite channel with expanding or F"+ea(yF"+2F'十(F')2-FF"=号(12) contracting porous walls 边界条件： 描述该流动模型的Navier Stokes方程为： F"(0)=0,F(0)=0,F'(1)=0,F(1)=1(13) u+32=0 ∂x∂y (1) 式中，e=-1/R,号=-k/R. 方程(12)、(13)是一个奇异边值问题，对该问题 +u+=-是+ 92 进行求解。本文采用内外解展开相匹配的方法， 首先把外解展开，假设 ++品+ a22a2 F=Ffo十ef1+e2F2十..= Γpay F:(y)e(14) (3) 月=0十1e十2E2+.= (15) 边界条件： u(x,a)=0,v(a)=-vw=-Aa, (4) 把式(14)、(15)带入式(12)，比较e所对应的系数 (x,0)=0,(0)=0,u(0,)=0. 可得： (5) F2-FoF6=品 (16) 式中，p、y和P分别为压强、动力黏性系数和密度： Fo+ayFo+2aFo+2 FoFi-FoFI-F1Fo=2 ao a A=vw/a为喷注系数，用来衡量壁面渗透率. (17)
象；但没有从解析解的角度对该问题进行讨论． Majdalani等［8］应用奇异摄动方法求出大的吸附、喷 注雷诺数下管道流动的相似解其解是对 Berman 等所作的工作的进一步推广．文献［9］分析了小壁 面膨胀率和小雷诺数影响下利用双参数摄动法对 该问题进行了分析．Boutros 等［10］应用李群变换把 控制方程变成四阶常微分方程应用摄动方法分析 了弱渗透雷诺数的管道流动．Asghar 等［11］ 应用李 变换中的守恒定理主要从理论的角度对同样的问题 进行了分析． 本文应用相似变换把描述径向可伸缩的管道 中非稳态、不可压缩流体的 Navier－Stokes 方程变成 四阶非线性常微分方程采用奇异摄动方法对化简 后的微分方程进行渐近匹配求解并且分析了大吸 附雷诺数、壁面的膨胀、收缩对流体流动的影响． 1 问题模型 在半无限长的矩形管道内y 方向两平板间的 距离为2a（ t）远小于 x 轴方向长度．两壁面具有 相同的渗透率 v w并且壁面随时间以速率 a · （ t）移 动．管道内沿 x、y 坐标轴方向方向的速度分量为 u、v．如图1所示． 图1 半无限长壁面可伸缩、渗透的管道示意图 Fig．1 Two-dimensional sem-i infinite channel with expanding or contracting porous walls 描述该流动模型的 Navier－Stokes 方程为： ∂u ∂x ＋ ∂v ∂y ＝0 （1） ∂u ∂t ＋ u ∂u ∂x ＋v ∂u ∂y ＝－ 1 ρ ∂p ∂x ＋ν ∂2u ∂x 2＋ ∂2u ∂y 2 （2） ∂v ∂t ＋ u ∂v ∂x ＋v ∂v ∂y ＝－ 1 ρ ∂p ∂y ＋ν ∂2v ∂x 2＋ ∂2v ∂y 2 （3） 边界条件： u（ xa）＝0v （ a）＝－v w＝－ A a · （4） ∂u ∂y （ x0）＝0v （0）＝0u（0y）＝0． （5） 式中p、ν和ρ分别为压强、动力黏性系数和密度； A＝v w／a ·为喷注系数用来衡量壁面渗透率． 引入流函数 ψ＝νa －1 x F（ yt）定义量纲1的 变量 y ＝ y／a方程（1）～（3）及其边界条件可变 换为： Fyyy＋α（ yFyyy＋3Fyy）＋F Fyyy－ FyFyyy－ a 2ν－1Fyyt＝0 （6） 边界条件： Fyy（0）＝0F（0）＝0Fy（1）＝0F（1）＝ R （7） 式中R 为渗透雷诺数壁面渗透为喷注时 R 为正 吸附时 R 为负． 把式（7）积分并对其余变量进行量纲1化处理： u＝ u v w v＝ v v w x＝ x a F＝ F R ． 方程（6）及其边界条件（7）变成： R －1Fyyy＋ R －1α（ yFyy＋2Fy）＋ FFyy－（Fy） 2－ a 2ν－1Fyt＝k （8） Fyy（0）＝0F（0）＝0Fy（1）＝0F（1）＝1 （9） 引入 Uchida 和 Aoki ［3］所描述的时间和空间上 的相似变换即 α为常数F＝F（ y）Fyyt＝0．方程 （8）及边界条件（9）变成： R －1F●＋ R －1α（ yF″＋2F′）＋FF″－（F′） 2＝k （10） F″（0）＝0F（0）＝0F′（1）＝0F（1）＝1（11） 可知当 α＝0时即壁面没有扩张这时方程 （10）即为经典的 Berman 方程． 2 渐近求解 在大吸附雷诺数情况下R 为负方程（10）可 以写为： εF●＋εα（ yF″＋2F′）＋（F′） 2－FF″＝β2 0 （12） 边界条件： F″（0）＝0F（0）＝0F′（1）＝0F（1）＝1（13） 式中ε＝－1／Rβ2 0＝－k／R． 方程（12）、（13）是一个奇异边值问题对该问题 进行求解．本文采用内外解展开相匹配的方法． 首先把外解展开假设 F＝F0＋εF1＋ε2F2＋…＝ ∑ ∞ i＝0 Fi（ y）εi （14） β0＝α0＋α1ε＋α2ε2＋…＝ ∑ ∞ i＝0 αεi i （15） 把式（14）、（15）带入式（12）比较 εr 所对应的系数 可得： F′0 2－F0F″0＝α2 0 （16） F●0＋αyF″0＋2αF′0＋2F′0F′1－F0F″1－F1F″0＝2α0α1 （17） ·1464· 北 京 科 技 大 学 学 报 第31卷
第11期 司新辉等：大吸附雷诺数下胀缩壁面管道非稳态流动渐近求解 ,1465. F1+ayF1+2aFi+F12+2F0F2- 一致，则该方程的一致有效解为： FoF2-F1F1-F2 Fo=2 ao az+ai (18) =y+,+4+o-。[-列+ * 边界条件： (a+3)(1-y)e+(4+a)e2+g (34) F:(0)=0,(0)=0,i=0,1,… (19) 作内解展开时，首先对黏性边界层作拉伸变换， 3结果分析 令 图2、图3可以明显看出：相同的雷诺下，当α< 1一y=e (20) 0,即壁面在收缩的时候，y轴方向速度变化更快，说 式(12)及其边界条件式(13)变成： 明这时边界层变薄；反之，当α>0，即壁面在扩张的 F"-ea[(1-e)F”-2eF]-(F')2+FF"=-隅e2 时候，y轴方向速度变化变缓，边界层变厚.而且在 (21) 图中可以明显看出，在边界层区域外，速度基本保持 边界条件： 不变，体现了很强的线形性·这一点与文献[7]和 F(0)=1,F(0)=0 (22) [12]中的结论一致， 因为内解必须满足F(O)=1,设内解的摄动展 1.0 开式为： 0.8 R=-60 F(列=1+2f.(0e (23) 064 ·a=-20 -a=-10 ·a=0 把式(23)代入式(21)，可得下列关系式， 0.4 +a=10 fi+fi=0 02 -=20 (24) f2+f=-喝-f1fi+f2+时1 (25) 0.800.840.880.920.961.00 ∫，()应该满足的边界条件为： 图2R=-60,a=一20，一10,0.10,20对应的y轴方向速度 f(0)=0,f(0)=0,r=1,2,… (26) Fig.2 Velocity in yaxial direction for R=-60 as a=-20. 内解展开前两项为： -10,0,10,and20 F()=1+Ae(T-1十e") (27) 1.0F 外解以内解变量展开： F=0y十e(a一a)y= 0.8 R=-50 -a=-20 十E(a1一a-0)一e2(41一am)7(28) 0.6 -x=-10 04 ·a=0 令门十∞，内解、外解进行匹配，得： -a=10 一a=20 0=1,A=一1，a1=a十1 (29) 0.2 通过类似的步骤可以计算Fz(y),fz(): 86 0.7 . 0.9 1.0 F2=(4+a)y (30) y 是+a叶3叶4+ge9-什4+a 图3R=一50，a=一20，一10,0,10.20对应的y轴方向速度 f2=- Fig.3 Velocity in yaxial direction for R=-50 as a=-20. (31) -10,0,10,and20 这样方程所对应的外解、内解分别如下， 从图4可知：在大吸附雷诺数下，壁面的膨胀、 外解为： 收缩系数越小，对流体的边界层厚度影响越小；而且 F=y+(a+1)ye+(4+a)ye2 (32) 雷诺数越大，边界层越薄，这和边界层理论相吻合， 内解为： 从图5可以看出：在大吸附雷诺数下，管道流动对壁 p=1--1+et[-2+t 面膨胀率敏感性较强；当膨胀、收缩率的绝对值 3叶4+。e-叶4+e 片≥1时，即壁面膨胀率相对于雷诺数较大，在管 (33) 道封闭的端口附近造成流体质量迅速流失，管道中 若a=0,此结果与Robinson]所求得的结果保持 的流体出现回流
F●1＋αyF″1＋2αF′1＋F′1 2＋2F′0F′2－ F0F″2－F1F″1－F2F″0＝2α0α2＋α2 1 （18） …… 边界条件： Fi（0）＝0F″i（0）＝0i＝01… （19） 作内解展开时首先对黏性边界层作拉伸变换 令 1－y＝εη （20） 式（12）及其边界条件式（13）变成： F●－εα［（1－εη）F″－2εF］－（F′） 2＋FF″＝－β2 0ε2 （21） 边界条件： F（0）＝1F′（0）＝0 （22） 因为内解必须满足 F（0）＝1设内解的摄动展 开式为： F（η）＝1＋ ∑ ∞ r＝1 f r（η）εr （23） 把式（23）代入式（21）可得下列关系式 f●1＋ f″1＝0 （24） f●2＋ f″2＝－α2 0－ f1f″1＋ f′1 2＋αf″1 （25） …… f r（η）应该满足的边界条件为： f r（0）＝0f′r（0）＝0r＝12… （26） 内解展开前两项为： F（η）＝1＋ Aε（η－1＋e －η） （27） 外解以内解变量展开： F＝α0y＋ε（α1－α） y＝ α0＋ε（α1－α－α0η）－ε2（α1－α）η （28） 令 η→＋∞内解、外解进行匹配得： α0＝1A＝－1α1＝α＋1 （29） 通过类似的步骤可以计算 F2（ y）f2（η）： F2＝（4＋α） y （30） f2＝－ 1 2 η2＋αη＋3η＋4＋α e －η－η＋4＋α （31） 这样方程所对应的外解、内解分别如下． 外解为： F＝y＋（α＋1） yε＋（4＋α） yε2 （32） 内解为： F＝1－ε（η－1＋e －η ）＋ － 1 2 η2＋αη＋ 3η＋4＋α e －η－η＋4＋αε2 （33） 若 α＝0此结果与 Robinson ［12］所求得的结果保持 一致则该方程的一致有效解为： F＝y＋yε＋（4＋α） yε2－e － 1－y ε 1 2 （1－y） 2＋ （α＋3）（1－y）ε＋（4＋α）ε2＋ε （34） 3 结果分析 图2、图3可以明显看出：相同的雷诺下当α＜ 0即壁面在收缩的时候y 轴方向速度变化更快说 明这时边界层变薄；反之当 α＞0即壁面在扩张的 时候y 轴方向速度变化变缓边界层变厚．而且在 图中可以明显看出在边界层区域外速度基本保持 不变体现了很强的线形性．这一点与文献 ［7］ 和 ［12］中的结论一致． 图2 R＝－60α＝－20－1001020对应的 y 轴方向速度 Fig．2 Velocity in y-axial direction for R ＝ －60 as α＝ －20 －10010and20 图3 R＝－50α＝－20－1001020对应的 y 轴方向速度 Fig．3 Velocity in y-axial direction for R ＝ －50 as α＝ －20 －10010and20 从图4可知：在大吸附雷诺数下壁面的膨胀、 收缩系数越小对流体的边界层厚度影响越小；而且 雷诺数越大边界层越薄这和边界层理论相吻合． 从图5可以看出：在大吸附雷诺数下管道流动对壁 面膨胀率敏感性较强；当膨胀、收缩率的绝对值 α R ≥1时即壁面膨胀率相对于雷诺数较大在管 道封闭的端口附近造成流体质量迅速流失管道中 的流体出现回流． 第11期 司新辉等： 大吸附雷诺数下胀－缩壁面管道非稳态流动渐近求解 ·1465·
,1466 北京科技大学学报 第31卷 1.0 参考文献 0.8 …a=-20.R-50 [1]Magdalani J.Vyas A B.Flandro G A,et al.Higher mean flow -x=20,R-50 approximation for solid rocket motors with radically regressing 0.6 ·x=0,R-50 -a=-20,R=-100 was.A1AAJ,2002,40(9):1780 0.4 -a=20,R=-100 [2]Bujurke N M.Pai N P,Jayaraman G,et al.Computer extended ·a=0,R-100 series solution for unsteady flow in a contracting or expanding 0.2 pipe.IMAJ Appl Math.1998.60(2):151 8.750.800.850.900.9510 [3]Uchida S.Aoki H.Unsteady flows in a semiinfinite contracting 19 or expanding pipe.JFluid Mech.1977.82(2):371 图4a=-20,20,0,R=一50，一100时y轴方向速度 [4]Ohki M.Unsteady flows in a porous,elastic,circular tube-1 the Fig.4 Velocity in y axial direction for R=-50 and -100 as a= wall contracting or expanding in an axial direction.Bull SME, -20,20,0 1980,23.679 [5]Goto M,Uchida S.Unsteady flow in a semiinfinite expanding 1.2r pipe with injection through wall.Trans pn Soc Aeronau Space 1.0 Sci,1990,33(9):14 0.8 [6]Goto M.Uchida S.Unsteady flow in a semiinfinite contracting R--50 06 -a=-60 or expanding pipe with a porous wall/Proceedings of the 40th -0-50 守0.4 Japan National Congress Applied Mechanics NCTAM-40.Tokyo: ·a=0 0.2 +x=50 Japan National Congress for Applied Mechanics,1990:163 -a=60 [7]Dauenhauer E C.Majdalani J.Exact self-similarity solution of the 0 0.800.840.880.920.961.00 NavierStokes equations for a porous channel with orthogonally moving walls.Phys Fluids.2003,15:1485 [8]Majdalani J.Zhou C.Moderate to-large injection and suction 图5 R≥1时的y轴方向速度 driven channel flows with expanding or contracting walls.ZA MM Z Angew Math Mech.2003.83:181 ig-5 Velocity in yaxial direction as [9]Majdalani J.Zhou C.Dawson C A.Two-dimensional viscous flow between slowly expanding or contracting walls with weak permeability.JBiomech,2002.35:1399 4结论 [10]Boutros YZ.Abd-el-Malek M B.Badran N A.et al.Liegroup method solution for two-dimensional viscous flow between slowly 本文应用相似变换，把描述壁面膨胀、渗透管道 expanding or contracting walls with weak permeability.Appl 层流问题的Navier-Stokes方程变成含有膨胀系数 Math Modelling.2007.31:1092 的四阶非线性微分方程，内外解相匹配，求出大吸附 [11]Asghar S,Mushtaq M.Kara A H.et al.Exact solutions using 雷诺数下精确的相似解。雷诺数越大，边界层越薄. symmetry methods and conservation laws for the viscous flow through expanding contracting channels.Appl Math Mod- 膨胀系数与雷诺数之比绝对值越小，对边界层的厚 elling,2008,32(12):2936 度影响越小；反之，则对边界层厚度影响越大，而且 [12]Robinson W A.The existence of multiple solutions for the lami- 当骨≥1，流体出现回流， nar flow in a uniformly porous channel with suction at both walls.J Eng Math,1976.10:23
图4 α＝－20200R＝－50－100时 y 轴方向速度 Fig．4 Velocity in y-axial direction for R＝－50and －100as α＝ －20200 图5 α R ≥1时的 y 轴方向速度 Fig．5 Velocity in y-axial direction as α R ≥1 4 结论 本文应用相似变换把描述壁面膨胀、渗透管道 层流问题的 Navier－Stokes 方程变成含有膨胀系数 的四阶非线性微分方程内外解相匹配求出大吸附 雷诺数下精确的相似解．雷诺数越大边界层越薄． 膨胀系数与雷诺数之比绝对值越小对边界层的厚 度影响越小；反之则对边界层厚度影响越大而且 当 α R ≥1流体出现回流． 参 考 文 献 ［1］ Magdalani JVyas A BFlandro G Aet al．Higher mean-flow approximation for solid rocket motors with radically regressing walls．AIA A J200240（9）：1780 ［2］ Bujurke N MPai N PJayaraman Get al．Computer extended series solution for unsteady flow in a contracting or expanding pipe．IMAJ Appl Math199860（2）：151 ［3］ Uchida SAoki H．Unsteady flows in a sem-i infinite contracting or expanding pipe．J Fluid Mech197782（2）：371 ［4］ Ohki M．Unsteady flows in a porouselasticcircular tube-1the wall contracting or expanding in an axial direction．Bull JSME 198023：679 ［5］ Goto MUchida S．Unsteady flow in a sem-i infinite expanding pipe with injection through wall．T rans Jpn Soc Aeronaut Space Sci199033（9）：14 ［6］ Goto MUchida S．Unsteady flow in a sem-i infinite contracting or expanding pipe with a porous wall∥ Proceedings of the 40th Japan National Congress Applied Mechanics NCTA M-40．Tokyo： Japan National Congress for Applied Mechanics1990：163 ［7］ Dauenhauer E CMajdalani J．Exact self-similarity solution of the Navie-r Stokes equations for a porous channel with orthogonally moving walls．Phys Fluids200315：1485 ［8］ Majdalani JZhou C． Moderate-to-large injection and suction driven channel flows with expanding or contracting walls．ZA MM Z A ngew Math Mech200383：181 ［9］ Majdalani JZhou CDawson C A．Two-dimensional viscous flow between slowly expanding or contracting walls with weak permeability．J Biomech200235：1399 ［10］ Boutros Y ZAbd-e-l Malek M BBadran N Aet al．Lie-group method solution for two-dimensional viscous flow between slowly expanding or contracting walls with weak permeability． Appl Math Modelling200731：1092 ［11］ Asghar SMushtaq MKara A Het al．Exact solutions using symmetry methods and conservation laws for the viscous flow through expanding-contracting channels． Appl Math Modelling200832（12）：2936 ［12］ Robinson W A．The existence of multiple solutions for the laminar flow in a uniformly porous channel with suction at both walls．J Eng Math197610：23 ·1466· 北 京 科 技 大 学 学 报 第31卷