概率纶与款理统外 第四节 区间估计 一、区间估计的基本概念 二、典型例题
第四节 区间估计 一、区间估计的基本概念 二、典型例题
一、区间估计的基本概念 概率纶与款理统外 1.置信区间的定义 设总体X的分布函数F(x;)含有一个未知参 数0，对于给定值a(0<<1),若由样本X1,X2,., X确定的两个统计量 日=(X1,X2,.,Xn)和阳=0(X1,X2,.,Xn)满足 P{Q(X1,X2,.,Xn)<0<0(X1,X2,.,Xm)}=1-a, 则称随机区间(0,0)是θ的置信水平为1-α的置信区 间，0和分别称为置信水平为1-α的双侧置信区间 的置信下限和置信上限，1-为置信水平
一、区间估计的基本概念 1. 置信区间的定义 { ( , , , ) ( , , , )} 1 , ( , , , ) ( , , , ) , (0 1), , , , ( ; ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 = − = = n n n n n P X X X X X X X X X X X X X X X X F x 和 满 足 确定的两个统计量 数 对于给定值 若由样本 设总体 的分布函数 含有一个未知参 ,1 . , 1 ( , ) 1 的置信下限和置信上限 为置信水平 间 和 分别称为置信水平为 的双侧置信区间 则称随机区间 是 的置信水平为 的置信区 − − −
概率伦与款理统外 关于定义的说明 被估计的参数虽然未知，但它是一个常数， 没有随机性，而区间（θ，）是随机的. 因此定义中下表达式 P{0(X1,X2,.,Xn)<0<0(X1,X2,.,Xn}=1-a 的本质是： 随机区间(0,0)以1-o的概率包含着参数的真值， 而不能说参数以1-a的概率落入随机区间（但，0）
关于定义的说明 , ( , ) . , , 没有随机性 而区间 是随机的 被估计的参数 虽然未知 但它是一个常数 : { ( , , , ) ( , , , )} 1 1 2 1 2 的本质是 因此定义中下表达式 P X X Xn X X Xn = − 1 ( , ). ( , ) 1 , 而不能说参数 以 的概率落入随机区间 随机区间 以 的概率包含着参数 的真值 − −
2.求置信区间的一般步骤（共3步） 概率纶与款理统外 ()寻求一个样本X1,X2,Xn的函数： Z=Z(X1,X2,.,Xm0) 其中仅包含待估参数0，并且Z的分布已知 且不依赖于任何未知参数（包括0）. (2)对于给定的置信水平1-心，定出两个常数a,b, 使P{a<Z(X1,X2,.,Xn;0)<b}=1-. (3)从a<Z(X,X2,.,XmO)<b得到等价的 不等式0<0<0，其中 0=0(X1,X2,.,Xn),日=(X,X2.,Xn) ④
2. 求置信区间的一般步骤(共3步) ( ). , ( , , , ; ) (1) , , , : 1 2 1 2 且不依赖于任何未知参数 包 括 其中仅包含待估参数 并 且 的分布已知 寻求一个样本 的函数 Z Z Z X X X X X X n n = { ( , , , ; ) } 1 . (2) 1 , , , 1 2 = − − P a Z X X X b a b 使 n 对于给定的置信水平 定出两个常数 ( , , , ), ( , , , ) , (3) ( , , , ; ) 1 2 1 2 1 2 n n n X X X X X X a Z X X X b = = 不等式 其中 从 得到等价的
概率纶与款理统外 二、典型例题 例1设X1,X2,Xn是来自正态总体N(4,o2) 的样本，其中o2为已知，u为未知，求的置信水平 为1-au的置信区间. 解因为又是μ的无偏估计， 且0= X-'-N0,1 oI/n Y-严N(O,1)是不依赖于任何未知参数的， oln
解 1 . , , , , , , ( , ) 2 2 1 2 为 的置信区间 的样本 其中 为已知 为未知 求 的置信水平 设 是来自正态总体 − X X Xn N 因为 X 是 的无偏估计, ~ (0,1), / N n X U − 且 = ~ (0,1) , / N 是不依赖于任何未知参数的 n X − 例1 二、典型例题