中国科学技术大学：《计算方法》课程教学资源（课件讲稿）第一章 插值（主讲：傅孝明）

多项式插值的Lagrange形式 1958 取Φ=Pn（x)=pan{L,x,x2,…x"},有 Xo x =Π(x-x)≠0 0≤j<isn n ■ 插值问题的解车在义难一 Vandermonde行列式 病态矩阵，不适于直接求解 6

¡ 取 ，有 ¡ 插值问题的解存在且唯一 6 2 P ( ) span{1, , , } n n   x  x x x   0 0 1 1 0 1 1 0 1 n n i j j i n n n n x x x x x x x x               Vandermonde行列式 病态矩阵，不适于直接求解

多项式插值的Lagrange:形式 如何选取中=Pn(x)=span{L,x,x2,…x")的另一组基，使 得插值问题便于求解？ ■Lagrange.基函数{(x)}ocPn(x)满足 ./u. 7

¡ 如何选取 的另一组基，使 得插值问题便于求解？ ¡ Lagrange基函数 满足 7 2 P ( ) span{1, , , } n n   x  x x x 0 { ( )} ( ) n i i n l x x    1, ( ) , , 0,1, , 0, i j ij i j l x i j n i j           

多项式插值的Lagrange形式 ■线性插值公式 ,(x)=X-,1()=- X0-x1 X1-X0 L(x)=f(xo)(x)+f(x)4 (x) >x 8

¡ 线性插值公式 8 o x y 0 0 (x , y ) 1 1 (x , y ) 1 0 0 1 0 1 1 0 ( ) , ( ) x x x x l x l x x x x x       1 0 0 1 1 L (x)  f (x )l (x)  f (x )l (x)

多项式插值的Lagrange:形式 1(误差估计)设L(x)为以(xo,f(x),(x,f(x)为插值点 的插值函数，xo,x,∈[a,b],x≠x1·设f(x)一阶连续可导 )f(x)在(a,b)上存在，则对任意给定的xe[a,b],重少 存在一点5x∈(a,b),使得 B)-FG)()).s(o.) 2! 9

¡ （误差估计）设 为以 为插值点 的插值函数， . 设 一阶连续可导 ， 在 上存在，则对任意给定的 ，至少 存在一点 ，使得 9 1 L (x) 0 0 1 1 (x , f (x )), (x , f (x )) 0 1 0 1 x , x [a,b], x  x f (x) '' f (x) (a,b) x [a,b] ( , ) x   a b '' 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), ( , ) 2! x x f R x f x L x x x x x a b        

多项式插值的Lagrange形式 ·二次插值公式 田--巴-x-=-少 (x-x)(x-x2) (x1-)x1-x2) (x2-x)x2-x)） L2(x)=f(xo)(x)+f(x)(x)+f(x)2(x) ■误差估计公式 --● R(x)=f(x)-L2(x) (x2,2) (x,) -fP52(-xx-xXx-3,为 31 其中5∈(a,b) (x,%) >x 10

¡ 二次插值公式 ¡ 误差估计公式 其中 10 o x y 0 0 (x , y ) 1 1 (x , y ) 1 2 0 2 0 1 0 1 2 0 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) , ( ) , ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) x x x x x x x x x x x x l x l x l x x x x x x x x x x x x x                2 0 0 1 1 1 2 L (x)  f (x )l (x)  f (x )l (x)  f (x )l (x) 2 2 (x , y ) 2 2 (3) 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ), 3! x R x f x L x f x x x x x x        ( , ) x   a b