y 为了讨论Brown运动的路径性质，首先给出二次变差 的定义 定义7.1.3 Brown运动的二次变差[B,B](t)定义为 当{t)o遍取[0，t的分割，且其模dm=max0<i<n-1(t经+1一 t)→0时，依概率收敛意义下的极限 m-1 [B,B](t)=[B,B]([0,])=lim >B()-B(t2)2 12/59 6n0 =0 (7.1.5) GoBack FullScreen Close Quit
12/59 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit è ?ÿBrown$ƒ¥ª5ü߃kâ—gC ½¬. ½¬ 7.1.3 Brown$ƒgC [B, B](t) ½¬è {t n i } n i=0H[0, t]©ßÖŸ δn = max0≤i≤n−1(t n i+1 − t n i ) → 0 ûßùV«¬Òø¬e4Å [B, B](t) = [B, B]([0, t]) = limδn→0 X n−1 i=0 |B(t n i+1) − B(t n i )| 2 (7.1.5)
y 下面是Brown运动的路径性质.从时刻O到时刻T对 Brown运动的一次观察称为Brown运动在区间[O,T]上的一 个路径或一个实现.Brown:运动的几乎所有样本路径B(t),0≤ t≤T都具有下述性质： (1)是t的连续函数 (2)在任意区间（无论区间多么小）上都不是单调的： (3)在任意点都不是可微的； 13/59 (4)在任意区间（无论区间多么小）上都是无限变差的； (5)对任意t,在[0，t上的二次变差等于t. 上述性质(1)(3)不难理解，(4)可以从(5)得到（留作 习题) GoBack FullScreen Close Quit
13/59 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit e°¥Brown$ƒ¥ª5ü.lûè0ûèTÈ Brown$ƒòg* °èBrown$ƒ3´m[0, T]˛ò ᥪ½òá¢y. Brown$ƒA§k ¥ªB(t), 0 ≤ t ≤ T—‰ke„5üµ (1) ¥tÎYºÍ¶ (2) 3?ø´m(Ãÿ´mıo)˛—ÿ¥¸N; (3) 3?ø:—ÿ¥åᶠ(4) 3?ø´m(Ãÿ´mıo)˛—¥ÃÅC ; (5) È?øtß3[0, t]˛gC ut. ˛„5ü(1)∼(3)ÿJn)ß(4)å±l(5)(3ä SK).
定理7.1.1[B,B](t)=t. 证明：取区间[0，t的分割{t}o使得∑m6n<oo.记 m-1 Sn=>[B(t+1)-B()]2 i=0 则 m-1 E[Sn]=】 E[B(+1)-B(gI2=∑(1-)=t 14/59 i=0 再由标准正态分布的四阶矩公式，得 m-1 m-1 Var[Sn]=Var[∑(B(t41)-B(t)]=∑Var[(B(+1）-B(t) i=0 i=0 m-1 ∑3(t+1-t)2≤3max(t+1-t)t=3tdm =】 i=0 GoBack FullScreen Close Quit
14/59 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ½n 7.1.1 [B, B](t) = t. y²µ´m[0, t]©{t n i } n i=0¶ P n δn < ∞.P Sn = X n−1 i=0 [B(t n i+1) − B(t n i )]2 K E[Sn] = X n−1 i=0 E[B(t n i+1) − B(t n i )]2 = X n−1 i=1 (t n i+1 − t n i ) = t 2dIO©Ÿo ›˙™ß V ar[Sn] = V ar[ X n−1 i=0 (B(t n i+1) − B(t n i ))2 ] = X n−1 i=0 V ar[(B(t n i+1) − B(t n i ))2 ] = X n−1 i=0 3(t n i+1 − t n i ) 2 ≤ 3 max(t n i+1 − t n i )t = 3tδn
所以 ∞ 花 Var[Sn]<oo n=1 由单调收敛定理，得 2-例 E 15/59 因此∑21(Sn-t)2<∞，a.s,于是有Sn-t→0，a.s, 故[B,B](t)=t. GoBack FullScreen Close Quit
15/59 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit §± X ∞ n=1 V ar[Sn] < ∞ d¸N¬Ò½nß E "X ∞ n=1 (Sn − t) 2 # < ∞ œd P∞ n=1(Sn − t) 2 < ∞, a.s.ßu¥kSn − t → 0, a.s.ß [B, B](t) = t
§7.2 Gauss过程 花 所谓Gauss过程是指所有有限维分布都是多元正态分 布的随机过程.本节的主要目的是证明Brown运动是特殊 的Gauss过程.首先，利用命题1.3.2容易证明下面引理 引理7.2.1设X~N(u1,o),Y~N(2,o)是相 互独立的，则(（X,X+Y)心N(μ，).其中均值μ= 16/59 (1,山1十2)'，协方差矩阵∑ 1 +吃 GoBack FullScreen Close Quit
16/59 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit §7.2 GaussLß §¢GaussLߥç§kkÅë©Ÿ—¥ı© ŸëÅLß. !Ãá8¥y²Brown$ƒ¥Aœ GaussLß.ƒkß|^·K1.3.2N¥y²e°⁄n. ⁄n 7.2.1 X ∼ N(µ1, σ2 1 ), Y ∼ N(µ2, σ2 2 )¥É p’·ßK (X, X + Y ) ∼ N(µ, Σ). Ÿ•˛äµ = (µ1, µ1 + µ2) 0 ßê › Σ = σ 2 1 σ 2 1 σ 2 1 σ 2 1 + σ 2 2 !