第2章随机过程的基本概念与类型 ·2.1基本概念 2/28 2.2有限维分布与Kolmogorov定理 ·2.3随机过程的基本类型 GoBack FullScreen Close Quit
2/28 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit 12Ÿ ëÅL߃ VgÜa. • 2.1 ƒ Vg • 2.2 kÅë©ŸÜKolmogorov½n • 2.3 ëÅL߃ a
82.1 基本概念 定义2.1.1随机过程是概率空间(2，F,P)上的一族 随机变量{X(t),t∈T},其中t是参数，它属于某个指标 集T,T称为参数集. 注： ●当T={0,1,2,…}时称之为随机序列或时间序列 3/28 ●随机过程{X(t,w),t∈T,w∈2}是定义在T×2上的二 元函数 ·参数空间T是向量集合时，随机过程{X(t),v∈T称为 随机场 随机过程的分类：(1)X(t)表示系统在时刻t所处的状 态. GoBack FullScreen Close Quit
3/28 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit §2.1 ƒ Vg ½¬ 2.1.1 ëÅLߥV«òm(Ω, F, P)˛òx ëÅC˛{X(t), t ∈ T}ߟ•t¥ÎÍßß·u,áçI 8T, T°èÎÍ8. 5µ • T = {0, 1, 2, · · · } û°ÉèëÅS½ûmS. • ëÅLß{X(t, ω), t ∈ T, ω ∈ Ω}¥½¬3T × Ω˛ ºÍ. • ÎÍòmT ¥ï˛8‹ûßëÅLß{X(t), v ∈ T}°è ëÅ|. ëÅLß©a: £1§X(t)L´X⁄3ûèt§?G .
(2)X(t)的所有可能状态构成的集合为状态空间，记为S. (3)依照状态空间可分为连续状态和离散状态； (4)依照参数集，可分为离散参数过程和连续参数过程 4/28 注：一般如果不作说明都认为状态空间是实数集R或R的 子集。 例2.1.1（随机游动）一个醉汉在路上行走，以概 率p前进一步，以概率1一p后退一步（假定其步长相同） 以X(t)记他在路上的位置，则X(t)就是直线上的随机游动， 例2.1.2(Brown运动)英国植物学家Brown注意到 GoBack FullScreen Close Quit
4/28 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit £2§X(t)§kåUG§8‹èGòmßPèS. £3§ùÏGòmå©èÎYG⁄l—G¶ £4§ùÏÎÍ8ßå©èl—ÎÍLß⁄ÎYÎÍLß. 5µòÑXJÿä`²—@èGòm¥¢Í8R½R f8. ~ 2.1.1 £ëÅiƒ§òáÄ«3¥˛1rß±V «pc?ò⁄ß±V«1 − pÚò⁄£b½Ÿ⁄É”§. ±X(t)P¶3¥˛†òßKX(t)“¥ÜDzëÅiƒ. ~ 2.1.2 (Brown$ƒ) =Iá‘Æ[Brown5ø
飘浮在液面上的微小粒子不断进行无规则的运动，这种运 动后来称为Brown运动.它是分子大量随机碰撞的结果.若 记(X(t),Y(t)为粒子在平面坐标上的位置，则它是平面上 的Brown运动. 例2.1.3 (排队模型)顾客来到服务站要求服务，当 服务站中的服务员都忙碌，即服务员都在为别的顾客服 务时，来到的顾客就要排队等候.顾客的到来、每个顾客 5/28 所需的服务时间都是随机的，所以如果用X(t)表示t时刻 的队长，用Y(t)表示t时刻到来的顾客所需的等待时间， 则{X(t),t∈T},{Y(t),t∈T}都是随机过程. GoBack FullScreen Close Quit
5/28 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit £23ó°˛á‚fÿ‰?1Ã5K$ƒ, ˘´$ ƒ5°èBrown$ƒ. ߥ©få˛ëÅ-E(J.e P(X(t), Y (t))è‚f3²°ãI˛†òßKߥ²°˛ Brown$ƒ. ~ 2.1.3 £¸Ë .§ê5—÷’ᶗ÷. —÷’•—÷ —a²ß=—÷ —3èOê— ÷ûß5ê“á¸Ë ˇ. ê5!záê §I—÷ûm—¥ëÅߧ±XJ^X(t)L´tûè Ëß^ Y (t)L´tûè5ê§I ñûmß K{X(t), t ∈ T}, {Y (t), t ∈ T}—¥ëÅLß.
§2.2 有限维分布与Kolmogorov.定理 花 定义2.2.1对任意有限个t1,·,tn∈T,定义随机过 程的n维分布，，tn(c1,·,xn): ,,tn(c1,…,cn）=P(X(t1)≤c1,·,X(tn)≤xn. 随机过程的所有的一维分布，二维分布，··，维分布等等 6/28 的全体 {F,tn(c1,…,xn),t,…,tn∈T,n≥1} 称为随机过程{X(t),t∈T}的有限分布族 注：知道了随机过程的有限维分布就知道了{X(t),t∈ T}中任意个随机变量的联合分布.也就掌握了这些随机变 GoBack 量之间的相互依赖关系， FullScreen Close Quit
6/28 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit §2.2 kÅë©ŸÜKolmogorov½n ½¬ 2.2.1 È?økÅát1, · · · , tn ∈ Tß½¬ëÅL ßnë©Ÿ Ft1,··· ,tn (x1, · · · , xn)µ Ft1,··· ,tn (x1, · · · , xn) = P(X(t1) ≤ x1, · · · , X(tn) ≤ xn). ëÅLߧkòë©Ÿßë©Ÿß· · · , në©Ÿ N {Ft1,··· ,tn (x1, · · · , xn), t1, · · · , tn ∈ T, n ≥ 1} °èëÅLß{X(t), t ∈ T}kÅ©Ÿx. 5µ ëÅLßkÅë©Ÿ“ {X(t), t ∈ T}•?ønáëÅC˛È‹©Ÿ. è“›º ˘ ëÅC ˛ÉmÉpù6'X