白 第7章Brown运动 7.1基本概念与性质 ·7.2 Gauss:过程 2/59 7.3 Brown运动的鞅性质 ·7.4 Brown运动的Markov性 7.5 Brown运动的最大值变量及反正弦律 7.6 Brown运动的几种变化 ·7.7高维Brown运动 GoBack FullScreen Close Quit
2/59 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit 17Ÿ Brown$ƒ • 7.1 ƒ VgÜ5ü • 7.2 GaussLß • 7.3 Brown$ƒ5ü • 7.4 Brown$ƒMarkov5 • 7.5 Brown$ƒÅåäC˛9áuÆ • 7.6 Brown$ƒA´Cz • 7.7 pëBrown$ƒ
§7.1 基本概念与性质 我们从讨论简单的随机游动开始.设有一个粒子在直线 上随机游动，在每个单位时间内等可能地向左或向右移动一 个单位的长度.现在加速这个过程，在越来越小的时间间隔 中走越来越小的步子.若能以正确的方式趋于极限，我们就 得到Brown:运动.详细地说就是令此过程每隔△t时间等概率 地向左或向右移动△x的距离.如果以X(t)记时刻t粒子的位 置，则 X(t)=△x(X1+·+Xt/△t) (7.1.1) 其中[t/△表示t/△t的整数部分，其中 如果第步向右 Xi= +1, ,如果第步向左
§7.1 ƒ VgÜ5ü ·Çl?ÿ{¸ëÅiƒm©.kòá‚f3ÜÇ ˛ëÅiƒß3zḆûmS åU/ïܽïm£ƒò Ḇ›. y3\Ñ˘áLßß35ûmmÖ •r5⁄f.eU±(ê™™u4Åß·Ç“ Brown$ƒ.ç[/`“¥-dLßzÖ∆tûm V« /ïܽïm£ƒ∆xÂl.XJ±X(t)Pûèt‚f† òßK X(t) = ∆x(X1 + · · · + X[t/∆t]) (7.1.1) Ÿ•[t/∆t]L´t/∆tÍ‹©ßŸ• Xi = ( +1, XJ1i⁄ïm −1, XJ1i⁄ïÜ
y 且假设诸X;相互独立 1 P{Xi=1}=P{X=-1} 2 由于E[X=0,Var[Xd=E[X]=1及(7.1.1)， 我们有 E[X(t)]=0,Var[X(t)]=(△x)[t/△t.现在要令△x和△t趋 于零，并使得极限有意义.如果取△x=△t,令△t→0， 则var[X(t)]→0，从而X(t)=0,a.s如果取△t=（(△c)3, 4/59 则Var[X(t)】→o,这是不合理的.因为粒子的运动是连 续的，不可能在很短时间内远离出发点.因此，我们作下面 的假设：令△x=σ√公t,σ为某个正常数，从上面的讨论 可见，当△t→0时，E[X(t)]=0,Var[X(t)]→o2t. GoBack FullScreen Close Quit
4/59 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ÖbÃXiÉp’· P{Xi = 1} = P{Xi = −1} = 1 2 duE[Xi] = 0, V ar[Xi] = E[X2 i ] = 19(7.1.1)ß·Çk E[X(t)] = 0,V ar[X(t)] = (∆x) 2 [t/∆t].y3á-∆x⁄∆t™ u"ßø¶4Åkø¬.XJ∆x = ∆tß-∆t → 0ß Kvar[X(t)] → 0ßl X(t) = 0, a.s..XJ∆t = (∆x) 3 ß KV ar[X(t)] → ∞ߢ¥ÿ‹n. œè‚f$ƒ¥Î YßÿåU3È·ûmSl—u:.œdß·Çäe° bµ-∆x = σ √ ∆tß σè,á~Íßl˛°?ÿ åÑß∆t → 0ûßE[X(t)] = 0, V ar[X(t)] → σ 2 t
下面来看这一极限过程的一些直观性质.由式(7.1.1)及 中心极限定理可得： (1)X(t)服从均值为0，方差为σ2t的正态分布 此外，由于随机游动的值在不相重叠的时间区间中的变 化是独立的，所以有 (2){X(t),t≥0}有独立增量 又因为随机游动在任一时间区间中的位置变化的分布只 5/59 依赖于区间的长度，可见 (3){X(t),t≥0}有平稳增量. GoBack FullScreen Close Quit
5/59 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit e°5w˘ò4ÅLßò Ü*5ü.d™(7.1.1)9 •%4Žnåµ (1)X(t)—l˛äè0,ê èσ 2 t©Ÿ. d ßduëÅiƒä3ÿÉUûm´m•C z¥’·ß§±k (2){X(t), t ≥ 0}k’·O˛. qœèëÅiƒ3?òûm´m•†òCz©Ÿê ù6u´m›ßåÑ (3){X(t), t ≥ 0}k²O˛
下面我们就给出Brown:运动的严格定义. 定义7.1.1随机过程{X(t),t≥0}如果满足： (1)X(0)=0; (2){X(t),t≥0}有平稳独立增量； (3)对每个t>0,X(t)服从正态分布N(0,σ2t). 则称{X(t),t≥O为Brown运动，也称为Vieneri过程 常记为{B(t),t≥0或{W(t),t≥0}. 6/59 如果o=1,我们称之为标准Brown:运动，如果g≠1， 则可考虑{X(t)/o,t≥0}，它是标准Brown:运动.故不失一 般性，可以只考虑标准Brown运动的情形. 由于这一定义在应用中不是十分方便，我们不加证明地 给出下面的性质作为Brown运动的等价定义，其证明可以 在许多随机过程的著作中找到. GoBack FullScreen Close Quit
6/59 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit e°·Ç“â—Brown$ƒÓǽ¬. ½¬ 7.1.1 ëÅLß{X(t), t ≥ 0}XJ˜vµ (1) X(0) = 0; (2) {X(t), t ≥ 0}k²’·O˛¶ (3) Èzát > 0, X(t)—l©ŸN(0, σ2 t). K°{X(t), t ≥ 0}èBrown$ƒßè°èWienerLß. ~Pè{B(t), t ≥ 0} ½ {W(t), t ≥ 0}. XJσ = 1ß·Ç°ÉèIOBrown$ƒßXJσ 6= 1ß Kåƒ{X(t)/σ, t ≥ 0}ßߥIOBrown$ƒ.ÿîò Ñ5ßå±êƒIOBrown$ƒú/. du˘ò½¬3A^•ÿ¥õ©êBß·Çÿ\y²/ â—e°5üäèBrown$ƒ d½¬ßŸy²å± 3NıëÅLßÕä•È