CHUN 第6章鞅 ·6.1基本概念 ·6.2鞅的停时定理及其应用 ·6.3一致可积性 ·6.4鞅收敛定理 ·6.5连续鞅 GoBack FullScreen Close Quit
2/65 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit 16Ÿ • 6.1 ƒ Vg • 6.2 û½n9ŸA^ • 6.3 òóå»5 • 6.4 ¬Ò½n • 6.5 ÎY
本章将介绍另一类特殊的随机过程一鞅近几十年来， 鞅理论不仅在随机过程及其他数学分支中占据了重要的地 位，而且在实际问题诸如金融、保险和医学上也得到了广泛 的应用.在此我们将阐述鞅的一些基本理论，并以介绍离散 时间鞅为主. 鞅的定义是从条件期望出发的，所以对条件期望不熟悉 的读者请先学习第1章中的相关内容，这对于理解鞅理论是 3/65 至关重要的. GoBack FullScreen Close Quit
3/65 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ŸÚ0 ,òaAœëÅLß .CAõc5ß nÿÿ=3ëÅLß9Ÿ¶ÍÆ©|•”‚ á/ †ß Ö3¢SØKÃX7K!x⁄öÆ˛è 2ç A^. 3d·ÇÚ„ò ƒ nÿßø±0 l— ûmèÃ. ½¬¥l^áœ"—uߧ±È^áœ"ÿŸG ÷ˆûkÆS11Ÿ•É'SNߢÈun)nÿ¥ ñ'á.
$6.1 基本概念 每个赌博者自然都对能使他在一系列赌博后获得期望收 益最大的策略感兴趣.然而在数学上可以证明，在“公平”的 博弈中，是没有这样的赌博策略的 假设一个赌博者正在进行一系列赌博，每次赌博输赢的 概率都是.令{Y,n=1,2,·},是一列独立同分布的随机 变量，表示每次赌博的结果 4/65 1 P{Yn=1}=P{Yn=-1= -2 这里{n=1}({Yn=-1})表示赌博者在第n次赌博时的 赢（输）. GoBack FullScreen Close Quit
4/65 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit §6.1 ƒ Vg záŸÆˆg,—ÈU¶¶3òXŸÆºœ"¬ ÃÅ帗a,., 3ÍÆ˛å±y²ß3/˙²0 Æâ•ß¥vk˘ŸÆ¸—. bòáŸÆˆ3?1òXŸÆßzgŸÆ—I V«—¥1 2 . -{Yn, n = 1, 2, · · · }, ¥ò’·”©ŸëÅ C˛ßL´zgŸÆ(J P{Yn = 1} = P{Yn = −1} = 1 2 ˘p{Yn = 1} ({Yn = −1})L´ŸÆˆ31ngŸÆû I(—)
y 如果赌博者采用的赌博策略（即所下赌注）依赖于前面的 赌博结果，那么他的赌博可以用下面的随机变量序列 bm=bn(Yi,…,Yn-1),n=2,3,. 描述，其中bn<oo是第n次的赌注，若赌赢则获利bn,否则 输掉bn. 设X0是该赌博者的初始赌资，则 5/65 Xn=X+∑bY (6.1.1) 2=1 是他在第n次赌博后的赌资.可以断言 E[Xn+lYi,…,Yn=Xn 事实上，由式(6.1.1)我们可以得到 Xn+1 Xn +on+1Yn+1, GoBack FullScreen Close Quit
5/65 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit XJŸÆˆÊ^ŸÆ¸—(=§eŸ5)ù6uc° ŸÆ(Jß@o¶ŸÆå±^e°ëÅC˛S bn = bn(Y1, · · · , Yn−1), n = 2, 3, · · · £„ߟ•bn < ∞¥1ngŸ5ßeŸIKº|bn߃K —Kbn. X0¥TŸÆˆ–©Ÿ]ßK Xn = X0 + X n i=1 biYi (6.1.1) ¥¶31ngŸÆŸ].å±‰Û E[Xn+1|Y1, · · · , Yn] = Xn. Ø¢˛ßd™(6.1.1)·Çå± Xn+1 = Xn + bn+1Yn+1
y 因此 E[Xn+Y,·,Yn=E[Xn Yi,…,Yn+E[bn+1Yn+,·,YnJ Xn ontiE[Yn+1 Yi,...Yn] (因为Xn与bn+1由，·，Yn确定) Xn +on+1E[Yn+1] (因为{Y}是独立随机变量序列) =Xn(因为E[Yn+1]=0,n≥0) 6/65 这证明了，如果每次赌博的输赢机会是均等的，并且赌博策 略是依赖于前面的赌博结果，则赌博是“公平的”.因此任 何赌博者都不可能将公平的赌博通过改变赌博策略使得赌博 变成有利于自己的赌博. GoBack FullScreen Close Quit
6/65 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit œd E[Xn+1|Y1, · · · , Yn] = E[Xn|Y1, · · · , Yn] + E[bn+1Yn+1|Y1, · · · , Yn] = Xn + bn+1E[Yn+1|Y1, · · · , Yn] (œèXnÜbn+1dY1, · · · , Yn(½) = Xn + bn+1E[Yn+1] (œè{Yn}¥’·ëÅC˛S) = Xn (œè E[Yn+1] = 0, ∀n ≥ 0) ˘y² ßXJzgŸÆ—IŨ¥˛ ßø֟Ƹ —¥ù6uc°ŸÆ(JßKŸÆ¥/˙²0. œd? ¤ŸÆˆ—ÿåUÚ˙²ŸÆœLUCŸÆ¸—¶ŸÆ C§k|ugCŸÆ