白老 第5章Markov链 ●5.1基本概念 ·5.2状态的分类及性质 2/113 ·5.3极限定理及平稳分布 ·5.4 Markov链的应用 5.5连续时间Markov链 GoBack FullScreen Close Quit
2/113 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit 15Ÿ MarkovÛ • 5.1 ƒ Vg • 5.2 G©a95ü • 5.3 4Žn9²©Ÿ • 5.4 MarkovÛA^ • 5.5 ÎYûmMarkovÛ
有一类随机过程，它具备所谓的“无后效性”(Markov'性)， 即要确定过程将来的状态，知道它此刻的情况就足够了， 并不需要对它以往状况的认识，这类过程称为Markov过 程.我们将介绍Markov过程中最简单的两种类型：离散时间 的Markov链（简称马氏链）及连续时间的Markov链， 3/113 GoBack FullScreen Close Quit
3/113 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit kòaëÅLßß߉§¢/Ã50(Markov5)ß =á(½LßÚ5Gßßdèú¹“v ß øÿIáÈß± G¹@£ß˘aLß°èMarkovL ß.·ÇÚ0 MarkovLß•Å{¸¸´a.µl—ûm MarkovÛ({°ÍºÛ)9ÎYûmMarkovÛ
§5.1 基本概念 $5.1.1 arkov链的定义及一些例子 定义5.1.1随机过程{Xn,n=0,1,2,·}称为Markov 链，若它只取有限或可列个值（若不另外说明，以非负整数 集{0,1,2，…}来表示)，并且对任意的n≥0，及任意状 态i,j,i0i1…,in-1,有 4/113 P{Xn+1=X0=i0,X1=i1,…,Xn-1=in-1,Xn= =P{Xn+1=jXn=i} (5.1.1) 其中Xn=表示过程在时刻n处于状态，称{0,1,2，·}为 该过程的状态空间，记为S.式(5.1.1)刻画了Markov链的 特性，称为arkov'性. GoBack FullScreen Close Quit
4/113 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit §5.1 ƒ Vg §5.1.1 MarkovÛ½¬9ò ~f ½¬ 5.1.1 ëÅLß{Xn, n = 0, 1, 2, · · · }°èMarkov ÛßeßêkŽåáä(eÿ, `²ß±öKÍ 8{0, 1, 2, · · · }5L´)ßøÖÈ?ø n ≥ 0ß9?øG i, j, i0, i1 · · · , in−1ßk P{Xn+1 = j|X0 = i0, X1 = i1, · · · , Xn−1 = in−1, Xn = i} = P{Xn+1 = j|Xn = i} (5.1.1) Ÿ•Xn = iL´Lß3ûèn?uGiß°{0, 1, 2, · · · }è TLß GòmßPèS. ™(5.1.1)èx MarkovÛ A5ß°èMarkov5
定义5.1.2称(5.1.1)式中的条件概率P{Xn+1=Xn= i}为Markov链{Xn,n=0,1,2,·}的一步转移概率，简称 转移概率，记为p,它代表处于状态的过程下一步转移到 状态的概率. 一般情况下，转移概率与状态i,和时刻n有关 定义5.1.3当Markov链的转移概率p=P{Xn+1= Xn=}只与状态i,有关，而与n无关时，称之为时齐Markov 5/113 链；否则，就称之为非时齐的 在本书中，我们只讨论时齐Markov链，并且简称为Markov链 GoBack FullScreen Close Quit
5/113 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ½¬ 5.1.2 °(5.1.1)™•^áV« P{Xn+1 = j|Xn = i}èMarkovÛ{Xn, n = 0, 1, 2, · · · }ò⁄=£V«ß{° =£V«ßPèpijßßìL?uGiLßeò⁄=£ GjV«. òÑú¹eß=£V«ÜGi, j⁄ûènk'. ½¬ 5.1.3 MarkovÛ=£V« pij = P{Xn+1 = j|Xn = i}êÜGi, jk'ß ÜnÃ'ûß°Éèû‡Markov Û¶ƒKß“°Éèöû‡. 3 ÷•ß·Çê?ÿû‡MarkovÛßøÖ{°èMarkovÛ
当Markov链的状态为有限时，称为有限链， 否则称为 无限链.但无论状态有限还是无限，我们都可以将p(亿，j∈ S)排成一个矩阵的形式，令 P00P01P02··: P=(pij)= P10P11P12··· (5.1.2) P20P21P22· 6/113 称P为转移概率矩阵，一般简称为转移矩阵.由于概率是非 负的，且过程必须转移到某个状态，所以容易看出P(⑦，j∈ S)有性质 (1)pi≥0，i,j∈S; (5.1.3) (2)∑jesP=1,i∈S. GoBack FullScreen Close Quit
6/113 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit MarkovÛGèkÅûß°èkÅÛ߃K°è ÃÅÛ.ÃÿGkÅÑ¥ÃÅß·Ç—å±Úpij(i, j ∈ S)¸§òá› /™ß- P = (pij) = p00 p01 p02 · · · p10 p11 p12 · · · p20 p21 p22 · · · ... ... ... ... (5.1.2) °Pè=£V«› ß òÑ{°è=£› .duV«¥ö KßÖLß7L=£,áGߧ±N¥w—pij(i, j ∈ S)k5ü (1) pij ≥ 0, i, j ∈ S; (2) P j∈S pij = 1, ∀i ∈ S. (5.1.3)