CHUN 第8章 随机积分 ·8.1 关于随机游动的积分 ·8.2 关于Brown运动的积分 ·8.3 Ito积分过程 ·8.4 Ito公式 GoBack FullScreen Close Quit
2/47 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit 18Ÿ ëÅ»© • 8.1 'uëÅiƒ»© • 8.2 'uBrown$ƒ»© • 8.3 Itˆo»©Lß • 8.4 Itˆo˙™
y 本章的目的是引入关于Brown:运动的积分，讨论其性 质并给出在随机分析及金融学中有着重要应用的It6公式. 88.1 关于随机游动的积分 3/47 我们从讨论关于简单的随机游动的积分开始.设X1,X2, 是独立的随机变量，P{X=1}=P{X=-1=, 令Sn表示相应的游动 Sn=X1+X2+·+Xn GoBack FullScreen Close Quit
3/47 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit Ÿ8¥⁄\'uBrown$ƒ»©ß?ÿŸ5 üøâ—3ëÅ©¤97KÆ•kXáA^Itˆo˙™. §8.1 'uëÅiƒ»© ·Çl?ÿ'u{¸ëÅiƒ»©m©.X1, X2, · · · ¥’·ëÅC˛ßP{Xi = 1} = P{Xi = −1} = 1 2ß -SnL´ÉAiƒ Sn = X1 + X2 + · · · + Xn
我们可以这样看这组独立随机变量，Xn为第n次公平赌 博的结果(Xn=1为赢1元，Xn=-1为输掉1元).Fn= o(X1,·,Xn)(由{X,1≤i≤n}生成的o代数)，也可以 理解为包含X1,·,Xn的信息.令Bn是Fn-1可测的随机变 量序列，比如它表示第次赌博时所下赌注，则它只能利用 第n一1次及以前的信息，而不能利用第次赌博的结果.于 是到时刻n的收益Zm为 4/47 2 Zn-∑B,X:=∑B(S,-5-1)=∑B△S i=1 i=1 i三1 这里△S;=S;-S-1,S0=0.我们称Zm为Bn关于Sn的积 分. GoBack FullScreen Close Quit
4/47 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ·Çå±˘w˘|’·ëÅC˛ßXnè1ng˙²Ÿ Æ(J(Xn = 1èI1ßXn = −1è—K1). Fn = σ(X1, · · · , Xn)(d{Xi, 1 ≤ i ≤ n})§σìÍ)ßèå± n)èù¹ X1, · · · , Xn&E.-Bn¥Fn−1åˇëÅC ˛Sß'XßL´1ngŸÆû§eŸ5ßKßêU|^ 1n − 1g9±c&Eß ÿU|^1ngŸÆ(J.u ¥ûèn¬ÃZnè Zn = X n i=1 BiXi = X n i=1 Bi(Si − Si−1) = X n i=1 Bi∆Si ˘p∆Si = Si − Si−1, S0 = 0. ·Ç°ZnèBn'uSn» ©.
y 容易看出{Zn}是关于Fn的鞅，即，若m<n,则 E[Zn Fm]Zm 特别地，E[Z]=0.此外，如果假定E[B1<o∞，则 Var[Zn]=E[Z]=E[B] 2=1 事实上， 5/47 Z=∑BX?+2∑ BiBiXiXi i=1 1≤i<j≤n 再注意到X=1,如果i<j,则B,X,B,都是Fj-1可测 的，且X独立于F)-1,于是由定理？？，得 EBiBjXiXil EE BiBjXiXiF1]=E[BiBiXiE(Xi]=0 GoBack FullScreen Close Quit
5/47 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit N¥w—{Zn}¥'uFnß=ßem < nßK E[Zn|Fm] = Zm AO/, E[Zn] = 0. d ßXJb½E[B2 n ] < ∞ßK V ar[Zn] = E[Z 2 n ] = X n i=1 E[B 2 i ] Ø¢˛ß Z 2 n = X n i=1 B 2 i X2 i + 2 X 1≤i<j≤n BiBjXiXj 25øX2 i = 1ßXJi < jßKBi, Xi, Bj—¥Fj−1åˇ ßÖXj’·uFj−1ßu¥d½n??ß E[BiBjXiXj] = E[E[BiBjXiXj|Fj−1]] = E[BiBjXiE(Xj)] = 0
$8.2 关于Brown运动的积分 花 本节定义关于Brown运动的积分X(t)dB(t)(或简 记为∫XdB),这里{B(t)}是一维标准Brown:运动，有时 也记为{W).首先考虑一个非随机的简单过程{X(t)}, 即X(t)是一个简单函数（不依赖于B(t).由简单函数的 定义，存在[0，T]的分割0=to<t1<·<tn=T及常 6/47 数c0,C1,·,Cn-1,使得 X(t)= C0, 如果t=0 ci, 如果t<t≤t+1,i=0,1,·,n-1 GoBack FullScreen Close Quit
6/47 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit §8.2 'uBrown$ƒ»© !½¬'uBrown$ƒ»© R T 0 X(t)dB(t) (½{ Pè R XdB)ߢp{B(t)}¥òëIOBrown$ƒßkû èPè{Wt}. ƒkƒòáöëÅ{¸Lß{X(t)}ß =X(t)¥òá{¸ºÍ (ÿù6uB(t)). d{¸ºÍ ½¬ß3[0, T]©0 = t0 < t1 < · · · < tn = T9~ Íc0, c1, · · · , cn−1, ¶ X(t) = ( c0, XJt = 0 ci , XJti < t ≤ ti+1, i = 0, 1, · · · , n − 1