定理7.2.1 Brown运动是均值函数为m(t)=0,协 方差函数为y(s,t)=min(t,s)的Gauss过程， 证明：由于Brown:运动的均值是0，所以其协方差函数 为 y(s,t)=Cov[B(t),B(s)]=E[B(t)B(s)] 若t<s,则B(s)=B(t)+B(s)-B(t),由独立增量性可 17/59 得 E[B(t)B(s)=E[B2(t)]+E[B(t)(B(s)-B(t)]=E[B2(t)]=t 类似地，若t>s,则E[B(t)B(s】=s.再由上述引理及数 学归纳法我们得到B(t)的任何有限维分布都是正态的. GoBack FullScreen Close Quit
17/59 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ½n 7.2.1 Brown$ƒ¥˛äºÍèm(t) = 0ß ê ºÍèγ(s, t) = min(t, s)GaussLß. y²µduBrown$ƒ˛ä¥0, §±Ÿê ºÍ è γ(s, t) = Cov[B(t), B(s)] = E[B(t)B(s)] et < sßKB(s) = B(t) + B(s) − B(t)ßd’·O˛5å E[B(t)B(s)] = E[B 2 (t)]+E[B(t)(B(s)−B(t))] = E[B 2 (t)] = t aq/ßet > sßKE[B(t)B(s)] = s. 2d˛„⁄n9Í Æ8B{·ÇB(t)?¤kÅë©Ÿ—¥
y 例7.2.1 设{B(t)}是Brown运动，求B(1)+B(2)+ B(3)+B(4)的分布. 解：考虑随机向量X=(B(1),B(2),B(3),B(4)',由 定理7.2.1可知X服从多元正态分布，且具有零均值和协方 差矩阵 1111 1222 18/59 公= 1233 1234 令A=(1,1,1,1),则 AX=X1+X2+X3+X4=B(1)+B(2)+B(3)+B(4) 具有均值为零，方差为A∑A'=30的正态分布.于是B(1)十 B(2)+B(3)十B(4)是服从均值为0，方差为30的正态分布. GoBack FullScreen Close Quit
18/59 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ~ 7.2.1 {B(t)}¥Brown$ƒß¶B(1) + B(2) + B(3) + B(4)©Ÿ. )µƒëÅï˛X = (B(1), B(2), B(3), B(4))0 ßd ½n7.2.1åX—lı©ŸßÖ‰k"˛ä⁄ê › Σ = 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1 2 3 4 -A = (1, 1, 1, 1)ßK AX = X1 + X2 + X3 + X4 = B(1) + B(2) + B(3) + B(4) ‰k˛äè"ßê èAΣA0 = 30©Ÿ.u¥B(1) + B(2) + B(3) + B(4)¥—l˛äè0,ê è30©Ÿ.
例7.2.2求B()+B()+B()+B(1)的分布， 解：考虑随机向量Y=(B(),B(),B(),B(1)y.易 见，Y与上例中的X具有相同的情形.所以它的协方差矩阵 为Σ.因此AY=B()+B()+B()+B(1)服从均值 为0，方差为9的正态分布 19/59 GoBack FullScreen Close Quit
19/59 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ~ 7.2.2 ¶B( 1 4 ) + B( 1 2 ) + B( 3 4 ) + B(1)©Ÿ. )µƒëÅï˛Y = (B( 1 4 ), B( 1 2 ), B( 3 4 ), B(1))0 . ¥ Ñß Y ܲ~•X‰kÉ”ú/. §±ßê › è1 4 Σ. œd AY = B( 1 4 ) + B( 1 2 ) + B( 3 4 ) + B(1) —l˛ä è0,ê è30 4 ©Ÿ
例7.2.3求概率P{B(t)dt>}. 解：首先需要指出的是，Brown运动具有连续路径，所 以对每个路径来说，Riemann积分∫B(t)dt存在.我们 只需找出B(t)dt的分布.由Riemann积分的定义，我们可 以从逼近和∑B(t)△t的极限分布得到.这里t是[0,1]的 分点，△t=t+1-t.例如取t:=,当n=4时，逼近 20/59 和即为上例中的随机变量.一般地，类似地证明，所有逼近 和的分布都是零均值的正态分布，因此它们的极限分布是 正态分布.于是)B(t)dt也是零均值的正态分布.下面来计 算∫B(t)dt的方差 GoBack FullScreen Close Quit
20/59 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ~ 7.2.3 ¶V«P{ R 1 0 B(t)dt > √ 2 3 }. )µƒkIáç—¥ßBrown$ƒ‰kÎY¥ªß§ ±Èzᥪ5`, Riemann»© R 1 0 B(t)dt 3. ·Ç êIÈ— R 1 0 B(t)dt©Ÿ.dRiemann»©½¬ß·Çå ±l%C⁄ PB(ti)∆ti 4Å©Ÿ. ˘pti¥[0, 1] ©:ß∆ti = ti+1 − ti. ~Xti = i nßn = 4ûß%C ⁄=è˛~•ëÅC˛.òÑ/ßaq/y²ß§k%C ⁄©Ÿ—¥"˛ä©ŸßœdßÇ4Å©Ÿ¥ ©Ÿ.u¥ R 1 0 B(t)dtè¥"˛ä©Ÿ.e°5O é R 1 0 B(t)dtê
vo[Ee网-c'ee人ea] =e[广8uaae E[B(t)B(s)]dtds =6人 Cov[B(t)B(s)]dtds 21/59 int.de 这样，B(t)dt~N(O,).于是所求概率为 P{0>=P{sfaa>-1- 这里Φ(x)是标准正态分布的分布函数 GoBack FullScreen Close Quit
21/59 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit V ar Z 1 0 B(t)dt = Cov Z 1 0 B(t)dt, Z 1 0 B(s)ds = E Z 1 0 B(t)dt Z 1 0 B(s)ds = Z 1 0 Z 1 0 E[B(t)B(s)]dtds = Z 1 0 Z 1 0 Cov[B(t)B(s)]dtds = Z 1 0 Z 1 0 min(t, s)dtds = 1 3 ˘, R 1 0 B(t)dt ∼ N(0, 1 3 ). u¥§¶V«è P Z 1 0 B(t)dt > 2 √ 3 = P √ 3 Z 1 0 B(t)dt > 2 = 1−Φ(2) ˘pΦ(x)¥IO©Ÿ©ŸºÍ