y 性质7.1.1 Brown运动是具有下述性质的随机过程{B(t),t≥ 0}. (1)(正态增量)B(t)-B(s)~N(0,t-s),即B(t) B(s)服从均值为0，方差为t一s的正态分布.当s=0时， B(t)-B(0)N(0,t). (2)(独立增量)B(t)-B(s)独立于过程的过去状态B(u),0≤ u≤s. 7/59 (3)(路径的连续性)B(t),t≥0是的连续函数 注：性质7.1.1中我们并没有假定B(0)=0,因此我们 称之为始于x的Brown运动，所以有时为了强调起始点，也 记为{Br(t)}.这样，定义7.1.1所指的就是始于0的Brown运 动{B(t)}.易见， B(t)-x=B(t) (7.1.2) GoBack FullScreen Close Quit
7/59 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit 5ü7.1.1 Brown$ƒ¥‰ke„5üëÅLß{B(t), t ≥ 0}. (1) (O˛)B(t) − B(s) ∼ N(0, t − s)ß=B(t) − B(s)—l˛äè0,ê èt − s©Ÿ. s = 0ûß B(t) − B(0) ∼ N(0, t). (2) (’·O˛)B(t)−B(s)’·uLßLGB(u), 0 ≤ u ≤ s. (3) (¥ªÎY5)B(t), t ≥ 0 ¥tÎYºÍ. 5µ5ü7.1.1•·Çøvkb½B(0) = 0ßœd·Ç °Éè©uxBrown$ƒß§±kûè rN©:ßè Pè{Bx (t)}.˘ß½¬7.1.1§ç“¥©u0Brown$ ƒ{B0 (t)}. ¥Ñß B x (t) − x = B 0 (t) (7.1.2)
(7.1.2)式按照下面的定义7.1.2称为Brown运动的空 间齐次性.此性质也说明，Bx(t)和x+B(t)是相同的，我 们只需研究始于0的Brown运动就可以了，如不加说明， Brown运动就是始于O的Brown:运动. 定义7.1.2设{X(t),t≥0}是随机过程，如果它的有 限维分布是空间平移不变的，即 8/59 P{X(t)≤x1,X(t2)≤x2,·,X(tn)≤xnX(O)=0} =P{X(t)≤c1+x,X(t2)≤x2+x,·,X(tn)≤xn+xX(0)=x} 则称此过程为空间齐次的. GoBack FullScreen Close Quit
8/59 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit (7.1.2)™UÏe°½¬7.1.2 °èBrown$ƒò m‡g5.d5üè`²ßBx (t)⁄x + B0 (t)¥É”ß· ÇêIÔƒ©u0 Brown$ƒ“å± ßXÿ\`²ß Brown$ƒ“¥©u0Brown$ƒ. ½¬ 7.1.2 {X(t), t ≥ 0}¥ëÅLßßXJßk Åë©Ÿ¥òm²£ÿCß= P{X(t1) ≤ x1, X(t2) ≤ x2, · · · , X(tn) ≤ xn|X(0) = 0} = P{X(t1) ≤ x1 + x, X(t2) ≤ x2 + x, · · · , X(tn) ≤ xn + x|X(0) = x} K°dLßèòm‡g
面给出关于Brwon运动的概率计算的例子 例7.1.1设{B(t),t≥0}是标准Brown:运动，计算 P{B(2)≤0}和P{B(t)≤0，t=0,1,2} 解由于B(2)~N(0,2),所以P{B(2)≤0}=因 为B(0)=0,所以P{B(t)≤0，t=0,1,2}=P{B(t)≤ 0,t=1,2}=P{B(1)≤0，B(2)≤0.虽然B(1)和B(2)不 9/59 是独立的，但由性质7.1.1(2)和(3)可知B(2)-B(1)与B(1)是 相互独立的标准正态分布随机变量，于是利用分解式 B(2)=B(1)+(B(2)-B(1) 我们有 GoBack FullScreen Close Quit
9/59 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit °â—'uBrwon$ƒV«Oé~f. ~ 7.1.1 {B(t), t ≥ 0}¥IOBrown$ƒßOé P{B(2) ≤ 0}⁄ P{B(t) ≤ 0, t = 0, 1, 2}. ) duB(2) ∼ N(0, 2)ߧ±P{B(2) ≤ 0} = 1 2 .œ èB(0) = 0ߧ±P{B(t) ≤ 0, t = 0, 1, 2} = P{B(t) ≤ 0, t = 1, 2} = P{B(1) ≤ 0, B(2) ≤ 0}. è,B(1)⁄B(2)ÿ ¥’·ßd5ü7.1.1(2)⁄(3)åB(2)−B(1)ÜB(1)¥ Ép’·IO©ŸëÅC˛ßu¥|^©)™ B(2) = B(1) + (B(2) − B(1)) ·Çk
花 P{B(1)≤0，B(2)≤0} =P{B(1)≤0，B(1)+(B(2)-B(1)≤0} =P{B(1)≤0，B(2)-B(1)≤-B(1)} = P{B(2)-B(1)≤-x}(r)dx = Φ(-x)dΦ(r) 10/59 这里Φ和分别表示标准正态分布的分布函数和密度函数.由 积分变量替换公式得 人ao以-t=e=- GoBack FullScreen Close Quit
10/59 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit P{B(1) ≤ 0, B(2) ≤ 0} = P{B(1) ≤ 0, B(1) + (B(2) − B(1)) ≤ 0} = P{B(1) ≤ 0, B(2) − B(1) ≤ −B(1)} = Z 0 −∞ P{B(2) − B(1) ≤ −x}φ(x)dx = Z 0 −∞ Φ(−x)dΦ(x) ˘pΦ⁄φ©OL´IO©Ÿ©ŸºÍ⁄ó›ºÍ.d »©C˛OÜ˙™ Z ∞ 0 Φ(x)φ(−x)dx = Z ∞ 0 Φ(x)dΦ(x) = Z 1 1 2 ydy = 3 8
如果过程从x开始，B(O)=x,则B(t)心N(x,t),于 是 P{B(t)∈(a,b)}= (-x)2 这里，概率P的下标x表示过程始于x.积分号中的函数 1 pi(x,y)= _y-x2 2t (7.1.3) /2πt 11/59 称为Brown运动的转移概率密度.利用独立增量性以及转移 概率密度，我们可以计算任意Brown:运动的有限维分布 Pc{B(t)≤c1,…,B(tn)≤cn} T2 = Pu(,)din pt2-t(y1,y2)dy2·· pi-t-(Un-1,Un)dyn (7.1.4) GoBack FullScreen Close Quit
11/59 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit XJLßlxm©ßB(0) = xßKB(t) ∼ N(x, t)ßu ¥ Px{B(t) ∈ (a, b)} = Z b a 1 √ 2πt e − (y−x) 2 2t dy. ˘pßV«PxeIxL´Lß©ux.»©“•ºÍ pt(x, y) = 1 √ 2πt e − (y−x) 2 2t (7.1.3) °èBrown$ƒ=£V«ó›.|^’·O˛5±9=£ V«ó›ß·Çå±Oé?øBrown$ƒkÅë©Ÿ Px{B(t1) ≤ x1, · · · , B(tn) ≤ xn} = Z x1 −∞ pt1 (x, y1)dy1 Z x2 −∞ pt2−t1 (y1, y2)dy2 · · · Z xn −∞ ptn−tn−1 (yn−1, yn)dyn (7.1.4)