第4章 更新过程 4.1更新过程定义及若干分布 ·4.2更新方程及其应用 2/53 ·4.3更新定理 ·4.4更新过程的推广 GoBack FullScreen Close Quit
2/53 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit 14Ÿ ç#Lß • 4.1 ç#Lß½¬9eZ©Ÿ • 4.2 ç#êß9ŸA^ • 4.3 ç#½n • 4.4 ç#LßÌ2
§4.1 更新过程定义及若干分布 定义4.1.1设{Xm,n=1,2,…}是一串独立同分布 的非负随机变量， 分布函数为F(x)(为了避免平凡的情况，设F(O)= P(Xn=0)≠1，记u=EXn=JxdF(x),则0<w≤ ∞).令Tn=∑21X:(m≥1)，T0=0.我们把由 3/53 N(t)=sup{n:Tn≤t} 定义的计数过程称为更新过程. 更新过程的一个典型例子是机器零件的更换.在0时刻， 安装上一个新零件并开始运行，设此零件在X1时刻损坏，马 上用一个新的来替换（假定替换不需要时间），则第二个零件 GoBack 在X1时刻开始运行，设它在X2时刻损坏，同样马上换第三 FullScreen Close Quit
3/53 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit §4.1 ç#Lß½¬9eZ©Ÿ ½¬ 4.1.1 {Xn, n = 1, 2, · · · }¥òG’·”©Ÿ öKëÅC˛, ©ŸºÍèF(x)(è ;ù²Öú¹ß F(0) = P(Xn = 0) 6= 1ßPµ = EXn = R ∞ 0 xdF(x), K0 < µ ≤ ∞). -Tn = Pn i=1 Xi (n ≥ 1), T0 = 0. ·Çrd N(t) = sup{n : Tn ≤ t} ½¬OÍLß°èç#Lß. ç#Lßòá;.~f¥ÅÏ"áçÜ. 30ûèß SC˛òá#"áøm©$1ßd"á3X1ûèõÄßÍ ˛^òá#5OÜ(b½OÜÿIáûm)ßK1á"á 3X1ûèm©$1ßß3X2ûèõÄߔͲÜ1n
个，·很自然可以认为这些零件的使用寿命是独立同分布 的，那么到时刻为止所更换的零件数目就构成一个更新过 程. 注：在更新过程中我们将事件发生一次叫做一次更新， Xn就是第n-l次和第m次更新相距的时间，Tn是第n次更 新发生的时刻，而N(t)就是时刻之前发生的总的更新次数. 4/53 §4.1.1 N(t)的分布及E[N(t)]的一些性质 N(t)<o的概率为1 事实上，由强大数定律知道 ∑X:= 2→ m m GoBack 以概率1成立.而μ>0，所以当n→时Tn→o,也就是 FullScreen Close Quit
4/53 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit áß· · · .Èg,å±@è˘ "á¶^Æ·¥’·”©Ÿ ß@otûèèé§çÜ"áÍ8“§òáç#L ß. 5µ3ç#Lß•·ÇÚØáu)ògâògç#ß Xn“¥1n − 1g⁄1ngç#ÉÂûmß Tn¥1ngç #u)ûèß N(t)“¥tûèÉcu)oç#gÍ. §4.1.1 N(t)©Ÿ9E[N(t)]ò 5ü N(t) < ∞V«è1 Ø¢˛ßdråÍ½Æ Pn i=1 Xi n = Tn n → µ ±V«1§·. µ > 0, §±n → ∞ûTn → ∞, è“¥
说无穷多次更新只可能在无限长的时间内发生.于是有限时 间内最多只能发生有限次更新： N(t)≥n→Tn≤t 所以 P(N(t)=n)=P(N(t)≥n)-P(N(t)≥n+1) 5/53 =P(Tn≤t)-P(Tn+1≤t) n+1 =P(∑X:≤t)-P(∑X:≤t) i=1 i=1 以Fn记Tn的分布，则Fn是F的n重卷积， 因此 P(N(t)=n)=Fn(t)-Fn+1(t) GoBack FullScreen Close Quit
5/53 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit `ðıgç#êåU3ÃÅûmSu). u¥kÅû mSÅıêUu)kÅgç#. N(t) ≥ n ⇐⇒ Tn ≤ t §± P(N(t) = n) = P(N(t) ≥ n) − P(N(t) ≥ n + 1) = P(Tn ≤ t) − P(Tn+1 ≤ t) = P( X n i=1 Xi ≤ t) − P( X n+1 i=1 Xi ≤ t) ±FnPTn©ŸßKFn¥Fnڻߜd P(N(t) = n) = Fn(t) − Fn+1(t)
定理4.1.1 花 0O M(t)= F(t) m=1 其中M(t)=E[N(t)],称之为更新函数. 证明：由定义可得 M(t)=E[N(t)] 6/53 ∑nP(N(t)=n) n=1 = >Tn[Fn(t)-Fn+1(t)】 n=1 ∑F(t) A n=1 GoBack FullScreen Close Quit
6/53 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ½n 4.1.1 M(t) = X ∞ n=1 Fn(t) Ÿ•M(t) = E[N(t)], °Éèç#ºÍ. y²µ d½¬å M(t) = E[N(t)] = X ∞ n=1 nP(N(t) = n) = X ∞ n=1 n[Fn(t) − Fn+1(t)] = X ∞ n=1 Fn(t)