向量与点的线性组合 中国斜草我术大草 Jniversity of Science and Technology of China ·给定n个向量y1y2,,Vn,以及n个标量1， 02,…,0n,则由归纳法可以证明 V=01V1+02V2+.+0nyn 也是向量，称为这组向量的线性组合 ·给定n个点P1,P2,,Pm,以及n个标量C1, 02,…,0n,则 P=O1P1+02P2+..+0mPm 是什么？ 一所给的定义需要与坐标无关 19
向量与点的线性组合 • 给定n个向量v1 , v2 ,…, vn , 以及n个标量1 , 2 ,…,n , 则由归纳法可以证明 v = 1 v1 + 2 v2 +…+ n vn 也是向量，称为这组向量的线性组合 • 给定n个点P1 , P2 ,…, Pn , 以及n个标量1 , 2 ,…,n , 则 P = 1P1 + 2P2 +…+ nPn 是什么？ – 所给的定义需要与坐标无关 19
点的线性组合 University of Science and Technology of China 固定坐标系，取定其中的两，点，那么P1+P2 是什么？ -当P1为原点时，P1+P2等于P2 - 当P1与P2关于原点对称时，P1+P2为原点 -所以P1+P2的位置与坐标系有关 ·组合系数不能是任意数 20
点的线性组合 • 固定坐标系，取定其中的两点，那么P1 + P2 是什么？ – 当P1为原点时， P1 + P2等于P2 – 当P1 与 P2关于原点对称时， P1 + P2为原点 – 所以P1 + P2的位置与坐标系有关 • 组合系数不能是任意数 20
点的特殊线性组合 中国斜学我术大学 University of Science and Technology of China ·由归纳法，从“点一点=向量”和“标量向 量=向量”可知当组合系数和01+02+..+0n= 0时，点的线性组合为向量 ·P1+P2=P1+2(P2-P1)=点+向量=点 -实际上，P1+为P2表示两点的中点，这是与坐标 无关的定义 ·当01+02+.+0n=1时，点的线性组合为点， 称为给定点的仿射组合 ·除此之外，其它形式的线性组合没有与坐标无 关的意义 21
点的特殊线性组合 • 由归纳法，从“点 点＝向量” 和“标量向 量＝向量”可知当组合系数和1 + 2 +…+ n = 0时，点的线性组合为向量 • ½ P1 + ½ P2 = P1 + ½ (P2 P1 ) = 点＋向量＝点 – 实际上， ½ P1 + ½ P2表示两点的中点，这是与坐标 无关的定义 • 当1 + 2 +…+ n = 1 时，点的线性组合为点， 称为给定点的仿射组合 • 除此之外，其它形式的线性组合没有与坐标无 关的意义 21
直线 中国斜学我术大学 University of Science and Technology of China ·考虑具有下述形式的所有点 -P(a)=Po+a.d -即所有过P点，与P连线平行于向量d的，点 P() 22
直线 • 考虑具有下述形式的所有点 – P() = P0 + d – 即所有过P0点，与P0连线平行于向量d的点 P0 P() d 22
参数形式 University of Science and Technology of China ·上述定义直线的形式称为参数形式 -比其它形式更一般和稳定 一可以推广到曲线和曲面 ·二维形式（坐标系相关） -显式：y=mx+h -隐式：ax+by+c=0 -参数形式： x(0)=0x+(1-0)x1 y)=0%+(1-a)y1
参数形式 • 上述定义直线的形式称为参数形式 – 比其它形式更一般和稳定 – 可以推广到曲线和曲面 • 二维形式（坐标系相关） – 显式：y = mx + h – 隐式：ax + by + c = 0 – 参数形式： x() = x0 + (1 ) x1 y() = y0 + (1 ) y1 23