线性)向量空间 中国斜草技术大学 University of Science and Technology of Chin ·处理向量的数学系统 ·运算一：向量-向量加法w=u+v -封闭性：u,v∈V,u+v∈V -交换律：u+y=v+u -结合律：u+(N+w)=(u+)+w -零向量0：u∈V,u+0=W -加法逆元-u:u+←训=0 14
(线性)向量空间 • 处理向量的数学系统 • 运算一：向量-向量加法 w = u+v – 封闭性： u, v ∈V , u+v ∈V – 交换律： u+v = v+u – 结合律： u+(v+w) = (u+v)+w – 零向量0 ： u ∈V , u+0 = u – 加法逆元-u ： u+(-u) = 0 14
线性)向量空间 中国斜学我术大室 University of Science and Technology of China ·运算二：标量-向量乘法u=v -分配律：C(u+y)=Cu+v (a+B)u=au+Bu ·在向量空间中，表达式v=u+2w-3r有意 义 ·向量空间例子：有向线段、实数的元组 15
(线性)向量空间 • 运算二：标量-向量乘法 u = v – 分配律： (u+v) = u + v – (+β) u = u + β u • 在向量空间中，表达式 v = u + 2w 3r有意 义 • 向量空间例子：有向线段、实数的n元组 15
向量没有位置 中国斜学技术大学 University of Science and Technology of China ·下述向量是相等的 一因为它们具有相同的方向与长度 ·对几何而言只有向量空间是不够的 一还需要点 16
向量没有位置 • 下述向量是相等的 – 因为它们具有相同的方向与长度 • 对几何而言只有向量空间是不够的 – 还需要点 16
点 中国斜草我术大草 University of Science and Technology of China 空间中的位置。数学上，点没有大小和形 状。 一用大写字母表示 ·点与向量之间可进行的运算 一点与，点相减得到一个向量 -等价地，点与向量相加得到新点 v=P-Q P=v+Q Q 有意义：P+3y,P-2C+3v 无意义：P+3Q-v 17
点 • 空间中的位置。数学上，点没有大小和形 状。 – 用大写字母表示 • 点与向量之间可进行的运算 – 点与点相减得到一个向量 – 等价地，点与向量相加得到新点 Q P v v = P Q P = v + Q 有意义：P+3v, P-2C+3v 无意义：P+3Q-v 17
仿射空间 中国斜学我术大草 University of Science and Technology of China ·仿射空间=点+向量空间 ·运算： 一向量-向量加法→向量 一标量-向量乘法→向量 一点-向量加法→点（等价地，点-点减法→向量) 一标量-标量运算→标量 一上述运算均是与坐标无关的 ·对于任意点P,定义 -1·P=P -0.P=0(零向量) 18
仿射空间 • 仿射空间 = 点 + 向量空间 • 运算： – 向量-向量加法 向量 – 标量-向量乘法 向量 – 点-向量加法 点 （等价地，点-点减法 向量） – 标量-标量运算 标量 – 上述运算均是与坐标无关的 • 对于任意点P ，定义 – 1 P = P – 0 P = 0 (零向量) 18