石河子大学：《医学统计学》课程教学课件（非预防专业）第06章方差分析.pdf

方差分析(ANOVA) Analysis of variance 预防医学系 2 课程设置 � 课时：理论课： 22学时实习课： 10学时授课人：理论课联系方式：预防医学系卫生统计学教研室联系方式：预防医学系卫生统计学教研室联系方式：预防医学系卫生统计学教研室联系方式：预防医学系卫生统计学教研室 Tel.：2057153 2057153 2057153 2057153 Email：yfyxxzjy@126.com yfyxxzjy@126.com yfyxxzjy@126.com yfyxxzjy@126.com Baidu贴吧：yfyxx yfyxx yfyxx yfyxx （讨论、答疑）（讨论、答疑）（讨论、答疑）（讨论、答疑） http://tieba.baidu.com/f?kw=yfyxx# http://tieba.baidu.com/f?kw=yfyxx# http://tieba.baidu.com/f?kw=yfyxx# http://tieba.baidu.com/f?kw=yfyxx# 大学一类课程网站大学一类课程网站大学一类课程网站大学一类课程网站→教学资源→（作业、ppt） http://eol.shzu.edu.cn/eol/jpk/course/layout/default/index.jsp?courseId=1204 http://eol.shzu.edu.cn/eol/jpk/course/layout/default/index.jsp?courseId=1204 http://eol.shzu.edu.cn/eol/jpk/course/layout/default/index.jsp?courseId=1204 http://eol.shzu.edu.cn/eol/jpk/course/layout/default/index.jsp?courseId=1204 例 6.1 三组大鼠 GSH 值（mg/gprot）甲乙丙合计 79.81 87.58 60.29 80.60 70.73 62.63 … … … 104.28 80.36 46.56 72.29 56.40 55.23 全部数据 12 12 12 36 83.15 75.63 52.27 70.35 12.30 11.07 10.85 17.35 问题？ 1.各组测量值与其均数不相等的原因是什么？各组测量值与其均数不相等的原因是什么？各组测量值与其均数不相等的原因是什么？各组测量值与其均数不相等的原因是什么？ 2.三组均值各不相同的原因是什么？三组均值各不相同的原因是什么？三组均值各不相同的原因是什么？三组均值各不相同的原因是什么？ 3.能否用独立样本的 t 检验进行统计分析？进行统计分析？进行统计分析？进行统计分析？ 3 3 2 3 ( 3 1 ) 2 3 = − m = C = 每次比较时，α＝0.05，作完n次比较，累积Ⅰ类错误的概率为α ，则α ＝1－（1－α）。本题α ＝1－（1－ 0.05) =0.1426 0.05) =0.1426 0.05) =0.1426 0.05) =0.1426 是0.05的2.9倍. 因此，对多个样本均数的比较因此，对多个样本均数的比较因此，对多个样本均数的比较因此，对多个样本均数的比较t检验能否用？解决此问题—方差分析。 n 3 4 � 由英国统计学家由英国统计学家由英国统计学家由英国统计学家R.A.Fisher R.A.Fisher R.A.Fisher R.A.Fisher首先提出的一种统计方法，并以出的一种统计方法，并以出的一种统计方法，并以出的一种统计方法，并以F命名方差分析的统计量，所以方差分析又差分析的统计量，所以方差分析又差分析的统计量，所以方差分析又差分析的统计量，所以方差分析又称 F 检验。 � 将所研究的对象分为多个处理组将所研究的对象分为多个处理组将所研究的对象分为多个处理组将所研究的对象分为多个处理组,施加不同的干预，施加的干预称为处理因素（预，施加的干预称为处理因素（预，施加的干预称为处理因素（预，施加的干预称为处理因素（factor），处理因素至少有两个水平素至少有两个水平素至少有两个水平素至少有两个水平(level) (level) (level) (level)。用这类资料的样本信。用这类资料的样本信。用这类资料的样本信。用这类资料的样本信息来推断各处理组间多个总体均数是否存在差息来推断各处理组间多个总体均数是否存在差息来推断各处理组间多个总体均数是否存在差息来推断各处理组间多个总体均数是否存在差别，常采用的统计分析方法为方差分析别，常采用的统计分析方法为方差分析别，常采用的统计分析方法为方差分析别，常采用的统计分析方法为方差分析(analysis (analysis (analysis (analysis of variance, ANOVA) of variance, ANOVA) of variance, ANOVA) of variance, ANOVA)。方差分析 (ANOVA) (ANOVA) (ANOVA) (ANOVA) 5 方差分析基本思想方差分析基本思想方差分析基本思想方差分析基本思想基于变异分解的原理，在单因素方差分析中，整个基于变异分解的原理，在单因素方差分析中，整个基于变异分解的原理，在单因素方差分析中，整个基于变异分解的原理，在单因素方差分析中，整个样本的变异可以看成由如下两部分组成：样本的变异可以看成由如下两部分组成：样本的变异可以看成由如下两部分组成：样本的变异可以看成由如下两部分组成：总变异＝随机变异总变异＝随机变异总变异＝随机变异总变异＝随机变异＋处理因素导致的变异处理因素导致的变异处理因素导致的变异处理因素导致的变异总变异＝组内变异总变异＝组内变异总变异＝组内变异总变异＝组内变异＋组间变异 F＝ MS组间 MS组内理论上F值应等于1。由于抽样误差的影响，。由于抽样误差的影响，。由于抽样误差的影响，。由于抽样误差的影响， F值一般不会为1，而是接近1，但如果处理因素确有作用，则组间变，但如果处理因素确有作用，则组间变，但如果处理因素确有作用，则组间变，但如果处理因素确有作用，则组间变异会远大于组内均方，异会远大于组内均方，异会远大于组内均方，异会远大于组内均方， F值将明显大于1，大到多少才有统，大到多少才有统，大到多少才有统，大到多少才有统计意义？可以通过计意义？可以通过计意义？可以通过计意义？可以通过F界值表作出统计推断。界值表作出统计推断。界值表作出统计推断。界值表作出统计推断。 6

一、方差分析的基本思想 • SS总=SS组间+SS组内 υ总= υ组间+υ 组内 � 假设两样本来自同一总体。假设两样本来自同一总体。假设两样本来自同一总体。假设两样本来自同一总体。 • H0：μ1＝ μ2 ＝ μ3 • 这时 � = T+E = T+E = T+E = T+E F＝ MS组间 MS组内 E H0成立则理论上F值=1 若处理起作用，则组间变异会增大，若处理起作用，则组间变异会增大，若处理起作用，则组间变异会增大，若处理起作用，则组间变异会增大，F值>1 处理因素作用随机因素作用 7 组间变异总变异组内变异总变异的分解 8 �方差是描述变异的一种指标，方方差是描述变异的一种指标，方方差是描述变异的一种指标，方方差是描述变异的一种指标，方差分析是一种假设检验的方法。方差分析是一种假设检验的方法。方差分析是一种假设检验的方法。方差分析是一种假设检验的方法。方差分析也就是对变异的分析。 �是对总变异进行分析。看总变异进行分析。看总变异进行分析。看总变异进行分析。看总变异是由哪些部分组成由哪些部分组成由哪些部分组成由哪些部分组成的，这些部分间的，这些部分间的，这些部分间的，这些部分间的关系如何。 9 第一节方差分析的基本思想方差分析的基本思想方差分析的基本思想方差分析的基本思想 � 根据研究目的和设计要求将根据研究目的和设计要求将根据研究目的和设计要求将根据研究目的和设计要求将总变异分解成几个部分，通过F检验，来分析影响总变异的各因素的检验，来分析影响总变异的各因素的检验，来分析影响总变异的各因素的检验，来分析影响总变异的各因素的效应及因素间的交互效应。效应及因素间的交互效应。效应及因素间的交互效应。效应及因素间的交互效应。 � 方差分析时，一般因素越多，总变异就被分解得方差分析时，一般因素越多，总变异就被分解得方差分析时，一般因素越多，总变异就被分解得方差分析时，一般因素越多，总变异就被分解得越细，误差部分就越小，从而提高了检验效率。越细，误差部分就越小，从而提高了检验效率。越细，误差部分就越小，从而提高了检验效率。越细，误差部分就越小，从而提高了检验效率。 10 � 根据变异的来源，将全部观察值根据变异的来源，将全部观察值根据变异的来源，将全部观察值根据变异的来源，将全部观察值总的离均差平方和及自由度分解为两个或多个部分，除随机分解为两个或多个部分，除随机分解为两个或多个部分，除随机分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变异可由某些特定因误差外，其余每个部分的变异可由某些特定因误差外，其余每个部分的变异可由某些特定因误差外，其余每个部分的变异可由某些特定因素的作用加以解释。素的作用加以解释。素的作用加以解释。素的作用加以解释。 � 通过比较不同来源变异的方差（也叫均方通过比较不同来源变异的方差（也叫均方通过比较不同来源变异的方差（也叫均方通过比较不同来源变异的方差（也叫均方 MS），借助F分布做出统计推断，从而判断某分布做出统计推断，从而判断某分布做出统计推断，从而判断某分布做出统计推断，从而判断某因素对观察指标有无影响。因素对观察指标有无影响。因素对观察指标有无影响。因素对观察指标有无影响。 11 方差分析应用条件：方差分析应用条件：方差分析应用条件：方差分析应用条件： � 1、各样本是相互独立的随机样本，均服从正态分布； � 2、各样本的总体方差相等，即、各样本的总体方差相等，即、各样本的总体方差相等，即、各样本的总体方差相等，即方差齐性。 12

完全随机设计的方差分析 �只研究一个因素只研究一个因素只研究一个因素只研究一个因素(可有多个水平,如k个水平) ,故称单因素设计。它是将每个试故称单因素设计。它是将每个试故称单因素设计。它是将每个试故称单因素设计。它是将每个试验对象随机地分配到验对象随机地分配到验对象随机地分配到验对象随机地分配到k个水平组(处理组) 中。 �k个处理组样本含量最好相等个处理组样本含量最好相等个处理组样本含量最好相等个处理组样本含量最好相等,但也可以不等。 14 例 6.1 三组大鼠 GSH 值（mg/gprot）甲乙丙合计 79.81 87.58 60.29 80.60 70.73 62.63 … … … 104.28 80.36 46.56 72.29 56.40 55.23 全部数据 12 12 12 36 83.15 75.63 52.27 70.35 12.30 11.07 10.85 17.35 三种变异： • 组内数据的变异组内数据的变异组内数据的变异组内数据的变异 ——> 组内变异 • 三组之间数据的变异三组之间数据的变异三组之间数据的变异三组之间数据的变异 ——> 组间变异 • 全部数据间的变异全部数据间的变异全部数据间的变异全部数据间的变异 ——> 总变异 15 组内变异(SSe) � 组内各个观测值组内各个观测值组内各个观测值组内各个观测值与本组内均值之差的平方和。反映了组内（同一和。反映了组内（同一和。反映了组内（同一和。反映了组内（同一水平下）样本的随机波水平下）样本的随机波水平下）样本的随机波水平下）样本的随机波动。 2 1 1 ( ) i k i n j SSe Xij X i =∑∑ − = = Xij 30 40 50 60 70 80 90 100 110 甲乙丙 X甲 X乙 X 丙 Xi X ij 16 组间变异（SSTR） � 组内均值与总均值之差的平方和组内均值与总均值之差的平方和组内均值与总均值之差的平方和组内均值与总均值之差的平方和 2 1 SS n (X X ) i k i TR = ∑ i − = 反映了：处理因素各个水平组间的处理因素各个水平组间的处理因素各个水平组间的处理因素各个水平组间的差异，同时也包含了随机差异，同时也包含了随机差异，同时也包含了随机差异，同时也包含了随机误差。 Xi X 30 40 50 60 70 80 90 100 110 甲乙丙 X X甲 X乙 X 丙 17 总变异（SST）全部测量值大小不同，这种变异称为全部测量值大小不同，这种变异称为全部测量值大小不同，这种变异称为全部测量值大小不同，这种变异称为总变异，以各测量值总变异，以各测量值总变异，以各测量值总变异，以各测量值Xij与总均数间的差异度量。间的差异度量。间的差异度量。间的差异度量。 Xij ∑∑ = = = − k i n j T ij i SS X X 1 1 2 ( ) 30 40 50 60 70 80 90 100 110 甲乙丙 X X 18

方差分析基本思想方差分析基本思想方差分析基本思想方差分析基本思想基于变异分解的原理，在单因素方差分析中，整个基于变异分解的原理，在单因素方差分析中，整个基于变异分解的原理，在单因素方差分析中，整个基于变异分解的原理，在单因素方差分析中，整个样本的变异可以看成由如下两部分组成：样本的变异可以看成由如下两部分组成：样本的变异可以看成由如下两部分组成：样本的变异可以看成由如下两部分组成：总变异＝随机变异总变异＝随机变异总变异＝随机变异总变异＝随机变异＋处理因素导致的变异处理因素导致的变异处理因素导致的变异处理因素导致的变异总变异＝组内变异总变异＝组内变异总变异＝组内变异总变异＝组内变异＋组间变异 F＝ MS组间 MS组内理论上F值应等于1。由于抽样误差的影响，。由于抽样误差的影响，。由于抽样误差的影响，。由于抽样误差的影响， F值一般不会为1，而是接近1，但如果处理因素确有作用，则组间，但如果处理因素确有作用，则组间，但如果处理因素确有作用，则组间，但如果处理因素确有作用，则组间变异会远大于组内均方，变异会远大于组内均方，变异会远大于组内均方，变异会远大于组内均方， F值将明显大于1，大到多少才有统计意义？可以通过有统计意义？可以通过有统计意义？可以通过有统计意义？可以通过F界值表作出统计推断。界值表作出统计推断。界值表作出统计推断。界值表作出统计推断。 19 一、方差分析的基本思想 • SS总=SS组间+SS组内 υ总= υ组间+ υ组内 � 假设样本来自同一总体。假设样本来自同一总体。假设样本来自同一总体。假设样本来自同一总体。 • H0：μ1＝ μ2 ＝ μ3 • 这时 � = T+E F＝ MS组间 MS组内 E H0成立则理论上F值=1 若处理起作用，则组间变异会增大，若处理起作用，则组间变异会增大，若处理起作用，则组间变异会增大，若处理起作用，则组间变异会增大，F值>1 处理因素作用随机因素作用 20 组间变异总变异组内变异总变异的分解 21 总变异的分解 � 每个观察值与总均数不同： � 可以分解为：观察值与组均数的差异：组均数与总均数的差异： � 即： x x ij − ij x i x − x xi − x x x (x x ) (x x) ij − = ij − i + i − 22 总离均差平方和总离均差平方和总离均差平方和总离均差平方和 ( 1) ( ) 2 1 1 2 = − ∑∑ − = = S n SS x x k i n j ij i 总＝ 1. 总变异 X SS总反映：所有测量值之间总的变异程度反映：所有测量值之间总的变异程度反映：所有测量值之间总的变异程度反映：所有测量值之间总的变异程度 SS总=各测量值Xij与总均数差值的平方和全部观测值的方差 23 2.组间变异（SSTR） � 组内均值与总均值之差的平方和组内均值与总均值之差的平方和组内均值与总均值之差的平方和组内均值与总均值之差的平方和 2 1 SS n (X X ) i k i TR = ∑ i − = 反映了：处理因素各个水平组间的处理因素各个水平组间的处理因素各个水平组间的处理因素各个水平组间的差异，同时也包含了随机差异，同时也包含了随机差异，同时也包含了随机差异，同时也包含了随机误差。 Xi X 30 40 50 60 70 80 90 100 110 甲乙丙 X X甲 X乙 X 丙 24

组内离均差平方和组内离均差平方和组内离均差平方和组内离均差平方和总组间组内－＝ SS SS SS x x n S k i i i k i n j ij i i = ⎥ = − ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∑ ∑ − ∑ = = =1 2 1 1 2 ( ) ( 1) m i 3. 组内变异在同一处理组内，虽然每个受试对象接受的处理相在同一处理组内，虽然每个受试对象接受的处理相在同一处理组内，虽然每个受试对象接受的处理相在同一处理组内，虽然每个受试对象接受的处理相同，但测量值仍各不相同，这种变异称为组内变异。同，但测量值仍各不相同，这种变异称为组内变异。同，但测量值仍各不相同，这种变异称为组内变异。同，但测量值仍各不相同，这种变异称为组内变异。 SS组内仅仅反映了随机误差的影响。也称仅仅反映了随机误差的影响。也称仅仅反映了随机误差的影响。也称仅仅反映了随机误差的影响。也称SS误差 25 三种“变异”之间的关系，且 ν总 =ν组间 +ν组内组内变异 SS 组内：随机误差组间变异 SS 组间：处理因素 + 随机误差 26 均方(mean square (mean square (mean square (mean square，MS) 变异程度除与离均差平方和的大小有关外，还与其自由度有关，由于各部分自由度不相等，因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将各部分离均差平方和除以相应自由度，其比值称为均方差，简称均方(mean square (mean square (mean square (mean square，MS)。组间均方和组内均方的计算公式为 : SS MS ν = 组间组间组间 SS MS ν = 组内组内组内 27 均方之比＝F value 如果各组样本的总体均数相等（ H0： … ），即各处理组的样本来自相同总体，无处理因素的作用，则组间变异同组内变异一样，只反映随机误差作用的大小。组间均方与组内均方的比值称为 F 统计量， F 值接近于 l，就没有理由拒绝 H0；反之，F 值越大，拒绝 H0 的理由越充分。数理统计的理论证明，当 H0 成立时，F 统计量服从 F 分布。 28 单因素方差分析的计算公式单因素方差分析的计算公式单因素方差分析的计算公式单因素方差分析的计算公式变异来源离均差平方和 SS 自由度 υ 均方 MS F 总变异 N－1 组间变异 k－1 组内变异 N－k ( 1) ( ) 2 1 1 2 = − ∑ ∑ − = = S n SS x x k i n j ij i 总＝ ∑ = = − k i i i SS n x x 1 2 组间 ( ) 组间组间 νSS 组内组内 νSS 组内组间 MS MS 其中： N = ∑ni , k为处理组数 ∑ = = − k i SS ni S i 1 2 组内 ( 1) 29 F分布 � F分布有两个自由度，组间自由度和组内自由度； � F分布是一种偏态分布。 30

石河子大学：《医学统计学》课程教学课件（非预防专业）第06章 方差分析

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