石河子大学：《医学统计学》课程教学课件（非预防专业）第10章线性相关与回归.pdf

第十章线性相关与回归 (Linear Correlation & Regression ) (Linear Correlation & Regression ) (Linear Correlation & Regression ) (Linear Correlation & Regression ) 预防医学系芮东升 1 线性相关与回归线性相关与回归线性相关与回归线性相关与回归第一节线性相关第二节线性回归第三节线性相关与回归的区别和联系线性相关与回归的区别和联系线性相关与回归的区别和联系线性相关与回归的区别和联系第三节等级相关 2 一、线性相关的基本概念一、线性相关的基本概念一、线性相关的基本概念一、线性相关的基本概念二、线性相关系数二、线性相关系数二、线性相关系数二、线性相关系数三、相关系数的显著性检验三、相关系数的显著性检验三、相关系数的显著性检验三、相关系数的显著性检验四、进行线性相关分析的注意事项四、进行线性相关分析的注意事项四、进行线性相关分析的注意事项四、进行线性相关分析的注意事项线性相关（linear correlation) 3 � 线性相关(linear correlation)又称简单相关(simple correlation)，用于双变量正态分布(bivariate normal distribution)资料。其性质可由散点图直观的说明。目的：研究两个变量X,Y数量上的相关关系。数量上的相关关系。数量上的相关关系。数量上的相关关系。 � 特点：统计关系一、线性相关的基本概念一、线性相关的基本概念一、线性相关的基本概念一、线性相关的基本概念 4 150 160 170 180 190 52 50 48 46 44 42 40 一、线性相关的基本概念一、线性相关的基本概念一、线性相关的基本概念一、线性相关的基本概念为直观地判断两个变量之间的关系，可在直角坐标系中把每为直观地判断两个变量之间的关系，可在直角坐标系中把每为直观地判断两个变量之间的关系，可在直角坐标系中把每为直观地判断两个变量之间的关系，可在直角坐标系中把每对（Xi,Yi）值所代表的点绘出来，形成散点图。例如）值所代表的点绘出来，形成散点图。例如）值所代表的点绘出来，形成散点图。例如）值所代表的点绘出来，形成散点图。例如12名男青年身高与前臂长资料绘制的散点图如图所示：年身高与前臂长资料绘制的散点图如图所示：年身高与前臂长资料绘制的散点图如图所示：年身高与前臂长资料绘制的散点图如图所示： 5 6

若一个变量X由小到大（或由大到小），另由小到大（或由大到小），另由小到大（或由大到小），另由小到大（或由大到小），另一变量Y亦相应地由小到大或由大到小，则两个亦相应地由小到大或由大到小，则两个亦相应地由小到大或由大到小，则两个亦相应地由小到大或由大到小，则两个变量的散点图呈直线趋势，我们称这种现象为变量的散点图呈直线趋势，我们称这种现象为变量的散点图呈直线趋势，我们称这种现象为变量的散点图呈直线趋势，我们称这种现象为共变，也就是这两个变量之间有，也就是这两个变量之间有，也就是这两个变量之间有，也就是这两个变量之间有“相关关系”。男青年身高与前臂长散点呈直线趋势，即男青男青年身高与前臂长散点呈直线趋势，即男青男青年身高与前臂长散点呈直线趋势，即男青男青年身高与前臂长散点呈直线趋势，即男青年身材高，前臂亦长，说明身高与前臂长之间存年身材高，前臂亦长，说明身高与前臂长之间存年身材高，前臂亦长，说明身高与前臂长之间存年身材高，前臂亦长，说明身高与前臂长之间存在线性相关关系我们把这种关系称为在线性相关关系我们把这种关系称为在线性相关关系我们把这种关系称为在线性相关关系我们把这种关系称为直线相关。 7 � 1、正相关：y随x的增大而增大，有直线上升的趋势，x与y的变化是同向的； � 2、负相关：y随x的增大而减少，有直线下降的趋势，x与y的变化是反向的； � 3、零相关：无论x增大或减少，y的大小均不受影响； � 4、非线性相关：点的排列呈现某种曲线趋势；两变量间线性相关的性质和密切程度，可以用相关系数 r 表示 8 线性相关用于双变量正态资料双变量正态资料双变量正态资料双变量正态资料。它的性质可由散点图直观地说明。散点图中点的分布即线性相关的观地说明。散点图中点的分布即线性相关的观地说明。散点图中点的分布即线性相关的观地说明。散点图中点的分布即线性相关的方向和相关之间的密切程度，可分为以下几种情况：，可分为以下几种情况：，可分为以下几种情况：，可分为以下几种情况： 1. 1. 1. 1.正相关 2.负相关 3.无相关 9 y x r =-1 y x r =-0.8 y x r =-0.6 y x r =-0.4 10 相关系数的意义与计算 1、意义：相关系数、意义：相关系数、意义：相关系数、意义：相关系数（correlation coefficient correlation coefficient correlation coefficient correlation coefficient）又称 Pearson Pearson Pearson Pearson积差相关系数，用来说明两个随机变量间线性相关积差相关系数，用来说明两个随机变量间线性相关积差相关系数，用来说明两个随机变量间线性相关积差相关系数，用来说明两个随机变量间线性相关关系的密切程度与相关方向。关系的密切程度与相关方向。关系的密切程度与相关方向。关系的密切程度与相关方向。以符号r表示样本相关系数，符号表示其总体相关系数。 2. 计算：样本相关系数的计算公式为 xx yy xy L L L X X Y Y X X Y Y r = − − − − = ∑ ∑ ∑ 2 2 ( ) ( ) ( )( ) 11 相关系数的特点 1.相关系数r是一个无量纲的数值,且 -1≤r≤1; 2.r>0为正相关,r<0为负相关; 3./r/越接近于1,说明相关性越好./r/越接近于 0,说明相关性越差. 12

例10.1 从男青年总体中随机抽取11名男青年组成样本，分别测量每个男青年的身高和前臂长，，分别测量每个男青年的身高和前臂长，，分别测量每个男青年的身高和前臂长，，分别测量每个男青年的身高和前臂长，身高和前臂长均以身高和前臂长均以身高和前臂长均以身高和前臂长均以cm为单位，测量结果如下表为单位，测量结果如下表为单位，测量结果如下表为单位，测量结果如下表所示，试计算身高与前臂长之间的相关系数。所示，试计算身高与前臂长之间的相关系数。所示，试计算身高与前臂长之间的相关系数。所示，试计算身高与前臂长之间的相关系数。编号身高（cm）前臂长（cm） XY X2 Y2 (X) (Y) 1 170 47 7990 28900 2209 2 173 42 7266 29929 1764 3 160 44 7040 25600 1936 4 155 41 6355 24025 1681 5 173 47 8131 29929 2209 6 188 50 9400 35344 2500 7 178 47 8366 31684 2209 8 183 46 8418 33489 2116 9 180 49 8820 32400 2401 10 165 43 7095 27225 1849 11 166 44 3174 28561 2116 合计 1891 500 86185 326081 22810 13 解：， =1891， =89599， =500， =22810， =86185。代入公式(10-2)，得： 1000 .909 11 1891 326081 ( ) 2 2 2 = ∑ − = − = ∑ nX L XX X 82 .727 11 500 22810 ( ) 2 2 2 = ∑ − = − = ∑ nY LYY Y 按公式（10-1）计算相关系数是否相关？方向和密切程度？ 14 r = ？ r = ？通过样本计算的 r 值存在抽样误差，只有假设检验才能推断只有假设检验才能推断只有假设检验才能推断只有假设检验才能推断 15 总体相关程度及方向。相关程度及方向。相关程度及方向。相关程度及方向。三、相关系数的显著性检验三、相关系数的显著性检验三、相关系数的显著性检验三、相关系数的显著性检验与前面讲的其它统计量一样，根据样本资料计算出与前面讲的其它统计量一样，根据样本资料计算出与前面讲的其它统计量一样，根据样本资料计算出与前面讲的其它统计量一样，根据样本资料计算出来的相关系数同样存在来的相关系数同样存在来的相关系数同样存在来的相关系数同样存在抽样误差。即假设在一个。即假设在一个。即假设在一个。即假设在一个X与Y 无关总体中作随机抽样，由于抽样误差的影响，所得无关总体中作随机抽样，由于抽样误差的影响，所得无关总体中作随机抽样，由于抽样误差的影响，所得无关总体中作随机抽样，由于抽样误差的影响，所得的样本相关系数也常常不等于零。的样本相关系数也常常不等于零。的样本相关系数也常常不等于零。的样本相关系数也常常不等于零。因此要判断两个变量因此要判断两个变量因此要判断两个变量因此要判断两个变量X与Y是否真的存在相关关系，是否真的存在相关关系，是否真的存在相关关系，是否真的存在相关关系，仍需根据作总体相关系数ρ是否为零的假设检验。 16 常用的检验方法有两种常用的检验方法有两种常用的检验方法有两种常用的检验方法有两种: 1.按自由度直接查附表按自由度直接查附表按自由度直接查附表按自由度直接查附表11的界值表，得到的界值表，得到的界值表，得到的界值表，得到P 值。 n 2 1 r r 0 t 2 r − − − = ν = n − 2 2.用假设检验法，计算统计量，其公式为： 17 第一种方法 1. 建立检验假设：，即身高与前臂长之间不存在相关关系：；即身高与前臂长之间存在相关关系 2. 计算统计量 =11， =0.8012，自由度 =11-2=9， 3．查 r 界值表，得统计结论查 r 界值表（附表 11），得，因为 r > ，故 P＜0.005，按水准拒绝 H 0 接受 H 1 ，可以认为男青年身高与前臂长之间存在正相关关系。 18

第二种方法 1. 建立同样的检验假设 2. 计算统计量 4 .017 11 2 1 0 .8012 0 .8012 0 2 = − − − t r = ν=11-2=9 3. 查界值表，得统计结论查界值表，得，，P ＜ 0.005，结果与查界值表一致。 19 四、进行线性相关分析的注意事项四、进行线性相关分析的注意事项四、进行线性相关分析的注意事项四、进行线性相关分析的注意事项 ⒈ 线性相关表示两个变量之间的相互关系是双向线性相关表示两个变量之间的相互关系是双向线性相关表示两个变量之间的相互关系是双向线性相关表示两个变量之间的相互关系是双向的，分析两个变量之间到底有无相关关系可首的，分析两个变量之间到底有无相关关系可首的，分析两个变量之间到底有无相关关系可首的，分析两个变量之间到底有无相关关系可首先绘制散点图，散点图呈现出直线趋势时，再，散点图呈现出直线趋势时，再，散点图呈现出直线趋势时，再，散点图呈现出直线趋势时，再作分析。 ⒉ 相关系数的计算只适用于相关系数的计算只适用于相关系数的计算只适用于相关系数的计算只适用于双变量正态分布双变量正态分布双变量正态分布双变量正态分布的情形，如果资料不服从正态分布，应先通过变量情形，如果资料不服从正态分布，应先通过变量情形，如果资料不服从正态分布，应先通过变量情形，如果资料不服从正态分布，应先通过变量变换，使之正态化，再根据变换值计算相关系变换，使之正态化，再根据变换值计算相关系变换，使之正态化，再根据变换值计算相关系变换，使之正态化，再根据变换值计算相关系数，如果不符合条件应进行数，如果不符合条件应进行数，如果不符合条件应进行数，如果不符合条件应进行秩相关计算。 20 慎用相关的情形 21 (a)异常值 (b)分层资料 (c) 、(d)分层资料慎用相关的情形 22 四、进行线性相关分析的注意事项四、进行线性相关分析的注意事项四、进行线性相关分析的注意事项四、进行线性相关分析的注意事项 ⒊ 依据公式计算出的相关系数仅是样本相关系依据公式计算出的相关系数仅是样本相关系依据公式计算出的相关系数仅是样本相关系依据公式计算出的相关系数仅是样本相关系数，它是总体相关系数的一个估计值，与总体数，它是总体相关系数的一个估计值，与总体数，它是总体相关系数的一个估计值，与总体数，它是总体相关系数的一个估计值，与总体相关系数之间存在着相关系数之间存在着相关系数之间存在着相关系数之间存在着抽样误差，要判断两个事，要判断两个事，要判断两个事，要判断两个事物之间有无相关及相关的密切程度，必须作物之间有无相关及相关的密切程度，必须作物之间有无相关及相关的密切程度，必须作物之间有无相关及相关的密切程度，必须作假设检验。 23 四、进行线性相关分析的注意事项四、进行线性相关分析的注意事项四、进行线性相关分析的注意事项四、进行线性相关分析的注意事项 ⒋ 相关分析是用相关系数来描述两个变量间相互相关分析是用相关系数来描述两个变量间相互相关分析是用相关系数来描述两个变量间相互相关分析是用相关系数来描述两个变量间相互关系的密切程度和方向，而两个事物之间的关关系的密切程度和方向，而两个事物之间的关关系的密切程度和方向，而两个事物之间的关关系的密切程度和方向，而两个事物之间的关系既可能是依存因果关系，也可能仅是相互伴系既可能是依存因果关系，也可能仅是相互伴系既可能是依存因果关系，也可能仅是相互伴系既可能是依存因果关系，也可能仅是相互伴随的数量关系。随的数量关系。随的数量关系。随的数量关系。决不可因为两事物间的相关系决不可因为两事物间的相关系决不可因为两事物间的相关系决不可因为两事物间的相关系数有统计学意义，就认为两者之间存在着因果数有统计学意义，就认为两者之间存在着因果数有统计学意义，就认为两者之间存在着因果数有统计学意义，就认为两者之间存在着因果关系，要证明两事物间确实存在因果关系，必要证明两事物间确实存在因果关系，必要证明两事物间确实存在因果关系，必要证明两事物间确实存在因果关系，必须凭借专业知识加以阐明。须凭借专业知识加以阐明。须凭借专业知识加以阐明。须凭借专业知识加以阐明。 24

思考题： 1. 已知：r=0.8 , r=0.8 , r=0.8 , r=0.8 ,结论：两变量密切相关。结论：两变量密切相关。结论：两变量密切相关。结论：两变量密切相关。 2.已知：r=0.8，P<α,结论：两变量密切相关。结论：两变量密切相关。结论：两变量密切相关。结论：两变量密切相关。 3.已知：r=0.08，P<α,结论：? 25 一、线性回归的基本概念一、线性回归的基本概念一、线性回归的基本概念一、线性回归的基本概念二、线性回归方程的计算二、线性回归方程的计算二、线性回归方程的计算二、线性回归方程的计算三、线性回归方程的显著性检验三、线性回归方程的显著性检验三、线性回归方程的显著性检验三、线性回归方程的显著性检验四、进行线性回归分析的注意事项四、进行线性回归分析的注意事项四、进行线性回归分析的注意事项四、进行线性回归分析的注意事项第二节线性回归（linear regression) linear regression) linear regression) linear regression) 26 英国人类学家 F.Galton首次在《自然遗传》一书中，提出并阐明了“相关”和“相关系数”两个概念，为相关论奠定了基础。其后，他和英国统计学家 Karl Pearson对上千个家庭的身高、臂长等指标做了测量，发现：历史背景： 27 � 儿子身高（Y，英寸）与父亲身高（X，英寸）存在线性关系： � 也即高个子父代的子代在成年之后的身高平均来说不是更高，而是稍矮于其父代水平，而矮个子父代的子代的平均身高不是更矮，而是稍高于其父代水平。Galton将这种趋向于种族稳定的现象称之“回归”。 ˆY X = + 33.73 0.516 28 29 “回归”已成为表示变量之间某种数量依存关系的统计学术语，并且衍生出“回归方程” “回归系数”等统计学概念。如研究糖尿病人血糖与其胰岛素水平的关系，研究儿童年龄与体重的关系等。 30

石河子大学：《医学统计学》课程教学课件（非预防专业）第10章 线性相关与回归

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