定理7 定理7:设F,G为二集合,则 (FoG)=G0F-1 G 1 《集合论与图论》第6讲
《集合论与图论》第6讲 6 定理7 定理7: 设F,G为二集合, 则 (F○G)-1 = G-1○F-1. G G-1 F F-1
定理7(证明) (FoG)1=G-1oF- 证明:V<x, x,y>∈(FoG <yxX>∈(FoG) 分→丑2(GFx)÷z(G1yxF12) 台→丑2(xF1AG1y) 台<X,>∈GoF1.# 《集合论与图论》第6讲
《集合论与图论》第6讲 7 定理7(证明) (F○G)-1 = G-1○F-1 证明: ∀<x,y>, <x,y>∈(F○G)-1 ⇔ <y,x>∈(F○G) ⇔ ∃z(yGz∧zFx)⇔∃z(zG-1y∧xF-1z) ⇔ ∃z((xF-1z∧zG-1y) ⇔ <x,y>∈G-1○F-1. # y x z
定理8 定理8:设R,SAB,,为集合,1≠,则 1)R↑(AB)=(R个A(R个B); (2)R个U=U{R个A|AE小 3)R↑AB)=(R个A(R个B) (4)R个∩=∩{R个A|A∈丹 (5)(R0S)个A=R(S↑) 《集合论与图论》第6讲
《集合论与图论》第6讲 8 定理8 定理8: 设R,S,A,B,A,为集合,A≠∅,则 (1) R↑(A∪B) = (R↑A)∪(R↑B); (2) R↑∪A = ∪{ R↑A | A∈A}; (3) R↑(A∩B) = (R↑A)∩(R↑B); (4) R↑∩A = ∩{ R↑A | A∈A}; (5) (R○S)↑A = R○(S↑A).
定理8(证明(2) (2)R个UA=U{R个A|A∈对 秦证明:V<xy>,X(R↑U小y台XRy∈U 分XRy∧丑A(A∈AAX∈A) →A(XRy∧X∈AAA∈) 引A(X( RTAJYAA∈n) 台X(U{R个A|A∈丹y R个U=U{R个A|A∈ 《集合论与图论》第6讲
《集合论与图论》第6讲 9 定理8(证明(2)) (2) R↑∪A = ∪{ R↑A | A∈A}; 证明: ∀<x,y>, x(R↑∪A)y ⇔ xRy∧x∈∪A ⇔ xRy ∧ ∃A( A∈A ∧ x∈A ) ⇔ ∃A( xRy ∧x∈A ∧A∈A ) ⇔ ∃A( x(R↑A)y ∧ A∈A ) ⇔ x(∪{ R↑A | A∈A} )y. ∴ R↑∪A = ∪{ R↑A | A∈A}
定理8(证明(4) (4)R个∩=∩{R个A|A∈;(=0) 证明<xy>,x(R个∩y分XRyX∈∩ (0XRy)八X∈n(A(A∈XRy)八X∈∩ ≌A( AE AVXRy)AAA∈A∈A) 台A(A∈XRy)(_A∈XA) A(Ae(XRyX∈A)A(Ae小XR个A)y) AAR个Ay)分x(∩{R^A|Aey R个∩=∩R个AA丹 《集合论与图论》第6讲
《集合论与图论》第6讲 10 定理8(证明(4)) (4) R↑∩A = ∩{ R↑A | A∈A}; (A≠∅) 证明:∀<x,y>, x(R↑∩A)y ⇔ xRy∧x∈∩A ⇔(0∨xRy)∧x∈∩A ⇔(∀A(¬A∈A)∨xRy)∧x∈∩A ⇔∀A(¬A∈A∨xRy)∧∀A(A∈A→x∈A) ⇔∀A((¬A∈A∨xRy)∧(¬A∈A∨x∈A)) ⇔∀A(¬A∈A∨((xRy)∧ x∈A))⇔∀A(¬A∈A)∨x(R↑A)y) ⇔∀A(A∈A→x(R↑A)y)⇔ x(∩{ R↑A | A∈A} )y. ∴ R↑∩A = ∩{ R↑A | A∈A}