§A.1条统的稳定性 系统的稳定及其条件 a稳定糸统:对有限(有界)的激励只能产生有限(有界)响应的糸钪。 若激励函数:e(t)≤Me0≤t≤M为有限的正实数 则响应函数:(O)≤M0≤1≤∞M为有限的正实数 b.从表征糸统特征的冲激响应h(t)得 系统稳定的充要条件是:h(x) 充分性说明:由r(1)=h(t)*e(t) r(O)s()+M=M(x)女 若存在(x)a<(有限)→()有限即系统定 必要性的说明: l,h(t)<0 不妨对条统拖加特定激勋:以()=sgbm)=10.()=0 l,h(t)>0 rO)=从x(x)→(0)三上Mx)x=上x
§4.11 系统的稳定性 一、系统的稳定及其条件 a.稳定系统：对有限(有界)的激励只能产生有限(有界)响应的系统。 则响应函数 为有限的正实数 若激励函数 为有限的正实数 r t Mr t Mr e t Me t Me : ( ) 0 : ( ) 0 − = = r t h t Me Me h x dx r t h t e t ( ) ( ) * ( ) 由 ( ) ( )* ( ) h x dx r t ( ) ( ) ( ) − 若存在 有限 有限, − 系统稳定的充要条件是: h(x) dx 必要性的说明: 不妨对系统施加特定激励： − − − r(t) = h(x)e(t − x)dx r(0) = h(x)e(−x)dx = h(x) dx = − = = 1, ( ) 0 0, ( ) 0 1, ( ) 0 (- ) sgn[ ( )] h t h t h t e t h t b.从表征系统特征的冲激响应h(t)得 充分性说明: 即,系统稳定
若」(x)b无界则有r(0)无界说明至少有一个特定的激励会 使系统产生无界响应 故」M(x)女<∞是系统稳定的必要条件 稳定糸统h(t)的特征:h(t)除在t=0处可以有孤立的冲激外, 都应是有限的:h()<M0<t< 三、因果糸统的稳定性分类 、稳定糸统:在S城中,H(S)全部极点在5左卒平面(不含ⅳ轴) 在城中Imh()=0 2、不稳定糸统:H(S)有极点在5右半平面,或W輻上有三阶以上 极点。h()增长。 3、临界稳定糸统:H(S)极点在ⅳW轴上有单阶的共轭极点或有 在原点处有一阶极点 为非零數值或为等幅振荡
二、因果系统的稳定性分类 . ( ) , (0) , 使系统产生无界响应 h x dx无界 则有r 无界 说明至少有一个特定的激励会 − 故 ( ) 是系统稳定的必要条件. − h x dx 稳定系统h(t)的特征：h(t)除在t=0处可以有孤立的冲激外， 都应是有限的： h(t) M,0 t 1、稳定系统：在S 域中,H(s)全部极点在s 左半平面（不含jw 轴) [ ( )] 0 lim = → h t t 2、不稳定系统：H(s)有极点在s 右半平面，或jw 轴上有二阶以上 极点。h(t)增长。 3、临界稳定系统：H(s)极点在jw轴上有单阶的共轭极点或有 在原点处有一阶极点， h(t)为非零数值或为等幅振荡。 若 在时 域中
例:已知两糸统及其激励,求响应,并判稳。 系统-:H1(s)=1()0=(系统二H2()=23 S2+12e2(1)= sin wot() 解:E1(s) E2(s) S J-+1 R1(S) F1(t)=t() SS S R2(S)= +752+m2()=2smwa S 稳定性分析: 1、自輪入輪出关糸看:輪入有界,輪出无界,糸统不稳定。 2、自h(t)看:两者均不满足绝对可积条件,糸统不稳定。 3、自H(S)的极点位置看:两者在ⅳw軸上有一阶极点,统临界稳 定
例：已知两系统及其激励，求响应，并判稳。 , ( ) ( ); : ( ) , ( ) sin ( ) 1 : ( ) 2 2 0 0 1 1 2 2 e t w t u t s w s e t u t H s s H s = + 系统一 = = 系统二 = 2 0 2 0 1 2 ( ) 1 : ( ) s w w E s s E s + 解 = = ( ) ( ) 1 1 1 ( ) 1 2 1 r t t u t s s s R s = = = sin ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 2 0 0 2 2 0 2 0 2 r t t w t u t s w s s w w R s = + + = 稳定性分析： 1、自输入输出关系看：输入有界，输出无界，系统不稳定。 2、自h(t)看：两者均不满足绝对可积条件，系统不稳定。 3、自H(s)的极点位置看：两者在jw轴上有一阶极点，系统临界稳 定
§412双边拉普拉斯变换(1) 双边拉普拉斯变换 1定义:F(2=LTD()=(e"t 若定义/()=(),≥0 t≥0 如f(t) e Jf6(1),t<0 t<0 则f(t)=f(t)u()+f6()u(-) Fa (s)=LT [f()]=f()e "at=f(t)e tdt+l fa()e sdt=F(s)+Fa(s) 2.收敛域 只有当左边函教与右边函教有公共的 收敛区时,Fd()的收敛城才存在,f(t)的双 i0 边拉氏变换才存在
一、双边拉普拉斯变换 §4.12 双边拉普拉斯变换（1） 1.定义： − − F s = LT f t = f t e dt st d d ( ) [ ( )] ( ) = ( ) , 0 ( ) , 0 ( ) f t t f t t f t b 若定义 a = − , 0 , 0 ( ) e t e t f t at at 如 f (t) f (t)u(t) f (t)u( t) 则 = a + b − ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 F s LT f t f t e dt f t e dt f t e dt F s F s b a s t a s t b s t d = d = = + = + − − − − − 只有当左边函数与右边函数有公共的 收敛区时, Fd(s)的收敛域才存在,f(t)的双 边拉氏变换才存在 2.收敛域 a b a b
3,或边推既文的求解 Ed(s)=Fh(S)+ F(s) F(s)的求法同前述单边变换。 对(言讨论如下:F()=」A 令1=-x有:F(s)=Cf6(-x)er 令p=-有:F2(p)=C1(-x)= 于是F(s)求取步骤为 a.对时间取反,令t=-x,构造右边函数f(-x) b.求(-x)的单边拉普拉斯变换F61(p) C.用-s代替p,求得F(s) OF(S=F(S)+F(S
Fa (s) 的求法同前述单边变换。 对F (s)而言,讨论如下: b − − = 0 F (s) f (t)e dt st b b 令t = −x有: − − = − 0 ( ) F (s) f ( x)e dx s x b b − = − = − 0 1 p s : F ( p) f ( x)e dx px 令 有 b b 于是F (s)求取步骤为: b a. , t x, f ( x) 对时间取反 令 = − 构造右边函数 b − . ( ) ( ) b 求f b −x 的单边拉普拉斯变换Fb1 p c. s p, F (s) 用− 代替 求得 b F (s) F (s) F (s) d = b + a F (s) F (s) F (s) d = b + a 3. f(t)双边拉氏变换的求解