3向量形式 S . y=[k1k2…k 即状态方程 X十 称其为对角线规范形
3.向量形式 即状态方程 称其为对角线规范形. [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ n n n n n x x x y k k k u x x x s s s x x x M L O M M & M & & 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 0 0 u 1 1 1 x 0 0 x 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = O L & n s s s
6 例1.设(6)=()=+67+15+6,试求其状态空间描述 解:其极点为s,=-1,=-2,s.=-3,而待定常数 为 6 k,= LimW(s)(s-S,)=Lim s→-1 1(s+1(s+2+3)(s+1)=3 6 k,=LimW(s)(s-s2)=Lim (S+2)=-6 s→)-2 5→2(S+1)(S+2)(s+3) k3=LimW(S)(S-S3)=Lim (S+3)=3 s→3(S+1)(S+2)(S+3) 相应的状态空间描述为 100 x 0-20x,+1 00 63
例1.5 设 ,试求其状态空间描述. 解: 其极点为 ,而待定常数 为 相应的状态空间描述为 6 11 6 6 ( ) ( ) ( ) 3 2 + + + = = U s s s s Y s W s s1 = − 1,s 2 = − 2,s n = − 3 ( 3 ) 3 ( 1)( 2)( 3 ) 6 ( )( ) ( 2 ) 6 ( 1)( 2)( 3 ) 6 ( )( ) ( 1 ) 3 ( 1)( 2)( 3 ) 6 ( )( ) 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 + = + + + = − = + = − + + + = − = + = + + + = − = → − → − → − → − → − → − s s s s k Lim W s s s Lim s s s s k Lim W s s s Lim s s s s k Lim W s s s Lim s s s s s s [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 6 3 1 1 1 0 0 3 0 2 0 1 0 0 x x x y u x x x x x x & & &
二、控制系统传递函数的极点为重根. 1传递函数的极点为一个重根 形式 w(S) Y(s) k 12 ∴ U(s)(s-s1)"(s-S1) S-S s1为n重极点,1(=12,…m)为待定常数。按下式计算: ki= lir (s)(S-S) S→ (s)=k1U(s)+k1 U(s)+…+kn-U(s) (s-S1)" S-S (1)选择状态变量 x1()= U(s) S-S s-S1(s-8)(s)/1 ,(s
二、控制系统传递函数的极点为重根 . 1.传递函数的极点为一个重根. 形式: s1为 n重极点， 为待定常数。按下式计算： （ 1）选择状态变量 1 1 1 1 12 1 11 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s s k s s k s s k U s Y s W s n n n − + + − + − = = − L [ ] ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( 1)! 1 1 1 1 1 12 1 11 1 1 1 1 1 U s s s U s k s s U s k s s Y s k W s s s ds d i k Lim n n n n i i s s i − + + − + − = − − = − − − → L ( ) 1 ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) 2 1 1 1 1 1 1 x s s s U s s s s s U s s s x s n n − ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = − = − ( 1,2, , ) 1 k i n i = L
x2()=nU(s)= S-S1(S-S1) U(s)= Xn(S S S-S,L(S-S) S- S 2)化为状态变量的一阶方程组 SX()=S,,(S)+x2(s) SX (s)=S1x2(S)+x3(s) (S)=SM,-(S)+x,(s) sx,(s)=S,,()+U(s) 及:Y(S)=k1x(S)+k2x2()+…+k1nx,(S) 对上式进行拉氏反变换
2）化为状态变量的一阶方程组： 及： 对上式进行拉氏反变换： ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 1 1 1 2 1 1 3 1 2 1 1 1 1 2 U s s s x s x s s s U s s s s s U s s s x s x s s s U s s s s s U s s s x s n n n n n n − = − ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = − = − ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = − = − − − L ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 12 2 1 1 1 1 1 2 1 2 3 1 1 1 2 Y s k x s k x s k x s sx s s x s U s sx s s x s x s sx s s x s x s sx s s x s x s n n n n n n n = + + + ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + = + = + = + − − L L
X,=Sx,+x X=S,x + x Sx+x S,x t u k1x1+k12x2+…+k1nx 3)向量形式:x1「1 0 x 2 +|:n约当规范形 x DX 2s2+5s+1 例1.6设W(s) (S-2)3,三重极点为s=2待定常数k,(=12,3)
3）向量形式： 例1.6 设 ,三重极点为s=2,待定常数 n n n n n n n y k x k x k x x s x u x s x x x s x x x s x x 11 1 12 2 1 1 1 1 1 2 1 2 3 1 1 1 2 = + + + ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + = + = + = + − − L & & M & & [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ n n n n x x x y k k k u x x x s s s x x x M L O M M & M & & 2 1 11 12 1 2 1 1 1 1 2 1 1 0 0 0 1 1 1 0 3 2 ( 2 ) 2 5 1 ( ) − + + = s s s W s ( 1,2,3 ) k1i i = 约当规范形