例1.3设系统输入-输出微分方程为 y+6y+11jy+6y=6l 若x1=y,x2=y,xn=j可导出状态方程和输出方程 010 001 +0 xI
例1.3 设系统输入-输出微分方程为: 若 可导出状态方程和输出方程 & y && + 6&y& +11y& + 6y = 6u x y x y x y n = , = & , = && 1 2 u x x x x x x ⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡ +⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡ ⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡− − − =⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡ 600 6 11 6 0 0 1 0 1 0 321 321&&& [ ] ⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡ = 321 1 0 0 xxx y
方程中包含输入函数的导数 形式: +ay1)+…+any+ay=b+h to,thu 状态变量选择原则:使导出的一阶微分方程组右边不出现u的 导数项 1选择状态变量 令: y-B B,,u B2x42)-B1l0-B2 (n-1) Bu Bou-Bu a-1) B n-1 u-B
二、方程中包含输入函数的导数 形式： 状态变量选择原则：使导出的一阶微分方程组右边不出现 u 的 导数项。 1.选择状态变量 令: y a y a y a y b u b u bn u b u n n n n n n 1 0 ( 1) 1 ( ) 1 0 ( 1) 1 ( ) + + + + = + + + − + − − − L & L & ( 1 ) 1 ( 1) 1 ( ) 1 0 1 (1) 2 ( 2) 1 ( 1) 0 ( 1) 2 (1) 1 (2) 0 (2) 3 1 (1) 0 (1) 2 1 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − − − − − = − − − − − = − − − = − − = − − − + − − − − − x y u u u u x y u u u u x y u u u x y u u x y u n n n n n n n n n n n n β β β β β β β β β β β β β β L & L L
式中系数B6B1…Bn待定 定出: Bo=bo 月1=b-a1 B2=b2-aB-a2Bo (2) b=b,,B-a,bn2--a,B-a,B 2导出状态变量的一阶微分方程组和输出关系式 考虑到: x+ax+ n+1 十an1X 12 0 对(1)式求导
式中系数 待定. 定出: 2.导出状态变量的一阶微分方程组和输出关系式. 考虑到: 对(1)式求导: β 0β1Lβ n (2) 1 1 2 2 1 1 0 2 2 1 1 2 0 1 1 1 0 0 0 ⎪⎪⎪⎩ ⎪⎪⎪⎨⎧ = − − − − − = − − = − = β β − β − − β β β β β β β β n bn a n a n an an b a a b a b L L x n +1 + a1 x n + L + a n −1 x 2 + a n x1 = 0
y-Bo Bu j-Bou-Bu=x2+B,u im_=xn+Bnu B,u=-a,x -an-x2-.a,x+ B,u y=x,+B 3化为向量形式 状态方程: B1 0 0 X+ n-1 输出方程: 0…0k+Blu
3.化为向量形式 状态方程: 输出方程: ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + = + = − − − − + = + = − − = + = − = + + − − − y x u x x u a x a x a x u x x u x y u u x u x y u x u n n n n n n n n n n 1 0 1 1 1 2 1 1 1 2 0 1 3 2 1 0 2 1 β β β β β β β β β & L & L & && && & & & & u a a a n n n ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = − β β M L M M O M L L & 1 1 1 0 0 0 0 1 0 x x y [1 0 0 ] x [ ] u = L + β 0
例14系统输出-输入微分方程为: y+18y+192y+640y=160i+640 系数 a1=18,a2=192.a2=640 bo=0,b1=0,b2=160,b3=640 按(2)式求得 Bo=b=0 B1=b1-an=1B6=0 B2=b2-a1B1-a2B6=160 B3=b3-a1B2-a2B1-a32B0=640-18×160=-2240 状态变量为 y-Bou=y j-/0i-B1=y j-60i-B1l-B2=y-160
例1.4 系统输出 -输入微分方程为: 系数: 按(2)式求得 状态变量为 &y&&+18& y& +192 y& + 640 y = 160 u& + 640 u 0, 0, 160, 640 18, 192, 640 0 1 2 3 1 2 3 = = = = = = = b b b b a a a ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − − − = − × = − = − − = = − = = = − 640 18 160 2240 160 0 0 3 3 1 2 2 1 3 0 2 2 1 1 2 0 1 1 1 0 0 0 β β β β β β β β β β b a a a b a a b a b n ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − − − = − = − − = = − = x y u u u y u x y u u y x y u y 160 3 0 1 2 2 0 1 1 0 && && & && & & & β β β β β β