《高等数学》知识点例题讲解：定积分的概念

例2、(估计积分值)证明2<。 dx 2+x 证:2+x 2x-2)习上最大值为 最小值为2

6 例 2、（估计积分值） 证明 2 1 2 x x dx 3 2 1 0 2  + −   证： 2 2 2 1 x 4 9 2 x x       + − = − − 在 0, 1 上最大值为 4 9 ， 最小值为 2 ∴ 2 1 2 x x 1 3 2 2  + −  ∴ 2 1 2 x x 1 3 2 1 0 2  + −  

二、基本定理牛顿一莱伯尼兹公式 1°变上限积分 基本定理:设f(x)在 b连 续,x为a,b)上任意一点 则(x)=∫。f(tt是可导函数,且(x)=f(x) 即∫f(dt=f(x)说明∫f(tut为f(x)的一个原函数。 例3、已知F(x)=J。edt,F(x)=∫。edt,E=∫ae F:(x)=∫ F(x)=∫o(ut E4(x)=∫。xf(t,E(x)=∫。(x-)()灿 求:F(x) WF: F(x)=e-x F(x)=2xe-xF(x)=sinxe-cos'x F x)=cosxe Sine -cosx F(x=xf(x F(x)=」of(1t+xf(x) E()=(对(址() tIntdt 例4、 lim -cosx lim cosxIncosxsIx SInx =-lim cosx lim SInx lin 7

7 二、基本定理 牛顿—莱伯尼兹公式 1 0 变上限积分 基本定理：设 f(x) 在 a, b 连续， x 为 (a, b) 上任意一点， 则 ( ) ( ) =  x a Φ x f t dt 是可导函数，且 Φ(x) = f(x) 即 ( ) ( )  = x a f t dt f x dx d 说明 ( )  x a f t dt 为 f(x) 的一个原函数。 例 3、已知 F (x) e dt x 0 t 1 2  − = ,F (x) e dt 2 x 2 0 t 2  − = ,  − = 1 cosx t 3 2 F e ( )  − = sinx cosx t F4 x e dt 2 , ( ) ( ) =  x 0 F5 x tf t dt , ( ) ( ) =  x 0 F6 x xf t dt ， ( ) ( ) ( ) =  − x 0 F7 x x t f t dt 求： ( )       Fi  x i =1, 2, , 9 解： ( ) ( ) ( ) cos x 3 x 2 x 1 2 4 2 F x e F x 2xe F x sinxe − − −  =  =  = F (x) cosxe sinxe F (x) xf(x) 5 sin x cos x 4 2 2  = +  = − − F (x) f(t)dt xf(x) x 0 6  =  + ( ) ( ) ( ) ( )    =       = − x 0 x 0 x 0 / 7 f t dt ' F x x f t dt tf t dt 例 4、 3 x 0 4 1 cosx x 0 4x cosxlncosx sinx lim x tlntdt lim  = → →  2 x 0 x 0 x 0 x lncosx lim x sinx lim cosx lim 4 1 → → → =   2x cosx sinx lim 4 1 x 0  − = → 8 1 = −