、拉氏变换与傅氏变换的区别 傅氏:FT[f(t]=F)t,W为实数,W表示频率 拉氏:LT(t]=F(s)t为实数,S为复数,S.示复频率 2、傳氏:建立肘城与频蜮的关糸。将肘城信号分解成正孩和 的形式。 拉氐:建立肘堿与S城(复频城)的关糸。将肘城信号分解 成e或 e cow的和的形式。 三、复频蜮与复频率 1、s=σ+jw称复频率 2、以σ为横轴,j为纵轴建立起来的坐标系, 称复平面(s平面
二、拉氏变换与傅氏变换的区别 1、傅氏：FT[f(t)]=F(w) t,w为实数，w表示频率 拉氏：LT[f(t)]=F(s) t为实数，s为复数，s表示复频率 2、傅氏：建立时域与频域的关系。将时域信号分解成正弦和 的形式。 拉氏：建立时域与s域（复频域）的关系。将时域信号分解 成 的和的形式。 三、复频域与复频率 1、s = + jw称复频率 称复平面（ 平面）。 、以 为横轴， 为纵轴建立起来的坐标系， s 2 j w e e wt st t cos 或
3复平面上任意一点对应一个值,s值决定 e=e"e"的值. 4、由5平面上点的位置,易分析e”=e·e"的变化规律 (见下页图) A:o反应幅度变化规律,w反应频率 B:σ大e幅度变化快;大,频率高。 C:一对共轭复频率σ±j对应一个正弦振荡 或指数为包络线的正弦振荡 e(atw)t te(o-n)t=2eot. coswt 、傅立叶变换是拉氏变换的特殊情况: 即:G=0时,s=i
4、由 s平面上点的位置，易分析 的变化规律 (见下页图 ) st t jwt e = e e A：反应幅度变化规律， w反应频率。 B： 大,e st幅度变化快； w大，频率高。 即： = 时，s = j w 、傅立叶变换是拉氏变换的特殊情况： 0 5 . 3. , 的值 复平面上任意一点对应一个 值 值决定 s t t jwt e e e s s = e e e wt C j w j w t j w t t 2 cos ( ) ( ) + = + − 或指数为包络线的正弦振荡 ：一对共轭复频率 对应一个正弦振荡
S=O+10 e/w 00 ★ O 阶极点
一阶极点 j s = + j st t jwt e = e e
四拉氏变换的收敛域 1收敛区:使f()e满足纯对可积的O的取值范圆, σ=Re{S},收敛区内拉氏叟换存在,收敛区外拉氏变 换不存在。(收敛区可记为ROC 2、收敛条件: 对f()e而言,取t→∞,若当σ>σ时p其极 限为0,则f()e在σ>σ内是收敛的。即: lim f(t)e O(O>∞0) > σ>σ0为f(t)的收敛条件,a0与函数f(t)性质有关 根据收敛条件σ>σ。→单边拉氏变换的收敛域为S平面中 垂直于实轴的直线σ=C之右的右半平面
四、拉氏变换的收敛域 1、收敛区：使 满足绝对可积的 的取值范围， =Re{s} ， 收敛区内拉氏变换存在，收敛区外拉氏变 换不存在。( 收敛区可记为ROC.) t f t e − ( ) 限为 ，则 在 内是收敛的。即： 对 而言，取 若当 时，其极 、收敛条件： 0 0 0 ( ) ( ) , 2 → − − t t f t e f t e t lim ( ) 0 ( ) 0 = − → t t f t e 0 ( ) ( ) , 0 为f t 的收敛条件， 0 与函数f t 性质有关 垂直于实轴的直线 之右的右半平面 根据收敛条件 单边拉氏变换的收敛域为 平面中 C S = 0
4求右边信号的f(O)=e()拉氏变换及收敛域 -(s+a) e F(s)=LTTealu(t) u(te dt o e(s+atdt s+a 上式积分只有在(Re{S}+a>0),Re{s}>-a,即O>a时收敛,此时有 e-u(t)<> s+a 例2求左边信号的f(t)=-e"lv(-t)的拉氏变换及收敛域 e F(S=LT[-elu(1)]=eu(t)esat (s+a)t s+a 上式积分只有在(Res}+a<0),Re{s}<-a,即o<=a时收敛,此时有 s+a 结论:只有拉氏变换式和收敛域一起才能与信号建立建立一一对应 关糸,必须指明收斂城
例1 求右边信号的f (t) = e −a t u(t)的拉氏变换及收敛域 上式积分只有在(Re{s}+a>0), Re{s}>-a , 即 >-a时收敛,此时有 a s a e u t at − + − , 1 ( ) 例2.求左边信号的f (t) = −e −a t u(−t)的拉氏变换及收敛域( ) 0 ( ) 0 ( ) [ ( )] ( ) | s a t at at st s a t e F s LT e u t e u t e dt e dt s a − + − − − − + − − − = − − = − − = − = + 上式积分只有在(Re{s}+a<0), Re{s}<-a , 即 <-a时收敛,此时有 结论:只有拉氏变换式和收敛域一起才能与信号建立建立一一对应 关系,必须指明收敛域. − + − + − − − + = = = = − 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) [ ( )] ( ) | s a e F s LT e u t e u t e dt e dt s a t a t a t s t s a t a s a e u t at − + − − , 1 ( )