3.从Green公式还可以得到一个求区域面积的方法：设D为平面上的有界闭区域，其边界为分段光滑的简单闭曲线。则它的面积为S =[xdy =-[ ydx =-[ xdy - ydx aDaDaD其中aD取正向
3. 从 Green 公式还可以得到一个求区域面积的方法： 设D为平面上的有界闭区域，其边界为分段光滑的简单闭曲线。 则它的面积为 ∫∫∫ ∂ ∂ ∂ −=−== D D D xdyS ydx ydxxdy 21 ， 其中∂D 取正向
y2例14.3.1计算椭圆=1(α,b>0)所围图形的面积。b2VS20X图14.3.7解椭圆的参数方程为x=acos0,y=bsin0, 0≤0≤2元。设椭圆的正向边界为L，那么所求面积为 xdy- ydx =→"(abcos 0 + absin'0)ao =" de =mab
例 14.3.1 计算椭圆 x a y b a b 2 2 2 2 += > 1 0 (, )所围图形的面积。 解 椭圆的参数方程为 xa yb = cos , sin , θ = θ 0 2 ≤ θ ≤ π 。 设椭圆的正向边界为L ，那么所求面积为 ( ) abd ab ydxxdyS ab θ dab θθ πθ π π ∫∫ ∫ =−= + = = 20 20 2 2 2 cos sin 21 21 L 。 图14.3.7 x a y b 2 2 2 2 + =1 O x y
例14.3.2计算1=x+ydx+xy+ln(x+x+)y，其中为曲线y=sinx,0≤x≤元与直线段y=0,0≤x≤元所围区域D的正向边界。解令p=/x?+y，Q=yy+ln(x+/x?+y)]，则apaQyLayax/x2 +1由Green公式得到apaQ4dxdy = [[y’ dxdy = [" dx [sinxdxydy=二9axayny = sinxO元x图14.3.8
例 14.3.2 计算 [ ] ∫ +++++= L ln( ) dyyxxxyydxyxI 22 22 ，其中L 为 曲线 y xx = sin , 0 ≤ ≤ π 与直线段 y = 0 0, ≤ x ≤ π 所围区域D的正向边界。 解 令 , [ ln( )] 22 22 +++=+= yxxxyyQyxP ，则 22 2 22 , yx y y x Q yx y y P + += ∂ ∂ + = ∂ ∂ 。 由 Green 公式得到 9 4 sin 3 1 0 3 sin 0 2 0 2 = = = = ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ∂∂ − ∂∂ = ∫∫ ∫∫∫∫∫ π π dyydxdxdyydxdy xdx yP xQ I x D D 。 = sin xy O x y π 图14.3.8
例14.3.3计算1=(esiny-my）dx+(ecosy-mdy，其中L为圆(x-a)?+y?=α2(a>0)的上半圆周，方向为从点A(2a,0)到原点O(0,0)。解现在积分曲线不是闭的，不能直接用Green公式，但添加一条直线yA222(x-a) +y =a段OA（方向从O到A）后，L与OA合起来就是闭曲线。设这样得到的闭曲线所围的区域为D。这时P=esiny-my, Q=e*cosy-m,0xA(2a, 0)apaQ =e°cosy.=e*cosy-m,图14.3.9ayox利用Green公式，得到[(e* sin y-my)dx+(e*cos y-m)dy+ [ (e* sin y-my)dx+(e' cos y-m)d)OA= mJ dxdy = mr a?20
例 14.3.3 计算 ( )( ) ∫ = −+− L I dxmyy dymy x x sine cose ，其中L 为圆 )( )0( 222 aayax >=+− 的上半圆周，方向为从点 aA )0,2( 到原点O(,) 0 0 。 解 现在积分曲线不是闭的，不能 直接用 Green 公式，但添加一条直线 段OA（方向从O到 A）后，L 与OA合 起来就是闭曲线。设这样得到的闭曲 线所围的区域为D。这时 y。 x Q my y P myQmyyP x x x x cose,cose ,cose,sine = ∂ ∂ −= ∂ ∂ −=−= 利用 Green 公式，得到 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 e sin e cos e sin e cos 2 xx xx OA y my dx y m dy y my dx y m dy m a m dxdy π − + −+ − + − = = ∫ ∫ ∫∫ L D 。 A a (2 , 0) 22 2 ( ) x a− += y a O x y 图14.3.9
再计算沿OA的曲线积分。因为OA的方程为y=0,x：0→2a，那么[(e'sin y-my]dx+(e*cos y-m)dy=["odx+O= 0 。OA代入前面的式子，就得到[(e sin y -my)atx+(e°cosy-m)by= mna5
再计算沿OA的曲线积分。因为OA的方程为 = → 20:,0 axy ，那么 ( ) sine ( cose ) 000 20 =+=−+− ∫ ∫ a OA x x dxmyy dxdymy 。 代入前面的式子，就得到 ( )( ) 。 2 sine cose 2 am dxmyy dymy x x π =−+− ∫L