值越小利S越接近于σ之外,置信区间直接与√成反比 例2-6对某个样品共浏定8次,所得的平均值为2356%标 准偏差为028%,试计算显著性水平a为0,05时单次测定值和平 均值的置信区间。 解:从表A-3中查得自由度df=8-1=7时,to.5值为 2.365,则单次测定值的置信区问为: 4=2士t1-=S=23,56±2365×028=23.56±0,6 平均值的置信区间为 =上 √n=23,562.365×028.=23,560.23 从上述计算结果可知,我们有95%的把握说,测定8次时,每 次测定值在22,90至24,22的区间内波动,而8次测定的平均值在 23,33至2377区间内波动。 2.4,2测定值的统计容许跟 上面讲的测定值的不确定度都是以置信区间来表示的。如果我 们研究的总体服从正态分布,当抽取足够大的样本时(即n→∞),可 得到总体的极限平均值4和标准偏差σ。于是我们就可得到这样的 结论:分布在-0到+区间内的测定值约为68,3%分布在 -20到+20区间内的测定值约为95,4%分布在H-3σ到 +3a区间内的测定值约为97%。但在实际测量中n不可能趋 于无穷大,通常只是有限次,因而得到的是和的估计值我和S。 正和S是随机量,峦士S可士2S、花±3S的区间也不是恒定的,而是 随着样本容量变化而变化的,因此它们的区间就不一定会分别包括 68.3%、95,4%997%的测定值。即对有限次测定来说,2±2S区 间包括954%测定值这件事情本身的概率不是100%所以用置 ◆36
倌区间来麦示不确定度的缺点是当测定次数为有限次时,置信区间 究竟有多大的可靠性就不知道。 为了解决这个问题,引进了统计容许限这个概念。称花士kS为 单次测定的统计容许限(也可称统计容许区间),其意义是:在任何 次测定中,绝对误差|a4一在容许限kS内的概率不小于栊率P 这一事情的概率为γ。k值是概率P、概率y和测定次数n的函数, 见附录中表A-6和表A-7中所列的k值 例2-7一组10次的测定值为0123,0.124,0126,0.129 0.120,0,123,,0,132,0,126,0,129,0.128,试求?=0.95,P090 时的双侧容许限和?=0,90,P=0,99的低值单侧容许限。 解:先求出10次测定值的平均值和标准偏差: 泛=0,1260S=0,00359 查表A-6,k(o.05,0.60.0=2839 cu=0.1260+2.839×0.00359=0,136 mL=0。1260-2。839×0.00359=0116 我们有95%的把握说,单次测定值有9%将会落在0.116至0136 区间内 查表A-7,ko.0.0..10=3.532 沉=9·1260-3,532×000359=0·113 我们有90%的把握说,单次测定值有99%将会超过0,113。 为了说明单次测定值的置信区间,平均值的置信区间和单次测 定值的容许限的意义,举例说明如下: 有一种标准物质分装成100瓶,然后随机抽取15瓶进行定值测 定测得a1,02,…,aib,计算出平均值卖和标准偏差S 石以单次测定值的置信区间来表示,其置信区间为万士t-gS,若 取a=0.05,则单次测定值的置信区间为花士2.15S,其意义为:如 果逐个测定100瓶标准物质吋,单次测定值落在±215S区间内 的概率为95% 37
若以平均值的置信区间来表示,其置信区间为花士 若 取a=0.05,则平均值的置信区间为花±0,554S。其意义为:如果逐 个测定100瓶标准物质时,其平均值落在士0554S区间内的概率 为95%。 若以单次测定值的统计容许限来表示,其统计容许限为G±kS 若给定γ=0.95,P=0.99,从表A-6中查得k值为3.88,则统计容 许限为G±3.88S。其意义为:有95%的把握讲,测定任意一瓶标 准物质,其测定值落在c±3.88S区间内的概率为99%若以卖± 388S作为标准物质的标准值及其不确定度的范,那末我们说,出 现一瓶超差的概率为95%。倘若要一瓶超差的情况也不想出现,则 应给定P=0999,此时k值为4,95。以团士4,95S为标准物质的 裹2-6概率为95%时三个系值的比较 自由度(n-1) t1- t13/M7 k(0.95/095) 1206 8,954 37.874 4.393 ?484 9,918 3.182 1.591 8,370 2.T8 1.241 5.079 2.5【1 1.050 4.414 2.44T 0,925 4.00了 2.565 0.898 3.732 8 2,305 0.769 3.532 3.379 2.228 0.672 3.259 2.135 0.533 2.903 2.086 0.455 2.723 25 2.060 0.403 2.812 2.042 0.367 2.549 100 1.990 G.19 1.960 1.990 38
标准值及其不确定度的范,出现0,1瓶超差的概率为95%因此 不应该有一瓶超差。 单次测定值的置信区间、平均值的置信区间和单次测定的统计 容许限三者之间的关系和差别可从表2-6和图2-13中可看出。 2→∞时,平均值的置信区间土41-2S/√趋向零,即对 总休进行逐个测定,所得的平均值花就等于总体的真值μ。而统计 容许限±kS和单次测定值的置信区间土t1-S当→∞时,不趋 向于零,而是趋向于一个常数。当概率为95%时,就趋向于1.960σ 这个常数,此时单次测定值的置信区间与统计容许限是同一个值,没 有什么差异。 B 图2-13置信区问和统计容许限的系激与测量次数的关系(概率为95%时 24.3标准偏差的置信区间 标准偏差S通常是通过有限次测定计算出来的,它是0的估计 值,并不是的真值,所以标准偏差S也有个不确定度的问题。通 39
样本容量 S悬下列量的 常用标准偏差的置信区间来表达 无偏估计 这个不确定度。测定值的置信区 0.797c 间是对称的,而标准偏差的置信 0.886 区间是不对称的,它总是上限大, 0.921 下限小。 0,940 0.952 标准偏差的置信区间为BLS 0.959 至BvS,B1和Bu是与显著性 0.965 水平a及自由度有关的系数,见 0.969 附录中表A-8和表A-9。 10 0.973 例2-8某一标准偏差S为 0.98T 031,试求当标准偏差由测定次 0.994 数分别为5、20、80计算,显著性 水平a为0.05时而得的各自双 120 侧置信区间。 t.00 解:从附录表A-8中查得 S不是0的一个无偏估计.随来自正显著性水平为0,05时,n为5、 态分布的样本容量n的变化,S对a的20、80时的双侧BL和Bu分别 计情况为上表所列 为: 5B2=0.5590Bu=2.567 n=20B=0.7484Bv=1.432 =80BL=0,820Bu=1 它们的置信区间分别为 n=505590×0.31至2,567×0,31即0.17至0,80 n=200。7484×0.31至1.432×0,31即023至0.44 n8008620×031至1.179×0,31即0.27至0,37 从上述计算结果可知测定次数越多,标准偏差S越有代表性,置信 区间越小,不对称性也越小。 标准偏差S的置信区间与测定次数和显著性水平之间的关系 40