预备知识: hebyshev多项式及其应用 · Chebyshev多项式及其性质 定义1称Tn(x)=cos(n 为n次 Chebyshev is very important 定义2(交错点绚石幽 的某一区间 [ab]上存在n个点{x}k=,使得 ①|f(×小=maxf(x×)|=‖f(×)川l,k=1,2,…,n; ·②-f(xk)=f(xk+),k=12,,n-1, 则称点集{x}k=1为函数氏(x)在区间[ab]上的一 个交错点组,点X称为交错点组的点
Chebyshev多项式及其应用 • Chebyshev多项式及其性质 • 定义1 称Tn(x)=cos(n arccos x),|x|≤1 • 为n次Chebyshev多项式 • 定义2(交错点组) 若函数f(x)在其定义域的某一区间 ［a,b］上存在n个点{xk } n k=1， • ①|f(xk )|=max|f(x)|=‖f(x)‖∞，k=1，2，…，n; • ②-f(xk )=f(xk+1)，k=1,2,…，n-1, • 则称点集{xk } n k=1为函数f(x)在区间［a,b］上的一 个交错点组，点xk称为交错点组的点. It is very important 预备知识：
Chebyshev多项式的性质 性质1n次 Chebyshev多项式Tn(x)的 首项系数为2n1 性质2n次 Chebyshev多项式相邻三项 有递推关系 T0(X)=1T1(X)=x Tn+1(x)=2xTn(X)-Tn1(x),n=1,2 ···
Chebyshev多项式的性质 • 性质1 n次Chebyshev多项式Tn (x)的 首项系数为2n-1 • 性质2 n次Chebyshev多项式相邻三项 有递推关系 ： • T0 (x)=1,T1 (x)=x, • Tn+1(x)=2xTn (x)-Tn-1 (x),n=1,2,…
性质3( chebyshev多项式序列{T(x) 在[-1,1]上满足 0,当m≠n 2(x)Tx2(x) dx={x,当m=n=0 当m=n≠0
性质6 当 2k-1 cOS z(k=1,…,mn)时(x)=0,即{x1, 2 xn}为T(x)的n个零点。 性质8 M,W//(=0,,…,n时,T(4)交错取到极大值1 和极小值-1,即Tn(t4)=(-1)‖Tn(x)
当 时 ，即 {x1 , …, xn } 为Tn (x)的n个零点。 ( 1, ... , ) 2 2 1 cos k n n k xk = − = Tn (xk ) = 0 •性质6 •性质8 当 时， 交错取到极大值 1 和极小值−1，即 cos (k 0, 1, ... ,n) n k t k = = ( ) n k T t = − T (t ) ( 1) ||T (x)|| n k n k
denote T(x)=一 显然T(是着项系数为1的n次 Chebyshev多项式 又若记w[一 为的n次多项式的集令]首项系数 为一切定义在[-1,1]
denote • • 显然 是首项系数为1的n次 Chebyshev多项式. • 又若记 • 为一切定义在［－１，１］上首项系数 为1的n次多项式的集合 * ( ) T x n * 1 ( ) ( ) 2 n n n T x T x − = * [ 1,1] P n −