(3)语义上的证明 ●证明方法:依等值式定义,A=B如果在任一解释I下 A真B就真,而且B真A就真 若证明一(V)P(x)=(3x)P(x) 1.设某一解释I下若一(x)P(x)=T 从而(Vx)P(x)=F,即有一个X∈D使P(X)=F 于是一P(x)=T 故在I下(3x)P(x)=T 2.反过来,设某一解释I下若(3x)-P(x)=T 即有一个xD使一P(X)=T 从而P(X)=F于是(Vx)P(x)=F 即一(Vx)P(x)=T
(3)语义上的证明 ⚫ 证明方法：依等值式定义，A=B如果在任一解释I下 A真B就真，而且B真A就真． 若证明﹁(x)P(x)=(x)﹁P(x) 1. 设某一解释I下若﹁(x)P(x)=T 从而(x)P(x)=F，即有一个xoD,使P(Xo )=F 于是﹁P(xo )=T 故在I下(x)﹁P(x)=T 2. 反过来，设某一解释I下若 (x) ﹁P(x)=T 即有一个xoD,使﹁P(Xo )=T 从而P(Xo )=F 于是(x) P(x)=F 即﹁ (x)P(x)=T
(4)举例 例1“并非所有的动物都是猫”的表示 设A(x):x是动物 B(x):x是描 原语句可表示成一(Vx)(A(x)→B(x)) 依否定型公式得 (Vx)(A(x)→B(x)) =(3x)-(A(x)→B(x)) =(3x)-(A(x)VB(x)) =(3x)(A(x)-B(x)) 而(3x)(A(x)A-B(x)的含义是有一个动物不是猫,显然这句话与原语句等同
(4)举例 例1 “并非所有的动物都是猫”的表示 设 A(x)：x是动物 B(x)：x是描 原语句可表示成﹁(x)(A(x)→B(x)) 依否定型公式得
●● 例2“天下乌鸦般黑”的表示 设F(x):x是乌鸦 G(x,y):x与y是一般黑 原语句可表示成 (Vx)(Vy)(F(x)^F(y)G(x,y)) 不难知道与之等值的公式是 (3x)(y)(f(x)f(y)^-g(x,y)) 即不存在x,y是乌鸦但不一般黑.这两句话含义是相同 的.经计算有
例2 “天下乌鸦—般黑”的表示 设 F(x)：x是乌鸦 G(x，y)：x与y是一般黑 原语句可表示成 (x)(y)(F(x)^F(y) →G(x,y)) 不难知道与之等值的公式是 ﹁(x)(y)(F(x)^F(y)^﹁G(x,y)) 即不存在x,y是乌鸦但不一般黑．这两句话含义是相同 的．经计算有
●●● (3x)(3y)(F(x)F(y)-G(x,y)) =(x)-((3y)(F()F(y)a-(x,y))) =()()-(F(:)AF(y)(x+y)) =(x)(y)(-(F(x)∧F(y))G(x,y)) =(x:)()(F(x)AF(y)+G(,y))
5.2量词分配等值式 一、含单独的命题变项,与无关 5.2.1量词对√、人的分配律 (3x)(P(x)Aq)=(3x)P(x)∧q ●这是一组量词对v、的分配律,其中q是命题变 项,与个体变元无关,这是很重要的条件 ●我们仅对第一个等式给出证明,其余三个同样可 证
5．2 量词分配等值式 一、含单独的命题变项，与x无关 5．2．1 量词对、的分配律 ⚫ 这是一组量词对、的分配律，其中q是命题变 项，与个体变元x无关，这是很重要的条件． ⚫ 我们仅对第一个等式给出证明，其余三个同样可 证．