若函数 u(x),v(x)在点x可导,v(x)±0,定理5.7天u(x)在点x也可导，且则 f(x)=v(x)u(x,)v(x,)-u(x,)v'(xo)u(x)(4)v(x)v(xo)x=0前页后页返回
前页 后页 返回 0 0 0 0 0 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). (4) ( ) ( ) x x u x u x v x u x v x v x v x = − = 在点 x0 也可导，且 ( ) ( ) ( ) u x f x v x 则 = 定理5.7 若函数 u x v x ( ), ( ) 在点 x0 可导, 0 v x( ) 0,
证设 g(x)=则 f(x)=u(x)g(x). 对 g(x),有v(x)11g(xo +Ax)-g(xo)v(xo +△x)v(xo)AxAx1v(xo + △x) -v(xo)Axv(xo +△x) : v(xo)由于(x)在点 x可导，v(x)±0，因此后页返回前页
前页 后页 返回 证 1 ( ) ( ) ( ) ( ). ( ), ( ) g x f x u x g x g x v x 设 ，则 对 有 = = 0 0 0 0 1 1 ( Δ ) ( ) ( Δ ) ( ) Δ Δ g x x g x v x x v x x x − + − + = 0 0 0 0 ( Δ ) ( ) 1 . Δ ( Δ ) ( ) v x x v x x v x x v x + − = − + 由于 v x( ) 在点 x0 可导, v x( ) 0, 0 因此
g(x, +Ax)-g(xo) v(xo)g'(xo) = lim(x0)x4x→0(5)亦即福X对 f(x)=u(x)g(x) 应用公式(2) 和 (5), 得f'(xo)=u(xo)g(xo)+u(xo)g'(xo) ,u(xo)v(xo) -u(xo)v'(xo)（当）即(xo)X=Xo后页返回前页
前页 后页 返回 对 f x u x g x ( ) ( ) ( ) = 应用公式 (2) 和 (5), 得 0 0 0 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim , x ( ) g x x g x v x g x → x v x + − = = − Δ Δ 0 0 2 0 1 ( ) . ( ) ( ) x x v x v x v x = = − 亦即 (5) 0 0 0 0 0 f x u x g x u x g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , = + 0 0 0 0 0 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) x x u x u x v x u x v x v x v x = − = 即
例3求下列函数的导数：(i）x-n，n是正整数；(ii) tanx, cotx:(iii) secx, cscx.hxn-1-nx-n-1解(i)(x-")2n文sinx(sin x)'cos x - sin x(cosx)(ii) (tanx)cosxcos.x1cos x +sinX2= secx22cosxcosx后页返回前页
前页 后页 返回 例3 求下列函数的导数： 2 2 2 2 2 cos sin 1 sec . cos cos x x x x x + = = = ( i ) , ; n x n − 是正整数 (ii) tan , cot ; x x (iii) sec , csc . x x 解 1 1 2 1 ( i ) ( ) . n n n n n n x x nx x x − − − − = = − = − 2 sin (sin ) cos sin (cos ) (ii) (tan ) cos cos x x x x x x x x − = =
同理可得(cot x)' = -cscx2sin?x(cosx)'sinx(i) (secx)-一cos"xcos"xcosx= secx tanx.同理可得(cscx) = -cscx cot x.返回前页后页
前页 后页 返回 同理可得 = sec tan . x x 2 2 1 (cos ) sin (iii) (sec ) cos cos cos x x x x x x = = − = (csc ) csc cot . x x x = − 2 2 1 ( cot ) csc . sin x x x = − = − 同理可得