清华大学出版社 TSINGHUA UNIVERSITY PRESS 递归回溯 回溯法对解空间作深度优先搜索,因此,在一般情况下 用递归方法实现回溯法。 void backtrack(int if(tsn output(x) else for(int i=f(n, t); i <=g(n, t); i ++)i t]=h( if(constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1)
6 递归回溯 回溯法对解空间作深度优先搜索，因此，在一般情况下 用递归方法实现回溯法。 void backtrack (int t) { if (t>n) output(x); else for (int i=f(n,t);i<=g(n,t);i++) { x[t]=h(i); if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1); } }
清华大学出版社 迭代回溯 RS/TY PRESS 采用树的非递归深度优先遍历算法,可将回溯法表示为一个非 递归迭代过程。 void iterativeBacktrack O int tE1. while(tso)i if(f(n,)<≡g(n,t) for (int i=f(n, t); i <=g(n, t); i++i t]=h( if (constraint(t)&&bound(t)i if (solution (t))output(x) else t++ I else t
7 迭代回溯 采用树的非递归深度优先遍历算法，可将回溯法表示为一个非 递归迭代过程。 void iterativeBacktrack () { int t=1; while (t>0) { if (f(n,t)<=g(n,t)) for (int i=f(n,t);i<=g(n,t);i++) { x[t]=h(i); if (constraint(t)&&bound(t)) { if (solution(t)) output(x); else t++;} } else t--; } }
清华大学出版 子集树与排列树 TY PRESS F 遍历子集树需O(2)计算时间遍历排列树需要O(n)计算时间 void backtrack (int t void backtrack (int t) if(t>n) output(x) if(t>n) output(x) else else or(inti=0;<=1;++){ for(int i=t; i<=n;i++) x[t=i; sWap(刈[切,x]) if (legal(t)) backtrack(t+1) if(legal(t)) backtrack(t+1) sWap(刈[切,x])
8 子集树与排列树 遍历子集树需O(2n )计算时间 遍历排列树需要O(n!)计算时间 void backtrack (int t) { if (t>n) output(x); else for (int i=0;i<=1;i++) { x[t]=i; if (legal(t)) backtrack(t+1); } } void backtrack (int t) { if (t>n) output(x); else for (int i=t;i<=n;i++) { swap(x[t], x[i]); if (legal(t)) backtrack(t+1); swap(x[t], x[i]); } }
清华大学出版社 装载问题 RSITY PRESS 有一批共n个集装箱要装上2艘载重量分别为c1和c2的轮船,其 中集装箱i的重量为wi,且∑w≤c+c2 装载问题要求确定是否有一个合理的装载方案可将这个集装箱 装上这2艘轮船。如果有,找出一种装载方案。 容易证明,如果一个给定装载问题有解,则采用下面的策略可 得到最优装载方案。 (1)首先将第一艘轮船尽可能装满 (2)将剩余的集裝箱装上第二艘轮船。 将第一艘轮船尽可能装满等价于选取全体集装箱的一个子集, 使该子集中集装箱重量之和最接近。由此可知,装载问题等价 于以下特殊的0-1背包问题。 maⅹ>v;x 用回溯法设计解裝载问题的O(2)计 算时间算法。在某些情况下该算法 t.>wx,≤c1 优于动态规划算法。 x∈{0l},1≤i≤n
9 装载问题 有一批共n个集装箱要装上2艘载重量分别为c1和c2的轮船，其 中集装箱i的重量为wi，且 1 2 1 w c c n i i + = 装载问题要求确定是否有一个合理的装载方案可将这个集装箱 装上这2艘轮船。如果有，找出一种装载方案。 容易证明，如果一个给定装载问题有解，则采用下面的策略可 得到最优装载方案。 (1)首先将第一艘轮船尽可能装满； (2)将剩余的集装箱装上第二艘轮船。 将第一艘轮船尽可能装满等价于选取全体集装箱的一个子集， 使该子集中集装箱重量之和最接近。由此可知，装载问题等价 于以下特殊的0-1背包问题。 x i n w x c w x i n i i i n i i i = = {0,1},1 s.t. max 1 1 1 用回溯法设计解装载问题的O(2n )计 算时间算法。在某些情况下该算法 优于动态规划算法
装载问题 RSTY PRESS 解空间:子集树 可行性约束函数(选择当前元素):∑mx≤c1 上界函数(不选择当前元素): 当前载重量cw剩余集装箱的重量r≤当前最优载重量 best private static void backtrack(int i) {∥/搜索第层结点 if(i>n)∥/到达叶结点 更新最优解 best, best; return r-=WO if(cW+w]<=c){/搜索左子树 刈=1; CW+= WO backtrack(i+ 1) cW-=W0]; 1 if (cw +r> best)i 刈]=0;∥搜索右子树 backtrack (i+1): y +=W
10 装载问题 •解空间：子集树 •可行性约束函数(选择当前元素)： •上界函数(不选择当前元素)： 当前载重量cw+剩余集装箱的重量r当前最优载重量bestw 1 1 w x c n i i i = private static void backtrack (int i) {// 搜索第i层结点 if (i > n) // 到达叶结点 更新最优解bestx,bestw;return; r -= w[i]; if (cw + w[i] <= c) {// 搜索左子树 x[i] = 1; cw += w[i]; backtrack(i + 1); cw -= w[i]; } if (cw + r > bestw) { x[i] = 0; // 搜索右子树 backtrack(i + 1); } r += w[i]; }