分布族的性质：(1)对称性 对(1,2，·，n)的任一排列(1,2，·，jn),有 F16n（(c,…,Cn） =P(X(t)≤x,…,X(tn)≤xn) =P(X(t)≤ct,·,X(tn)≤xtn) =f,…tn(c1,…,cn). 7/28 (2)相容性 对于m<n,有 ,…,tm,tm+l,…tn(c1,…,xm,0o,…,∞）=F,…,tn(c1,·,cm）. 定理2.2.1设分布函数族{F1,…,tn(c1,·,xn),t1,·,tn∈ T,n≥1}满足上述的对称性和相容性，则必存在一个随机 GoBack FullScreen Close Quit
7/28 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ©Ÿx5ü: (1) È°5 È (1, 2, · · · , n)?ò¸(j1, j2, · · · , jn)ßk Ftj1 ,··· ,tjn (xj1 , · · · , xjn ) = P(X(tj1 ) ≤ xj1 , · · · , X(tjn ) ≤ xjn ) = P(X(t1) ≤ xt1 , · · · , X(tn) ≤ xtn ) = Ft1,··· ,tn (x1, · · · , xn). (2) ÉN5 Èu m < nßk Ft1,··· ,tm,tm+1,···tn (x1, · · · , xm, ∞, · · · , ∞) = Ft1,··· ,tm(x1, · · · , xm). ½n 2.2.1 ©ŸºÍx{Ft1,··· ,tn (x1, · · · , xn), t1, · · · , tn ∈ T, n ≥ 1} ˜v˛„È°5⁄ÉN5ßK73òáëÅ
过程{X(t),t∈T},使 {F,…,tn(x1,…,xn),t1,…,tn∈T,n≥1} 恰好是{X(t),t∈T}的有限维分布族. 注：随机过程的有限维分布函数族是随机过程概率特征 的完整描述，它是证明随机过程存在性的有力工具.但是在实 际问题中，要知道随机过程的全部有限维分布是不可能的， 8/28 因此，人们想到了用随机过程的某些数字特征来刻画随机过 程. 定义2.2.2设{X(t),t∈T是一随机过程. (1)称X(t)的期望x(t)=E[X(t)]为过程的均值函 数（如果存在的话）： (2)如果t∈T,E[X2(t)]存在，则称随机过程{X(t),t∈ GoBack FullScreen Close Quit
8/28 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit Lß{X(t), t ∈ T}߶ {Ft1,··· ,tn (x1, · · · , xn), t1, · · · , tn ∈ T, n ≥ 1} T–¥{X(t), t ∈ T}kÅë©Ÿx. 5µëÅLßkÅë©ŸºÍx¥ëÅLßV«A £„,ߥy²ëÅLß35kÂÛ‰.¥3¢ SØK•ßáëÅLß ‹kÅë©Ÿ¥ÿåUß œdß<Çé ^ëÅLß, ÍiA5èxëÅL ß. ½¬ 2.2.2 {X(t), t ∈ T}¥òëÅLß. (1) °X(t)œ" µX(t) = E[X(t)]èLß˛äº Í(XJ3{). (2)XJ∀t ∈ T, E[X2 (t)]3ßK°ëÅLß{X(t), t ∈
T}为二阶矩过程 此时，称函数Y(t1,t2)=E[(X(t1)-ux(t1)(X(t2)-ux(t2)], t1,t2毛 T为过程的协方差函数；称Var[X(t)=Y(t,t)为过程的方 差函数；称Rx(s,t)=EX(s)X(t)],s,t∈T为自相关函 数. 由Schwartz不等式知，二阶矩过程的协方差函数和自相 关函数存在，且有Yx(s,t)=Rx(s,t)-ux(s)ux(t): 9/28 例2.2.1X(t)=Xo+tV,a≤t≤b,其中Xo和V是 相互独立且服从N(0,1)分布的随机变量. 注：易知X(t)服从正态分布，且X(t),·,X(t)也是n维 正态分布.所以只要知道它的一阶矩和二阶矩就完全确定了 GoBack FullScreen Close Quit
9/28 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit T} è ›Lß. dûß°ºÍγ(t1, t2) = E[(X(t1)−µX(t1))(X(t2)−µX(t2))], t1, t2 ∈ T èLßê ºÍ¶°V ar[X(t)] = γ(t, t)èLßê ºÍ¶°RX(s, t) = E[X(s)X(t)], s, t ∈ T ègÉ'º Í. dSchwartzÿ ™ß ›Lßê ºÍ⁄gÉ 'ºÍ3ßÖk γX(s, t) = RX(s, t) − µX(s)µX(t). ~ 2.2.1 X(t) = X0 + tV, a ≤ t ≤ b, Ÿ•X0⁄V ¥ Ép’·Ö—lN(0, 1)©ŸëÅC˛. 5µ¥X(t)—l©ŸßÖX(t1), · · · , X(tn)è¥në ©Ÿ. §±êáßò ›⁄ ›“ (½
它的分布 液 ux(t)=E[X (t)]=E(Xo+tV)=EXo+tEV=0 Y(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]=E[(Xo+tiv)(Xo+t2V)] =E[X]+t1t2E[V]=1+tt2. 10/28 GoBack FullScreen Close Quit
10/28 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ß©Ÿ. µX(t) = E[X(t)] = E(X0 + tV ) = EX0 + tEV = 0 γ(t1, t2) = E[X(t1)X(t2)] = E[(X0 + t1V )(X0 + t2V )] = E[X2 0 ] + t1t2E[V 2 ] = 1 + t1t2