《流体力学》课程授课教案（讲义）第七章 粘性流体动力学基础

日前边界层理论己成为近代流体力学的重要基石，它语清了大雷诺数流动间题中粘性对 流动的影响。在许多情况下，大雷诺数与湍流相互关联，本章将分节讨论低速层流边界层利 湍流边界层。边界层理论基于大雷诺数流动的近似，首先需在近似中保留部分粘性项而建立 Prandtl边界层方程。为了说明边界层的基本特征，本章将先引出描述边界层的数学方程式， 接着讨论一个最典型的边界层流动（平板边界层），然后再介绍边界层分离现象。 图7-3边界层内的涡旋和速度分布示意图 第三节边界层的微分方程式 由粘性流体力学的基本方程，采用量级分析方法和普朗特展开方法都可以推导出边界层 的微分方程式。本节将介绍第一种方法。考虑大雷诺数的二维绕流问题，假定固壁是平直的（平 板或楔)。设y轴与壁面垂直，x轴与壁面平行且指向下游，坐标原点和顶点重合，如图73 所示。连续性方程和动量方程的两个投影分别为 (7-20a) (7-20b) (7-20) 当雷诺数Re远大于1时，在边界层内x方向和y方向的物理量具有不同的数量级。设板长 为L、无穷远来流速度为U,边界层厚度为6（当横裁面上速度恢复到99%时的厚度）、边 界层外缘的)尚造度分量为。且有七一吾 <1。取L、U分别为x方向的特征长 度与特征速度：6、V分别为y方向的特征长度与特征速度。卫.为远前方来流的静压，则 将 代入式(7-20)中并将各项的量级标注如下： 6

6 目前边界层理论已成为近代流体力学的重要基石，它澄清了大雷诺数流动问题中粘性对 流动的影响。在许多情况下，大雷诺数与湍流相互关联，本章将分节讨论低速层流边界层和 湍流边界层。边界层理论基于大雷诺数流动的近似，首先需在近似中保留部分粘性项而建立 Prandtl 边界层方程。为了说明边界层的基本特征，本章将先引出描述边界层的数学方程式， 接着讨论一个最典型的边界层流动（平板边界层），然后再介绍边界层分离现象。 图7-3 边界层内的涡旋和速度分布示意图 第三节 边界层的微分方程式 由粘性流体力学的基本方程，采用量级分析方法和普朗特展开方法都可以推导出边界层 的微分方程式。本节将介绍第一种方法。考虑大雷诺数的二维绕流问题，假定固壁是平直的(平 板或楔)。设 y 轴与壁面垂直， x 轴与壁面平行且指向下游，坐标原点和顶点重合，如图7-3 所示。连续性方程和动量方程的两个投影分别为 = 0  +  y v x vx y   (7-20a)          +  +  = −  +  +  2 2 2 2 1 y v x v x p y v v x v v t v x x x y x x x         (7-20b)          +  = − +  +  +  2 2 2 2 1 y v x v y p y v v x v v t v y y y y y x y          (7-20c) 当雷诺数Re远大于1时，在边界层内 x 方向和 y 方向的物理量具有不同的数量级。设板长 为 L 、无穷远来流速度为 U ，边界层厚度为  （当横截面上速度恢复到99％时的厚度）、边 界层外缘的 y 向速度分量为 V 。且有 1 Re 1 ~ ~  U L V  。取 L 、U 分别为 x 方向的特征长 度与特征速度；  、V 分别为 y 方向的特征长度与特征速度。  p 为远前方来流的静压，则 将 L x x = * ，  y y = * ， U v v x x = * ， V v v y y = * L tU t = * ，  = p p p * 代入式(7-20)中并将各项的量级标注如下：

答0 1 1 (7-21a +g 1 1 Re) (7-21b) 1v,' .ov .v ta+】 182v y Re) Re (7-21c) 当R>1时，在式(7-21)中略去高阶小量，并恢复为有量纲的形式可得 +-0 (7-22a) (7-22b) 含0 (7-22c) 式(7-22c)表明边界层内压力的法向梯度近似为零，只是x的函数，它可由外部势流区的压力 分布来描述。考虑到边界层外的势流区的速度只有一个方向的分量y=,(),则欧拉方程 简化为 (7-23) 将(7-22b)式中的压力项用外流速度表示，得到 (7-24 >

7 0 * * * * =   +   y V v x v L U x y  1 1 (7-21a)           +   +   = −   +   +    *2 2 * 2 2 *2 2 * * * * 2 * * * * * * * Re 1 y L v x v x p U p y v v L U V x v v t v x x x y x x x    1 1 1 Re 1 （1 Re） (7-21b)           +   +   = −           +   +    *2 2 * *2 2 * * 2 * * 2 * * * * * * * Re Re 1 Re 1 y v x v y p U p y v v x v v t v y y y y y x y  Re 1 2 Re 1 （1 Re） (7-21c) 当Re>>1时，在式（7-21）中略去高阶小量，并恢复为有量纲的形式可得 = 0  +  y v x vx y   (7-22a) 2 2 1 y v x p y v v x v v t v x x y x x x         +  = −  +  +  (7-22b) = 0 y p   (7-22c) 式(7-22c)表明边界层内压力的法向梯度近似为零，只是 x 的函数，它可由外部势流区的压力 分布来描述。考虑到边界层外的势流区的速度只有一个方向的分量 v v (x) x = e ，则欧拉方程 简化为 dx dp dx dv v t v e e e   1 + = −  (7-23) 将(7-22b)式中的压力项用外流速度表示，得到 2 2 y v dx dv v t v y v v x v v t v e x e x e y x x x        + +  =  +  +  (7-24)