口对每个变量单调不减 固定x,对任意的y1y2,F(x1)≤F(xy2) 固定y,对任意的x1<x2,F(x1y)≤F(x23y) 口对每个变量左连续 F(x0,y0)=F(x-0,y0) F(x0,y0)=F( 对于任意的a<b,c<d b F(6, d) -F(b, c)-F(a, d)+ F(a, c)20 事实上F(b,d)-F(bc)-F(a,d)+F(a,c) P(a≤X<b,c≤Y<d)
固定 x ，对任意的 y1< y2 , F (x,y1 ) F (x,y2 ) 固定 y ，对任意的 x1< x2 , F (x1 ,y) F (x2 ,y) F (x0 , y0 ) = F (x0 -0 , y0 ) F (x0 , y0 ) = F (x0 , y0 - 0) F (b,d) – F (b,c) – F (a,d) + F (a,c) 0 事实上 F (b,d) – F (b,c) – F (a,d) + F (a,c) = P (a X < b , c Y < d) a b c d 对每个变量单调不减 对每个变量左连续 对于任意的a < b , c < d ❑ ❑ ❑
例1设 0,x+y<1 F(,y) ,x+y≥1 讨论F(x,y)能否成为二维随机变量的分布函 数 (0,2) (2,2 解F(2,2)-F(0,2) -F(20)+F(0,0) 0.0 1-1-1+0 故F(x,y)不能作为二维随机变量的分布函数
例1 + + = 1, 1 0, 1 ( , ) x y x y F x y 设 讨论F (x, y)能否成为二维随机变量的分布函 数？ 解 x y • (0,0) • (2,0) (0,2)• •(2,2) (2,0) (0,0) (2,2) (0,2) F F F F − + − 1 1 1 1 0 = − = − − + 故 F (x, y)不能作为二维随机变量的分布函数．
注意对于二维随机变量 P(X>a,y>c)≠1-F(a,c) P(X≥a,y≥c) P(a≤X<+,C≤Y<+∞) 1-F(+∞,c) a,+ +.+ -F(an,+∞)+F(a,c) (a,c)(+ac) DX
注意 对于二维随机变量 P(X a,Y c) 1− F(a,c) ( ) ( , ) , = + + P a X c Y P X a Y c ( , ) ( , ) 1 ( , ) F a F a c F c − + + = − + x y a c (a,c) (a,+) (+,+) (+,c)
二维随机变量的边缘分布函数 由联合分布函数可以求得边缘分布函数,逆 不真 Fx(x)=P(Y<x P(X<x,Y<+∞) x x x+0 F(=P(Y<y P(X<+∞,Y<y) F(+∞,y
二维随机变量的边缘分布函数 由联合分布函数可以求得边缘分布函数,逆 不真. F x P(X x) X ( ) = = P(X x,Y +) = F(x,+) F y P(Y y) Y ( ) = = P(X +,Y y) = F(+, y) x y x x y y
例2设二维随机变量(X,)的联合分布函 数为 F(x, y)=AB+arctan+arctan o0<X<+∞,-0<y<+0 其中A,B,C为常数 (1)确定A,B,C; (2)求X和Y的边缘分布函数; (3)求P(X>2)
例2 设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函 数为 − + − + + = + x y y C x F x y A B , 2 arctan 2 ( , ) arctan 其中A , B , C 为常数． (1) 确定A , B , C ； (2) 求X 和Y 的边缘分布函数； (3) 求P (X > 2)．