例儿个常见的做分方程模型 (1)数学摆模型 数学摆是指系于长度为1的线上质量为m的质点M在重力作用下沿垂直地面的平面上 沿圆周运动,如图41所示,初始状态偏离角度为60,初速度为0.根据 Newton第二定律可 知θ满足如下徽分方程 mle =-mgsin e 初始条件满足 (0)=6(0)=0 如果我们假设摆在一个粘性介质中摆动,沿摆的运动方向存在一个与 速度V=l6成正比的阻力,阻力系数为λ,则 mg mle=-mg sin 8-2l8 当O不大的条件下,可将上述方程中sinb用来代替 图4.1数学摆
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(2 Logistic人口模型 设t时刻人口数量和环境容许最大人口数量分别为N=N(1)和Mm,给定初始条件 t=b时,N(4)=N,假设人口增长率为r,在 Malthus模型基础上可以得到描述人口增长 的如下 Logistic人口模型: N N=r1 (3) Volterra种群模型 措述具有相互关系的甲乙两个种群生长情况可以采用如下 Volterra模型: x=xia+bx+ y=y(d+ex+fy) 其中,系数a,b,C,d,ef分别表示两种群自身增长率以及互相捕食、被捕食或竞争关 系
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(4) Lorenz系统 气象学家 Lorenz在美国天气预报中心进行数值天气预报时曾应用数字计算机简化气象 方程组,最后得到仅含3个变量的方程组,也就是如下的 Lorenz方程,当 a=10,b=8/3,c=28时,该方程的解对初值变化非常敏感,该方程被称为混沌现象第一 个实例.我们可以在后续内容中看到这个系统的混沌现象 aly y=-xz+ cx-y 常微分方程的应用还有很多,比如化学反应中提出的三分子化学反应模型 x=A-(B+1)x+ 三神经元神经网络模型 x+atanhz y+atanhx Z=-Z+ atanh y
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4常微分方程的求解? 高等数学中,曾经介绍过求一些常微 分方程的解,比如: Berno方程和恰 当常微分方程(全微分方程)等等。但是对 于复杂的方程,求解过程会比较繁琐,如 何应用我们已经熟悉的工具一一 Matlab来 求常微分方程的解呢? 14页共122页
Edit by niuben 第14页，共122页 高等数学中，曾经介绍过求一些常微 分方程的解，比如：Bernoulli方程和恰 当常微分方程(全微分方程)等等。但是对 于复杂的方程，求解过程会比较繁琐，如 何应用我们已经熟悉的工具——Matlab来 求常微分方程的解呢？ 4.常微分方程的求解？
第一部分:解析解 对一般的常微分方程(下简称方程),一般来讲是不能够 求出其解析解,但是对一类常见的特殊的方程——线性常微分 方程而言,很容易求出其解.首先来看一般求解线性方程的命 令 y= dsolve(1,2,…,fn) y=dlve(/1,2,…,Jm2x) 其中,∫可以描述微分方程,也可以描述初始条件 注: matlab用Dk表示y对x的k阶导数。系统默认的自变量为t 15页共122页
Edit by niuben 第15页，共122页 对一般的常微分方程（下简称方程），一般来讲是不能够 求出其解析解，但是对一类常见的特殊的方程——线性常微分 方程而言，很容易求出其解. 首先来看一般求解线性方程的命 令： i 其中， f 可以描述微分方程，也可以描述初始条件. 第一部分：解析解 1 2 dsolve( , , , ) m y f f f = 1 2 dsolve( , , , ,' ') m y f f f x = 注：matlab用Dky表示y对x的k阶导数。系统默认的自变量为t