解析解 例求解方程 sin 应用 dsolve命令 解 =dsolve(D2y=in(),得到方程的通解 y=sin(t)+C1*+C2,其中C1和C2为任意常数 例求解方程 COS(X 解方程的自变量为x,应指明自变量x y= dsolve(D2y=cos(x)’,”x),得到方程的通解 y=-coS(x)+C1*x+C2 6页共122页
Edit by niuben 第16页，共122页 求解方程 解 例 解析解 ( ) 2 2 sin d y t dt = 应用dsolve命令 y=dsolve(‘D2y=sin(t)’)，得到方程的通解 y =-sin(t)+C1*t+C2，其中C1和C2为任意常数. 求解方程 解 例 方程的自变量为x，应指明自变量x y=dsolve (‘D2y=cos(x)’, ’x’), 得到方程的通解 y =-cos(x)+C1*x+C2 ( ) 2 2 cos d y x dx =
「例』求一右半平面上曲线使其任一点切线在纵轴上截距等 于切点的横坐标 x,y 解」设曲线方程为y=f(x) 依题意曲线上任意一点都应满足:y-x的 X 应用 Matlab求解y= dsolve(Dyyx-1,x2),得到 y=-x*log(x)+C1*X 17页共122页
Edit by niuben 第17页，共122页 解 例 求一右半平面上曲线使其任一点切线在纵轴上截距等 于切点的横坐标. 设曲线方程为 y f x = ( ), 依题意曲线上任意一点都应满足: dy y x x dx − = 应用Matlab求解 y=dsolve(‘Dy=y/x-1’,‘x’)，得到 y=-x*log(x)+C1*x x x,y
很显然这是一条定义域为正半轴的曲线,当C1取1和-1时图像 分别如图所示,可以看出, Matlab能够很方便的求出一些并 不直观的常微分方程的解析解 y=-xInx+CIx 18页,共122页
Edit by niuben 第18页，共122页 很显然这是一条定义域为正半轴的曲线，当C1取1和-1时图像 分别如图所示，可以看出，Matlab能够很方便的求出一些并 不直观的常微分方程的解析解. 1 y x x C x = − + ln 1 C =1 1 C = −1
高阶 例在一个控制系统中,已知控制信号为()=ecos() 求解如下线性常微分方程:y()+2y()-3y=i(t)+2( 若已知y(0)=3,Dy(0)=2,求其特解 「解」首先来计算方程右侧控制项键入以下程序 > syms t; u=exp(-t)*cos(t); dif(nt+2*u%计算控制项的值 得到控制项为exp(-t)*cos(t)-exp(-)*sin(t) 为求方程的解,键入以下命令: y= dsolve(D2y+2*Dy-3wy=exp(-1)=cos(-exp(-t)sin(t)”);%求解 得到最后结果如下: y=-1/5exp(-t)*cos(t)+1/5exp(-)*sin(t)+C1exp(t)+C2*exp(-3*t) 下面来求在已有初始条件下方程的特解,键入 >>y=dsolve('D2y+2 Dy-3 y= exp(-t)cos(t)-exp(-t)"sin(t),y(0)=3, Dy(0)=2); %注意初始条件的写法运行得到: y=-1/5exp(-t)*cos(t)+1/5exp(-t)sin(t)+14/5*exp(t)+2/5*exp(3t) 19页,共122页
Edit by niuben 第19页，共122页 在一个控制系统中，已知控制信号为： 求解如下线性常微分方程： 例 ( ) cos( ) t u t e t − = y t y t y u t u t ( ) + − = + 2 3 2 ( ) ( ) ( ) 若已知y(0)=3,Dy(0)=2，求其特解. 首先来计算方程右侧控制项, 键入以下程序: >> syms t; u=exp(-t)*cos(t); diff(u,t)+2*u %计算控制项的值 得到控制项为exp(-t)*cos(t)-exp(-t)*sin(t) 为求方程的解，键入以下命令: y=dsolve(‘D2y+2*Dy-3*y= exp(-t)*cos(t)-exp(-t)*sin(t)’); %求解 得到最后结果如下: y=-1/5*exp(-t)*cos(t)+1/5*exp(-t)*sin(t)+C1*exp(t)+C2*exp(-3*t). 下面来求在已有初始条件下方程的特解, 键入 >>y=dsolve('D2y+2*Dy-3*y= exp(-t)*cos(t)-exp(-t)*sin(t)','y(0)=3','Dy(0)=2'); %注意初始条件的写法. 运行得到: y= -1/5*exp(-t)*cos(t)+1/5*exp(-t)*sin(t)+14/5*exp(t)+2/5*exp(-3*t). 解 高阶
当一个系统含有多个依赖于某自变量的函数的时候,就需要用常微分方程 组来描述,对一般的线性微分方程组,仍然可以用 dsolve来求解 例求下述方程组的解析解 ∫x()+2x()=x()+2y(0) ()=4x()+5y(t)+4 解求解过程如下 >>x, y=dsolve('D2y+2*DX=X+2*y-exp(-t)', Dy=4*x+5*y+4*exp(-t)") %注意这里得到的结果应为向量|x,yl 得到结果: X=-12*(8*exp(-t)+7C1*(11/12+112*193^(1/2))exp(1/12*(11+193~(12)*t +7*C2*(1112-112*193^12)exp(-112*(-11+193^(1/2))*t)(23+193^(12)( 23+193^(1/2)+60*(-8*exp(-)+7“ Clep(112*(11+193~(12)*t)+7*C2:exp( 1/12*(-11+193^(1/2)t)/(23+193^(1/2)/(-23+193^~(1/2)-exp(-t y=48*(-8*exp(-t)+7*C1exp(1/12(11+193~(1/2)“t)+7*C2*exp(-1/12 (-11+193^(1/2)*)(23+193~(1/2)(-23+193~(1/2) 第20页共122页
Edit by niuben 第20页，共122页 解 例 求下述方程组的解析解 当一个系统含有多个依赖于某自变量的函数的时候，就需要用常微分方程 组来描述，对一般的线性微分方程组，仍然可以用dsolve来求解. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 5 4 t t x t x t x t y t e y t x t y t e − − + = + − = + + 求解过程如下： >> [x,y]=dsolve('D2y+2*Dx=x+2*y-exp(-t)','Dy=4*x+5*y+4*exp(-t)') %注意这里得到的结果应为向量[x,y]. 得到结果： x =-12*(8*exp(-t)+7*C1*(11/12+1/12*193^(1/2))*exp(1/12*(11+193^(1/2))*t) +7*C2*(11/12-1/12*193^(1/2))*exp(-1/12*(-11+193^(1/2))*t))/(23+193^(1/2))/(- 23+193^(1/2))+60*(-8*exp(-t)+7*C1*exp(1/12*(11+193^(1/2))*t)+7*C2*exp(- 1/12*(-11+193^(1/2))*t))/(23+193^(1/2))/(-23+193^(1/2))-exp(-t) y =-48*(-8*exp(-t)+7*C1*exp(1/12*(11+193^(1/2))*t)+7*C2*exp(-1/12* (-11+193^(1/2))*t))/(23+193^(1/2))/(-23+193^(1/2))