ex+e *-2 例3求im x->0 x2 e'-e- ex+e-x 解 e*+e'-2 lim lim 三1 x->0 x2 x→0 2x x-→0 2 此定理的结论对于X→0时 型未定式同样适用。 0 arctan x 例4求 lim2 arctanx 解 lim 2 lim lim x→+0 x→+o1+x2 前页后页结束
前页 后页 结束 例3 求 2 0 2 lim x e e x x x + − − → 解 1 2 lim 2 lim 2 lim 0 0 2 0 = − + = + − − → − → − → x x x x x x x x x e e x e e x e e 此定理的结论对于 时 型未定式同样适用。 0 0 x → 例4 求 x x x 1 arctan 2 lim − →+ 解 2 2 2 2 1 arctan 2 1 lim lim lim 1 x x x 1 1 1 x x x x x x →+ →+ →+ − + = = − = − + −
2.°型不定式 00 定理2 设函数f(x)与g(x)在点x=4 的某空心邻域内有定义，且满足如下条件 (1) imf()=limg(x) 0 (2)f'(x)与g'(x)在该邻域内都存在，且 g'(x)≠0 (3 lim '(x) =A(有限或o) x-→a g'(x) 则 lim lim ' x→0 8(x) x→a} '(x) 前页后页结束
前页 后页 结束 2． 型不定式． 的某空心邻域内有定义，且满足如下条件 (1) lim ( ) lim ( ) x a x a f x g x → → = = (2) ( ) f x 与 g x ( ) 在该邻域内都存在，且 g x ( ) 0 ( ) (3) lim ( ) ( ) x a f x A → g x = 有限或 则 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x a x a f x f x → → g x g x = 定理2 设函数 f x( ) 与 g x( ) 在点 x a =
例5求 tanx lim x→g tan3x 解： tanx sec'x lim =lim- cos2 3x x→号tan3x 3sec'3x :3x→号c0s2x 1 =lim 2cos3x(-3sinx) 3x→号2c0sx(-sinx) li =3 sin6x x→sin2x 定理2的结论对于X→∞时的”型未定式 00 的极限问题同样适用。 前页后页结来
前页 后页 结束 例5 求 x x x tan3 tan lim 2 → 解: x x x x x x 3sec 3 sec lim tan3 tan lim 2 2 2 2 → → = x x x 2 2 cos cos 3 lim 3 1 2 → = 2cos ( sin ) 2cos3 ( 3sin ) lim 3 1 2 x x x x x − − = → 3 sin2 sin6 lim 2 = = → x x x 定理2的结论对于 x → 时的 型未定式
Inx 例6求 lim x→+0X 1 解 lim Inx 1 lim- lim- =0 x→+0 x-→+ox"-1 xtnx 如果im'x) g'(x) 还是 型未定式，且f'(x)与g'(x) 能满足定理中f(x)与g(x)应满足的条件， 则可继续使用洛必达法则。即有 lim f(x) =limf'e）=lim f"(x) x→ag(x) xa g'(x) x→ag"(x) 前页后页结束
前页 后页 结束 例6 求 n x x ln x lim →+ 解 0 1 lim 1 lim ln lim 1 = = = →+ − →+ →+ n x n x n x n x n x x x x 能满足定理中 f (x) 与 g(x) 应满足的条件， ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim g x f x g x f x g x f x x a x a x a = = → → → 还是 型未定式，且 f (x) 与 g (x) ( ) ( ) lim g x f x x a → 0 如果 0
如果反复使用洛必达法则也无法确定 f(x) 的极限，或能断定 8(x) s(x) 无极限， 则洛必达法则失效. 此时需用别的办法判断未定式 f(x) g(x) 的极限。 前页后页结束
前页 后页 结束 如果反复使用洛必达法则也无法确定 则洛必达法则失效. 此时需用别的办法判断未定式 ( ) ( ) g x f x ( ) ( ) g x f x 或能断定 ( ) ( ) g x f x 的极限， 无极限