三.逆矩阵 1.逆矩阵的定义、唯一性 2. 矩阵可逆的判别定理及求法 3. 可逆矩阵的性质 1.逆矩阵的定义、唯一性 概念的引入：在数的运算中，当数≠0时，有 aa"=aa=1, 其中'=1为a的倒数， (或称的逆)； 在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算中的1， 那么，对于矩阵A，如果存在一个矩阵A! 使得 AA=AA-E, 则矩阵A称为A的可逆矩阵或逆阵
1 三. 逆矩阵 1. 逆矩阵的定义、唯一性 2. 矩阵可逆的判别定理及求法 3. 可逆矩阵的性质 1. 逆矩阵的定义、唯一性 1, 1 1 = = − − aa a a 则矩阵 称为A的可逆矩阵或逆阵. −1 A 概念的引入: 在数的运算中，当数 a 0 时，有 a a 1 1 = − 其中 为 a 的倒数， （或称 a 的逆）； 在矩阵的运算中，单位阵 E 相当于数的乘法运算中的1， 那么，对于矩阵 A ， −1 如果存在一个矩阵 A , , 1 1 AA = A A = E − − 使得
定义：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B,使得 AB=BA-E 则称矩阵A是可逆的，方阵B称为A的逆矩阵， 记作A1=B 岗：使4G》=( AB=BA=E, .B是A的一个逆矩阵 2
2 定义： A B A B A AB BA E A B = = = −1 n n 记作 则称矩阵 是可逆的，方阵 称为 的逆矩阵， 设 为 阶方阵，若存在 阶方阵 ，使得 例 : 设 , 1 2 1 2 1 2 1 2 , 1 1 1 1 − = − A = B AB = BA = E, B是A的一个逆矩阵
唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的. 证明： 设B、C都是A的逆矩阵，则 AB=BA-E,AC=CA=E 从而B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C 3
3 唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的. 证明： B EB CA B C AB CE C AB BA E AC CA E B C A = = = = = = = = = 从而 ( ) ( ) ， 设 、 都是 的逆矩阵，则
逆矩阵的求法一：待定系数法 例1： 设A= -1 求A的逆矩阵. a b 解： 设B= c d 是A的逆矩阵， 则 AB- 3)-0 →2420=00 4
4 则 − = c d a b AB 1 0 2 1 = 0 1 1 0 = − − + + 0 1 2 2 1 0 a b a c b d 逆矩阵的求法一：待定系数法 例1: 设 , 1 0 2 1 − A = 求A的逆矩阵. 解： = c d a b 设 B 是 A 的逆矩阵
2a+c=1, a=0, 2b+d=0, b=-1, → → -a=0, c=1, -b=1, d=2. 又因为 AB BA (9030-0 所以-2 5
5 − = − = + = + = 1, 0, 2 0, 2 1, ba b d a c === −= 2. 1,1 , 0 , dcba 又因为 − 1 0 2 1 − 1 2 0 1 − 1 0 2 1 = − 1 2 0 1 , 0 1 1 0 = 所以 . 1 2 0 1 1 − = − A AB BA