第三章 向量空间 一.n维向量空间 二.线性相关性 三.向量组的秩 四.矩阵的秩 五.内积与正交化
1 二. 线性相关性 三. 向量组的秩 一. n维向量空间 四. 矩阵的秩 第三章 向量空间 五. 内积与正交化
一.n维向量空间 1.n维向量 定义：n个有次序的数1,42，4m所组成的有序数组 (41,42,.,n)称为一个n维向量。 这n个数称为该向量的n个分量，第个数； 称为第i个分量。 分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量 以后我们用小写希腊字母x,B,Y·来代表向量。 2
2 一. n维向量空间 分量全为复数的向量称为复向量. 分量全为实数的向量称为实向量， 1. n 维向量 定义：n 个有次序的数 1 2 , , , n a a a 所组成的有序数组 ( ) 1 2 , , , n a a a 称为一个n 维向量。 这 n 个数称为该向量的n 个分量，第 个数 称为第 个分量。 i i i a 以后我们用小写希腊字母 , , 来代表向量
例如： (1,2,3,.,n) n维实向量 (1+2i,2+3i,.,n+(n+1)2) →n维复向量 第2个分量 第n个分量 第1个分量 3
3 例如： (1,2,3, ,n) (1 + 2i,2 + 3i, ,n + (n + 1)i) n维实向量 n维复向量 第1个分量 第n个分量 第2个分量
向量通常写成一行：&=(a1,42,n)方 称为行向量。 有时也写成一列： 02 a= 称为列向量。 它们的区别 只是写法上 的不同。 分量全为零的向量(0,0，.，0) 称为零向量。 2.向量的运算和性质 向量相等：如果n维向量a=(41,42,.,4n) B=（b,b2,.,bn) 的对应分量都相等，即，=b(i=1,2,n) 就称这两个向量相等，记为=B
4 向量通常写成一行： ( ) 1 2 , , , n = a a a 有时也写成一列： 1 2 n a a a = 称为行向量。 称为列向量。 它们的区别 只是写法上 的不同。 分量全为零的向量 (0,0, ,0) 称为零向量。 2. 向量的运算和性质 向量相等：如果n 维向量 ( ) 1 2 , , , n = a a a ( ) 1 2 , , , n = b b b 的对应分量都相等，即 1,2, , ( ) i i a b i n = = 就称这两个向量相等，记为 =
向量加法：向量Y=(41+b1,2+b2,.,4n+bn) 称为向量=(41,42，4n) B=(b1,b2,.,bn） 的和，记为y=a+B 负向量：向量a=(-4,-2,.,-0n)称为向量&的负向量 向量减法：-B=&+(-B) 数乘向量：设k为数域p中的数，向量(ka1,ka2,kan) 称为向量a=(41,42,.,n) 与数k的数量乘积。记为k0 5
5 向量加法：向量 ( ) 1 1 2 2 , , , n n = + + + a b a b a b 称为向量 ( ) 1 2 , , , n = a a a ( ) 1 2 , , , n = b b b 的和，记为 = + 负向量：向量 ( ) 1 2 , , , n = − − − a a a 称为向量 的负向量 向量减法： − = + −( ) 数乘向量：设k为数域p中的数，向量 ( ) 1 2 , , , n ka ka ka 称为向量 ( ) 1 2 , , , n = a a a 与数k的数量乘积。记为 k