第10章无穷级数 10.1 数项级数的概念与性质 10.2 正项级数及其敛散性 10.3任意项级数 10.4幂级数 10.5函数展开成幂级数 结束
10.1 数项级数的概念与性质 10.2 正项级数及其敛散性 10.3 任意项级数 10.4 幂级数 10.5 函数展开成幂级数 第10章 无穷级数 结束
10.1数项级数的概念与性质 10.1.1数项级数的概念 定义1设给定数列 41,u2,山3则表达式 称为（数项）无秀级数，简称数项级数，·记为 n=u1+u2+儿3+.+un+. 其中第7项称为级数的一般项或通项. 部分和数列S,}:级数(1)的前硕相加得到它的 前顶和，又叫部分和，记作当 侬次取 1,2, 时得到一个部分和数列{Sn}, 前页 后页结束
前页 后页 结束 前 项和，又叫部分和，记作 .当 依次取 部分和数列 ：级数(1)的前 项相加得到它的 n s n n 10.1.1 数项级数的概念 定义1 设给定数列 则表达式 称为(数项)无穷级数，简称(数项)级数，记为 1 2 3 1 n n n u u u u u = = + + + + + 其中第 项 称为级数的一般项或通项. u1 ,u2 ,u3 , ,un , (1) u1 +u2 +u3 ++un + n un n 1,2, { }n s 时得到一个部分和数列{ } . n s 10.1 数项级数的概念与性质
定义2当n→时如果级数 的部分和 数列{S有极限，即 lim,Sn S n→o0 则称无穷级数三收敛，称为此级数的和，且 有 S=41+2t.+儿m+ 若{s无极限，则称无穷级数 发撒. 定义3若级数之收敛，则称 Tn=S一Sn=41十4+2十.为级数的余项！ 前页后页结束
前页 后页 结束 数列 有极限 ，即 , s s n n = → {s n } s lim 则称无穷级数 收敛, 称为此级数的和,且 有 ; 定义2 当 时如果级数 的部分和 1 n n u = 1 n n u = 若 无极限，则称无穷级数 发散. 1 n n u = 定义3 若级数 收敛 ,则称 为级数的余项. { }n s n → 1 2 n s u u u = + + + + s 1 n n u = n n n n 1 2 r s s u u = − = + + + +
例1讨论几何级数∑u”-1+u+2的收敛性： 1=0 解(1)当公比u时1，此级数为： ∑1=1+1+1+.+1+. n=0 其前n项和为3.-公4-1=1+1++1=n 所以，1imsn=limn=co n→0 于是，当u时，此级数发散. 当u=,此级数为：∑(-1)”=1-1+1-1++(-1)”+. 前页后页结束
前页 后页 结束 解:(1)当公比 时，此级数为： 例1 讨论几何级数 的收敛性. 其前 n 项和为： 1 1 0 0 1 1 1 1 n n n i i i s u n − − = = = = = + + + = 所以， lim lim n n n s n → → = = 于是，当 u = 时，此级数发散 1 . 当 u = − 时，此级数为： 1
其前项和为%-4=111+（少0含数 0 1n为偶数 所以，imSn不存在，即该级数当u=-1时也发散， n->co (2)当4时，有：，=1+a+心2++=-心 1-u m1-w"= lims,=lim ,所以该级数收敛 n-→o0 n→1-u1- (3)当w时，显然有：imsn=im 1-” =0 n→o∞ n→o1-1u 所以该级数发散： 综合以上可得：级数 凿 时收敛，而当 时， n=0 前页后页结来
前页 后页 结束 其前 n 项和为： = = − + + + − = − − = 为偶数 为奇数 n n s u n n i n i 1 0 1 1 1 ( 1) 1 1 0 所以， n n s → lim 不存在, 即该级数当 u = −1 时也发散. (2)当 u 时，有： 1 2 1 1 1 n n n u s u u u u − = + + + + = − 1 1 lim lim 1 1 n n n n u s → → u u − = = − − ,所以该级数收敛. (3)当 u 时，显然有： 1 1 lim lim 1 n n n n u s → → u − = = − 所以该级数发散. 综合以上可得:级数 当 时收敛,而当 时发散. 0 n n u = u 1 u ≥1